К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 45
Текст из файла (страница 45)
73. Если воспользоваться обозначениями 9 9 настоящей главы, то решение бУдет состоать из частных Решений ф, „и аьги,,ью, к которым в самом общем случае следует присоединить еще симметричные частные решения ф, „и ф — (уа) — )а 9 14. Частные решения Тамады и Томотики ь!астные решения Тамады и Томотики, а также частные решения Фальковичз, которые будут рассмотрены в следующем параграфе, имеют особенности в дозвуковой области. Эти решения могут быть полезны при рзсчете течений, имеющих в бесконечности число Маха, меньшее единицы, а также при исследовании отдельных точек полей течений, рассмотренных в гл. Ч!.
Основная идея исследований Тамады и "1'омотики состоит в следующем. Дифференциальное уравнение Трикоми содержит 9 только в производных от ф, но не в коэффициентах. Так получзется потому, что годограф не имеет какого-либо привилегированного направления для скорости. Отсюда следует, что из какого-либо решения ф можно найти новые решения, если иаменить все значения 9 на постоянную величину ба, причем не толысо на вещественную, но и на мнимую, т, е, на (аа) . Так как дифференциальное уравнение Трикомн имеет вещественные коэффициенты, то вещественные и мнимые чзсти получающихся указанным способом решений также являются решениями урзвнения Трикоми.
Применив такой способ к частным решениям ф= р ('/а) РО(» р) мы получим (2а) (2б) 245 а 14. ЯАстные Решения тАмАды и томотики Функция б определяется линейным дифференциальным уравнение м с особыми точками (='г'1 и (=со. В других точках функция 0 не имеет особенностей. При ограниченных аначениях 3) и Ь величина ! никогда не становится бесконечной. Для особой точки 1= 3'' 1 из равенства (2б) мы имеем 9 3 3 9, 3/' — — (Ь вЂ” Ьо) — 2.
— 4ЬЬ, =О. 4 Так как вешественная и мнимая части в отдельности должны быть равны нулю, то отсюда находим О=О, )= ( — ', Ьа) ', Это есть единственная точка плоскости 3/, Ь, где решение может иметь особенность. Решение 0 в этой точке получается как наложение двух линейно независимых решений, которые в соответствии с формулой Ч!!,4(16) могут быть взяты в виде (! — $3) Р+Ыдр / — !3 ~ — 1 — 2 1 — 13) 112 ' 12 (1 — 1) /. ( — +р, — +р, 1+2!3, 1 — 43). Поведение решения в точке Ь = О, 3/ = — (293/3) ' определяется первым членом каждого из этих рядов.
Перейдя к переменным т и Ь, мы из уравнения (1) получим ф= Ь(Ь+'Ьа)'1 и соответстаенно 3 1'АНР 9 33 ф — ~2 (Ь ~ 393)~~ ~ т/ + — (Ь+/Ьа)~ Для пераого из этих решений точка Ь.= О, 3/ — — (293~3) а является регулярной. Второе решение имеет в этой точке особенность. характер которой зависит от показателя степени 29. Например, для того чтобы получить точку разветвления двулистной рнмановой поверхности, следует положить р = 4/ . Для определения поля течения необходимо вычислить функцию 6 при комплексных значениях аргумента. При р = '/4 такое вычисление облегчается, так как одно из решений может быть представлено в замкнутом виде !формула 34!1, 5(8а)!.
Применение полученных частных решений показано в работе Тамады и Томотики (см. лиг. 1) 246 !Л УИ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ ф 15. Частные решения Фальковича Другой вид частных решений, обладаю!цих особенностями в дозвуковой области, получен С. В Фальковичем.
Вывод этих частных решений также основан нз допущении, что решение можно представить в виде произведения. Однако переменные, входящие в решения Фальковича, вещественны в плоскости ть 9, поэтому соответствующие функции должны вычисляться толы<о при вещественных значениях аргумента Покажем, как можно вывести решения Фальковича. Прежде всего дифференциальное уравнение Трикоми приводится к виду, возможно более близкому к уравнению Лапласа, Для этого следует положить (1а) и ф — — ( — я)'~(а б). (1б) Отсюда д,', —— — а(а — 1)( — !1)' !Аг -! — (2а+ 2)( — 1)) " %',+( — т!)"+ Ч."„, дТ,'-' Внеся эти значения в дифференциальное уравнение Трикоми, мы получим ( ) ' ч'-+(2п+ 2)( — я)" РА'!рв+- + (.— 1)( — 1)" 'Р+( —,1)"-'!Р„,=О, Если положить а — — — !/и то член с производной !р, исчезнет и уравнение примет вид г +%09+ Т б' (2) Переменная з принимает вещественные значения в дозвуковой области и мнимые значения в сверхзвуковой области.
Об этом обстоятельстве не следует забывать в тех случаях, когда решение, полученное в дозвуковой области, желательно продолжить в сверхзвуковую область. Важнейшей идеей, на которой основан вывод чзстных решений Фальковича, является введение биполярных координат в плоскости з, Ь. Необходимые для этой цели преобразования получаются наиболее 247 а !5 чАстные Решения ФАльковичА простыми при использовании комплексных переменных.
Пусть е=з+(9, е=а — И, Чг ( б) =- Чы ( (За) (Зб) (4) причем г и г следует рассматривать как независимые переменные. Это равносильно предположению, что рассматриваются нс только вещестненные значения а и н, но и мнимые. Вычислив производные Ч,=ЧТА л- Чг-,, Чгз — — )Чг, — юЧг,, Ча,:-Чгяг-~ 2Ч:+Чг;,:, Чг„= — Ч,.
+-2ЧР: — Чг-„-, мы приведем уравнение (2) к виду Ч',—, +зб (а 5-е)-5ЧТ = — О. (5) Введем теперь новую независимую переменную ' —.— Ь(е), где Ь(е) есть аналитическая функция от е, которая при вещественных значениях а принимает также вещественные аначения. В таком случае сопряженным комплексным аначениям е соответствуют, как это вытекает из принципз зеркального отражения Шварца, сопряженные комплексные значения ', т. е.
нз соотношения ". =- Ь (г) (ба) следует, что '. = — Ь(е) (бб) (здесь черточками над буквами обозначены, как и выше, сопряженные комплексные величины). Далее примем, что 'р(' ') =Ф*(~ '"-). (бв) Тогда мы будем иметь р т = ф'- Ь'(е) Ь'(е), и новым дифференциальным уравнением будет 3 ( + (7) 'с( В этом уравнении функции, зависящие от е и е, следует выразить через " и г. Введение переменных а и е или ' и ь практически выгодно потому, что в дифференциальном уравнении остается в качестве производной высшего порядка только одна вторая смешанная производная.
Функцию Ь(е) С. В. Фалькович берет в виде г Ь(е) ) +'О (8) 248 ГЛ УП. ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ где ао есть постоянная, Отсюда е +1 ео е- --1 (е' — 1) — 2е е с е+ ео ео (Яа) еГе - -2уое' (е — 1) и дифференциальным уравнением для определения ф' будет ф „- (еа" оуа — е-П чиж) + — ф*=-О. 36 (9) Теперь лучше все~о вернуться опять к вещественным независимым переменным. Пусть ч = а+1'р, г. = — а — 1Р, (10) откуда а+а а= Положив ф*(ч "-) = ф(а Р) (10а) мы найдем 1 фсо 4 (ф«.+фза) ' и дифференциальное уравнение (9) примет вид (ф +К ) ('" — ' ")'-~-+р=о, (11) ф=)(а) (12) и для определения функции г' получится обыкновенное дифференциальное уравнение уеа е-а аз (у'а — гла1), 2 ) + — у = 0.
(13) Коэффициенты этого уравнения примут рациональную форму, если положить е«=е, у(а)=д(г). причем независимыми переменными будут а и 1о„которые можно отделить друт от друга. Тогда мы будем иметь 3 13. чАстные Решения ФАльковичА Тогда мы получим и А' 5 л + 1+9(сэ — 1)э Это дифференциальное уравнение имеет особые точки != О, ! = со, ! =-+1 и ! = — 1. Покззатели уравнения в точках О и со, а также в точках +1 и — 1 одинзковы. Существенное упрощение, а именно уменьшение числа особых точек, получается путем преобразования, совмещающего особые точки с одинаковыми показателями. Из различных преобразований, пригодных для этой цели, Фалькович выбирает следующее: ~г+ г-г ~г (14) Это преобразование отображает особые точки ! = О и Г = со в точку и = — со, а особые точки Г = + ! и Г = — 1 в точку и = 1. В точках, в которых производная пи1пг равна нулю, взаимно однозначное соотпетствие между плоскостями и и Г нарушается, и там могут появиться новые особые точки.
Равенство ди(с(г нулю имеет место при Г = + 1 и Г = + !. Точки ! = — + 1 были особыми уже в первоначальном дифференциальном урзвпении, следовательно, нарушение взаимно однозначного соответствия в этих точках не вносит в преобразованное дифференциальное уравнение новых особенностей. Но при 1 ==.
+ ! возникает новая особая точка, а именно и = О. Таким образом, дифференциальное уравнение, получающееся з результате преобразования (14), имеет три особые точки, и нетрулно убедиться, что все опи являются регулярными особыми точками. Положив (15) з'(г) =-- "(") лэь Ль(. ! 1 1 г ига ииэ ' ~Ми ~2и + 2(и — -1)2+ (и (и — 1) ' 144 и(и — -1)э) Решение этого уравнения, если воспользоваться Р-функцией Римана (см. 2 4 настоящей главы), можно прелставить а виде О ! ! со 5 О 12 1 1 12 (17) Теперь необходимо выразить переменную и через первоначальные мы получим после некоторых преобразований следующее гипергеометрическое дифференциальное уравнение: 250 ГЛ УН ЧАСУНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ переменные з и Ь.
Из равенств (За), (8а) н (10) мы находим е""з = — —.—, У '4- !з ч- зо з + !з зо "зо Сз, еаа (з+ ао)з+ З (У вЂ” У,)!+в' ' (! 8) а из равенства (17) получаем )~+ !Ь+ )у+!З вЂ” уо( йазо (~+ !з-- ~~) (19) Следовательно, при з = за и Ь = 0 а при з=--0 и = 1. Если при з=О координата Ь изменяется от 0 до за, то 111 р изменяется от 0 до сю; если же Ь изменяется от з, до со, то 1д р изменяется от — оо до О, т. е. 8 принимает на верхней половине звуковой линии значения между 0 и к. В самом деле, кривые р = = сопз1, если постоянная изменяется от 0 до оз, перекрывают всю верхнюю половину дозвуковой области. Из предьпущих рассуждений следует, что возможные представления решения й имеют вид й=( ) (-) Р~ ч+- —, — + —, 1+и, и '), (20) Конечно, в случае необходимости с помощью преобразования '!1П, 4(ба) можно получить представление решений й вблизи звуковой линии, а имея это представление, можно состзвить продолжение решения в сверхзвуковую область.
Таким образом, частные решения фальковнчз имеют следующий окончательный вид: ф = — (!)) ' й(и) (21) где и и р необходимо выразить через з и Ь с помощью равенств (18) а 1а чАстные Рашиния ФАльковичл 251 и (19) и при этом иметь в виду, что, согласно введенному в самом начале условию (1а), а=-- — ( — т,) '. 2 3 (21а) Выбор параметра т определяется, конечно, характером той особенности, которую желательно представить В работе С. В.
Фальковича этот параметр принят равным нулю, что дает особенность в несжимаемом течении, соответствуюп!ую мнимой части логарифма. Для применения этих частных решений важную роль играет следующее обстоятельство. Вдоль линии Е = сопз1 илн вдоль линии а =- сопз1 решение представляется синусом или косинусом от р. Это дает простую возможность составить полную систему частных решений для представления любой функции, имеющей в точке а == а, Ь=-О точку разветвления с заданными свойствами. 11ри приближении аа к бесконечности линии 1 = сопз1 переходят, очевидно, в линии ~) =. — сопзй а линии р.= сопз1 — в линии Ь = — сопз1. Следовательно, частные решения Фальковича являются обобщением частных решений ь!аплыгипа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
