К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Вдоль звуковой линии мы получим ф= — = 2Шà — -+)з, —, —, — ".2 ЕГ" — +л, —, —, Легко видеть, что эта Функция уже дает продолжение решения на всю звуковую линию (не только при р ) р ). Если мы разложим это решение по частным решения с мнимыми значениями р, то увидим, что рассматриваемая функция ф не имеет в дозвуковой области особенностей нигде, кроме линии 1 = — со. Гипергеометрические функции, определяющие функцию ф вдоль звуковой линии, могут ЗОО гл щп течения с числом млхл, равным единице с (з ) (з) рсв) г ( — -'- — л) р ( —,) — '+д, — '+К, — '+К вЂ” Р'1 'з ' ро, хр' + — г(д — — )г( — ) + р 3 3, 7 !1 5 Использовзв это разложение, а также асимптотическое представление решения О, можно показать, что при о(р не получается никаких особенностей.
Степени р, входящие в функцию ф, соответствуют антисимметричным естественным частным решениям. Коэффициенты этих частных решений могут быть вычислены с помощью последнего урзвнения. Вычисления показывают, что при с= — со и р( р действительно ф = О. Представляют интерес также такие частные решения, которые, имея в точке Я точку разветвления второго порядка и удовлетворяя условию ф = О при Р = — со и р ( р, стремятся заданным образом к бесконечности при р -+ со, В этом случае зз основу следует взять функцию где ф есть значение правой части равенства 11) при В=О, а величина й произвольна, Подробности исследования этого случая, во мно- быть представлены в виде рядов относительно о/р . Зги разложения являются основой для следу!о~пего представления функции ф в области о(рО; г- ~ьз-д ' (-.-')'(3) (6 ) (б) уг' ,Р— +й, — +1з, — +й, =— г! 5 2 — рт !2' '5 'З ' р„) (2+ ) ( В) 5 ВЬ ДРУГИЕ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ В нулевой точке интеграл в правой части представляет собой не что иное, как бета-функцию, следовательно, г ( †) '~' = — РО ( — ") — б— '(~) ' (7) Дальнейшие члены разложения ф в нулевой точке получаются почленпым интегрированием равенства (ба).
Равенство (7) определяет коэффициент при частном решении 0~ ~(1, '1ж) Использовав формулу тгП, 4(17б), мы найдем лля звуковой линии 3 г Ро 4 ф=б2 'я ( — ) 0 11, —,1) — ~~2 ля ( — ) 0 1~' 4)' На эту величину следует разделить функцию ф, вычисленную из уравнения (б), для того чтобы получить решение, удовлетворяющее граничному условию ф =- 1 вдоль отрезка ОА на рис. 96. Для дальнейших приложений нам понадобятся первые члены разложения ф в бесконечности. Выполнив это разложение, мы найдем Глава !Х ТЕЧЕНИЯ, ЛИШЬ НЕМНОГО ОТЛИЧАЮЩИЕСЯ ОТ ТЕЧЕНИЙ С ЧИСЛОМ МАХА, РАВНЫМ ЕДИНИЦЕ ф 1.
Предварительные замечания В прелылущей главе мы исслеловали особенности, пригодные для представления в бесконечности поля течения около симметричного тела, на которое набегает поток с числом Маха, равным елинине. Это исслелование привело сначала к бесконечно большому числУ частных Решений, а именно к РешениЯм ф те ф А и т. д. Все эти решения удовлетворяют условию, предъявляемому к волнам Маха, проходящим через нулевую точку.
Для получения олного единственного решения нам пришлось ввести лополнительное условие, согласно которому плоскость течения должна перекрываться только одним листом. Бесконечно большое число полученных частных решений заставляет предполагать, что путем наложения лруг на друга таких решений можно построить также такие поля течения, которые на большом расстоянии от обтекаемого тела удовлетворяют другим условиям. Что следует под этим понимать, поясним путем рассмотрения .аналогии между источником в комплексной плоскости и околозвуковым течением в плоскости ть Ь.
Комплексный потенциа,т источника д несжимаемом течении в точке а = 1 определяется уравнением <!~ =Ке !п (г — 1),— тле в =х+1у. При больших значениях г правую часть можно азааложить в ряд, и мы получим 1т! Г 1 1 1 1 1 т=Ке 1пв — !-!и 1 — — !!=Ке~!пг — — — — — — .,1— 1 ! = !п г — г-' оз т — — г-а соз 2ч — — г-' соз 3~ — . 2 3 ч'де г = !г х'+ у' з = агс!д ( — ). 303 3 2 пРимеРы течении В указанной аналогии друг другу комплексная плоскость а л = О соответствуют следующие величины: плоскость т„ Э нулевая точка Е Р частные решения ф р ь особенность в дозвуковой области г частные решения г-'" соз леЕ особенность в л = 1 ф 2.
Примеры течений, немного отличающихся от течений с числом Маха, равным единице Говоря о течениях, немного отличающихся от течений с числом Маха, равным единице, обычно имеют в зилу такие случаи, когда скорость набегающего течения мало отличается от скорости звука. Однако мы будем смотреть на зто понятие шире и будем включать в него также случаи, когда отклонение от исходного поля течения (с числом Маха, равным единнпе) обусловливается граничными условиями, заданными на большом расстоянии от обтекаемого тела, Среди подобного рода течений особую ценность представляют те течения, лля которых легко может быть построен годограф. Примерами таких случаев могут служить; течение в блокированной закрытой аэродинамической трубе, обтекание тела свободной струей с критической скоростью и течение около тела при сверхзвуковом числе Маха.
Течение при большом дозвуковом числе Маха слишком сложно, чтобы проследить за всеми его деталями. Качественное описание его будет дано на стр. 389 †3. С течением при сверхзвуковом числе Маха мы уже познакомились в З 11 гл. Ч !рис. 45). Там в качестве обтекаемого тела мы рассмотрели клин. Сейчас мы опять рассмотрим обтекание клина, но примем, что число Маха набегающего течения отклоняется от 20 зез. ззе К. Г. Гудерлея В действительности может быть не одна особенность, а больше; аналитическая функция всегда может быть разложена в ряд Лорана, независимо от свойств, которыми функция обладает внутри круга сходимости.
Так, например, следует ожидать, что путем наложения фупкпнй ф, „можно получить такие решения уравнения Трикоми, которые в области, ограниченной опрелеленной линией р = сопя! и играющей роль круга сходимости, имеют весьма сложный вид В частности, внутри линии Р = — сопя! могут существовать такие же пустые области, какие получаются в годографе при возникновении скачков уплотнения. Правильность только что указанных предположений мы докажем (Гудерлей !51, см.
лиг. 1) в слелующих параграфах, опираясь на исследования, выполненные в гл. )гП. чпб гл (х. твчвния с числом мйхй, влнзкнм к вдиннцв единицы очень немного, следовательно, ударная поляра лежит в непосредственной близости от нулевой точки годографа. При обтекании тела в блокированной аэродинамической трубе (рис. 97) все линии тока в годографе выходят из точки Р, лежащей в дозвуковой обдасти и изображающей скорость, соответствующую блокирующему числу Мзха. Верхняя стенка трубы отображается в отрезок РО, являющийся частью верхней стороны разреза 00.
Нижняя стенка трубы отображается в полигон РОО, причем РО лежит на верхней стороне разреза 00, а 00 — на его нижней стороне. .. Ок ааукаааяя; преуеплная линия ~ (з:арактериспюка зеунаеаял;-предппмлая линия бларактеристика — й б) Р и с. 87. Несимметрячиое течеиие л блокирован- иой лэролиилмической трубе (со Гулерлею (б] ). Р и с. 88.
Иесимметрящиое ечеиие е слоболиой струе, имеющей критическую скорости (ао Гулерлею (б) ). Точка О соответствует минимальному значению скорости вдоль нижней стенки трубы. Примечательно, что для несимметричного поля течения точка Р не должна лежать обязательно на конце отрезка'00, Для симметричного поля течения точки Р и О, конечно, совпадают. Вдоль линий РО и РОО для функции тока должны быть заданы значения, которые она имеет на стенках трубы. Если ширина трубы равна В' и если плотность потока массы р*тт принять равной единице, то ф=(эи(2 на РО и ф= — (й'(2 на РОО. При обтекании тела параллельной струей, имеющей критическую скорость (рис.
98), все линии тока в плоскости годографа выходят из одной точки, лежащей на звуковой линии (точка 0). На линиях тока, ограничивающих струю, скорость везде равна критической скорости, л о направление ее меняется. Поэтому эти линии отображаются на плоскость годографа в отрезок, расположенный вдоль З 3 ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ НА ОБТЕКАЕМОМ ТЕЛЕ 307 звуковой линии.
Для несимметричного поля течения изображения ОЕ и ОВ' границ струи имеют разную длину. Граничные условия на обтекаемом теле не требуют дальнейших пояснений. Обе эти краевые задачи содержат в общем случае по два свободных параметра, которые можно выбирать. Так, например, при течении в блокированной аэродинамической трубе (рис. 97) блокирующее число Маха и минимальная скорость влоль стенок трубы, т. е. положения точек Р и О, не связаны непосредственно с геометрическими параметрами поля течения, То же самое имеет место и в отношении положения точек Е и В' (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
