К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Рассмотрим такое решение уравнения Трикоми, взятого в виде Л/11, 3 (ба), которое Аналогичным способом будем обозначать и значения С, соответствующие собственным функциям О. Так как система функций 0 полная, то функция у(1), если она удовлетворяет определенным условиям непрерывности, может быть представлена в виде а 11. соБстВенные Функции и соБстВенные зндчения пги ч -+ 1 227 вдоль $ = с, и $ = сз удовлетворяет либо граничному условию ф = О, либо условию фа = О. Пусть это решение пригодно в области Р, < Р < ра, где р, и р, суть подходящим образом выбранные постоянные.
Тогда, вследствие полноты системы функций О, решение вдоль линии р = сопз( можно представить в виде наложения этих функций, т. е. в виде ф= 2~ пь(Р)ПА(ч) где аяь(р) суть некоторые функции от р. Поскольку сделано предположение, что дифференциальное уравнение ЧП, 3(ба) справедливо в рассматриваемой области везде, должны везде существовать производные, входящие в это уравнение; их можно вычислить, произведя дифференцирование под знаком суммы (1).
Таким путем мы найдем Внеся эти значения в уравнение ЧП, 3 (ба) и использовав дифференциальное уравнение ЧП, 3 (б), определяющее О, мы получим следующее уравнение для вычисления коэффициентов аь1 О( 1 Ра)ал — — о ~ (РА ~~~). Отсюда найдех1 и, (Р) =. Аг, р ~ 1Ю+яь +А1, Р ~ле ~А, где Аги и Алз сУть постоЯнные. Подставив эти значениЯ в УРавнение (1) и приняв во внимание уравнение ЧП, 3(3), мы увидим, что решение ф получается именно в виде наложения частных решений. составленных из собственных функций. ф 11. Собственные функции и собственные значения в предельном случае с, — 1 Начиная отсюда, будем считать нижней границей рассматриваемого интервала опять с, = — сс.
Для того чтобы определить собственные значения в предельном случае с,-+ 1, будем исходить из формулы ЧП, 4 (17г). Если $ = с, лежит вблизи единицы, то гипергеометрические ряды могут быть заменены их первыми членами. 15* 228 Гл ун. чАстные Решения уРАВнения ТРикоми и тогда из условия 0 — — О мы найдем Г (2р;) МН ~ н (Р + — Я (1 — с') ' "+ '( — )'(+-) + Г ( — 21с) 5!и ~н ( — Р+ — )) 4 (1 — сз)Р+('/м) = О. (1) '~- -Ь)'~- +4) Так как это равенство не изменяется при замене (л на — р, то мы всегда можем считать, что (л положительно. Разделим равенство (1) 7,5 7,0 м.л е -05 7,0 50 -д5 -д0 -75 -717 -5,'5 0 05 70 л Р и с. бб.
Антисимметриеные собственные функнин О(н)(Е Р) ллн Р "/„Р='7„1 =н/,. г — р '('/т) на 11 — сз) и затем будем приближать с, к единице. Тогда для антисимметричных частных решений мы получим 51П (к ((л + — )) = О, т. е. Р„= — — +/г, 0=1, 2.... 1 4 (2) Аналогичным образом из формулы НИ, 4 (16) для симметричных частных решений мы найдем (ль — — — — + /г, /г = 1, 2 ..., 3 4 (з> Первые три из этих собстаенных функций изображены на рис. 66 для антисимметричных частных решений, а на рис. 67 — для симметричных частных решений. ! и. совстввнньш ернкции и совстввнныв знлчвния при е»-»1 22з Теперь необходимо определить отрицательные собственные значения.
Для мнимого !в обз члена, входящие в формулу т!11, 4(17г), комплексно сопряженные. Опять ззменим гипергеометрические ряды их первыми членами, равными единице, и положим !в = !у. Далее, введем обозначение Г(1 = А (у)сы И, — „+— 12 12 !5 4»е -угу -15 -5П -г5 -гП -У5 -(О -П5 12 П5 Уту й — ' и и е ен сини»»реечное еооетненние Ч»унннин с!е! бе, ~ > двв, =-'Ы ~ »у», р.=че где А(у) и о(у) суть вещественные величины.
Тогда мы получим е 'л» 1»!») — 1»!и (1-ои) -1 ! !от 1и (1-ей)~ (1 — с,) "А (у)(з +е или соя ~а (у) — о 1п (! — сй) = О. Собственные значения мы найдем, положив е (») — у 1п (! — си! = ~Л вЂ” — ) к, 2) (б) где 71 есть целое число. Если с, -+ 1, то !и(! — с,') стремится к отрицательной бесконечности, и расстояние между соседними собственными значениями становится бесконечно малым, т. е. получается непрерывный спектр отрицзтельных собственных значений.
Для симметричных частных решений получается такой же результат. 2ЗО гл чп члстныв гвшкння гглвнвния тгикоми В !2. Представление произвольной функции в предельном случае с, -+ ! Вследствие непрерывности спектра отрицательных собственных значений непосредственное использование уравнения ЧИ, 9(9) для представления произвольной функции невозможно. Выполним необ- ходимый предельный переход для произвольной функции на примере антисимметричных частных решений.
В конце параграфа приведем готовый результат также для симметричных частных решений. Если са — +1, то для произвольной функции на основании урав- нения ч'11, 9(9) мы найдем у (!) = ~ — '" —,~ у (т) — ч, Пл (т) с( ~+ Сь г (1 -- т')ч ь=! ОЭ + ~~) — / у (т) — ,, й л (т) !(т, л ! — со где С„определяются формулой с, С„= / а'„(т) ', (.. (1 — с!) л (2) Для вычисления Сзл воспользуемся соотношением Ч!1, 9(8). С целью сокращения записей введем обозначение 1'( — ) г (2р.) В(Р) 11 7 г (и+ — )1(и~- — ) (8) Частные решения, которые можно составить из только что найденных собственных функций, обычно не имеют такого вида, какого можно было бы ожидать на основании физических соображений. Так, например, частные решения вида СЫ) -(Ч!!)ч-з имеют при найденных здесь положительных значениях (! особенность в производных высшего порядкз, распространяющуюся вдоль с= — 1. При мнимых же знзчениях р эти частные решения колеблются вблизи ! =- 1 с неограниченно возрастаю(цей частотой и стремятся к бесконечности при р ~ О.
В 9 13 настоящей главы мы рассмотрим преобразование, которое позволяет выявить свойства функции ф, ожидаемые из физических соображений. Пока же мы можем оперировать лишь найденным классом частных решений, так как пол нота системы решений доказана только для него. а и. пввдстлвлвнив пвоизвольнои еункции пни а,-а) 231 Тогда на основании формулы Ч11, 4 (17г) мы получим для 0(а) вблизи $ = 1 следующее выражение: О(~) — В ( „) з)п ~-„( „+ 1 ))1 «а)(ча)-а + В ( — (а) з(п ~п ( — р. + — )~ (1 — Р)~Ч"~+".
(4) В качестве подготовительного шага для вычисления Сь найдем производную ) О(а) ~-( +-')3 — )( — ' — )( — ' "'-'— + В( — р) з(п ~и ( — р.+ — )~( — 3)( — +а)(1 — Р) ( (а)ча. (5) Хотя первые члены правых частей равенств (4) и (5) при значениях 9, соответствуюшнх собственным значениям, равны нулю, тем не менее онн вносят в производныс по р ббльшую долю, чем вторые члены. Отбросив члены более высокого порядка относительно 1 — Р, мы получим из равенств (4) и (5) при собственных значениях следующие выражения для производных по 9; д (г(а) дВ(()соа(п)(+))(1Р)( даГ)(а) — =-В(р).паап (р+ — Я( — 3) 1- — р)(1 — Р) Наконец, вспомнив, что для собственных значений имеет место рзвенство 5!и ~п ~ — р .+ — )1 =соя~к ((а + — )1 = + 1 [это следует из равенства НП, 11(3)), мы найдем с помошью соот ношения 711, 9(8), что ..=; В(,.) В(-,.), (6) причем р следует взять из равенства Ч!1, 11(3), а В(р) — из равенства (3). Д.чя отрицательных собственных значений опять положим р=гы.
(7) Значения ж соответствуюшие значениям рь, будем обозначать через та. Из равенства (7) мы имеем (7а) И,а Между функциями В, А и а на основании равенства Ч11, 11(4 232 ГЛ УН ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТРИКОМИ существует соотношение В (! О з1п (к (!У + — ]1 = А (ч) еы !'!. 11 4] (8) Вычислим производные дб дб — и ди д! для собственного значения, т. е. с одновременным учетом равенства ЧП, 11(5), причем для некоторых членов выполним предельный переход са-+ 1. Из равенства (4) мы получим О! ! = (1 — е'.) га А (у) соз 1а (ч) — у 1п (1 — еа)] дгг(а) — = ! 2А (! — са) " )а' а Ча д! )Е з! и (а (»1 ) — ТА ! и (1 — са)] — (уь) — 1п (1 — еа)), г да — = — 6А (1 — са) аула!п(а(ув) — ТА !и (1 — са)].
дСТ!а! а -аш 3 да Вследствие равенства ЧП, 11 (5) абсолютное значение входящих сюла синусов равно елинице. При "; =- с, функция 0 =0, и из формулы НП, 9 (8) мы найдем а! С А —— — А'(~А) ~ — — !и (1 — са)]. з (9) а (УА) — У !и (1 — еа) = в ( д — — ) . (1О) Если л изменяется на единицу, то а(ТА) при небольших значениях 1 — са изменяется только на небольшую величину. Обознзчив изменение Уь между двумя последовательными значениями Ь через гать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
