К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Точка ударной поляры, в которой ч, †..- О, называется глочиой Кроехо. Между точкой, в которой й имеет максимальное значение, и точкой Крокко угол , отрицателен, а между точкой Крокко и точкой, соответствующей скорости звука, этот угол положителен. Б первом приближении ударная поляра может быль заменена касательной к ней в точке г". Тогда на основании граничных условий, во-первых, должно быть ф=О при О=О, (7а) а, во-вторых, выражение с(п/с(и, составленное вдоль линии 44= сова(, должно быть равно — = 1е и сЬ йи (7б) е пРи агс(е — = ит и Пусть ти =- ге".
В системе координат и, и точка Р является ;началом координат (рис. 54). Ось и представляет собой отображение стороны клина. Пусть угол, образуемый касательной к ударной поляре с осью х, равен ч,. Далее пусть направление подхода линий тока к ударной поляре определяется углом та.
Для того чтобы в рассматриваемой области координата и была положительна, будем рассматривать точку ударной поляры, лежащую в нижней половине плоскости годографа и плоскости течения. Здесь линия скачка уплотнения начинается % 5 исследоВАние пОля течения ВБлизи ОстРия клинА 165 ус, о (9) тогда мы получим ф=г гйпт . При и=--О мы имеем ч=-О, так что первое условие допущением (9) удовлетворяется.
Далее мы имеем дф — У =и(щтв '=тг"-'з(п(т - — 1)ч ди дф ди — = — и1щ(ги"-!)= — тгм 'соз(т — 1)ч, поэтому для линии ф =--сопзг мы получим дф дп ди — — = — — — = — — 1К(и — 1) ч. ди дф до Следовательно, линии ф=-сопз1 образуют с осью и угол — (т — 1) ч.
Таким образом, на ударной поляре должно выполняться условие ча =. — (и — 1) ч,, откуда ч т=1 — = ч! В первом приближении наклон скачка уплотнения в плоскости течения пропорционален первой степени расстояния рассматриваемой точки в плоскости гадографа от точки г". Это расстояние — также в первом приближении — пропорционально г. Координата у в первом приближении пропорциональна ф и, следовательно, вдоль скачка пропорциональна г"'.
Таким образом, наклон скачка пропорционален угл", Кривизна скачка пропорциональна величине 1 уч/и — 1 ! учд1ч —,1 ч л! Если точка г" лежит между точкой Крокко и точкой, соответствующей критической скорости, то на основании сказанного выше угол ч, положителен и, как это ясно из рис.
54, меньше угла Если у приближается к нулю, т. е. если при перемещении вдоль скачка уплотнения мы приближаемся к острию клина, то кривизна скачка уплотнения становится равной нулю. Если точка г" совпадает с точкой Крокко, в которой ч, = О, то получается конечная кривизна скачка уплотнения, хотя сторона клина имеет нулевую П1. Ч!. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ МЕТОДОМ ГОДОГРАФА 166 кривизну.
Для точки г, лежащей между точкой Крокко и точкой максимума ) й (, углы ч, и чз имеют противоположные знаки; поэтому степень, в которой у входит в выражение кривизны, отрицательна. Следовательно, кривизна скачка на острие клина бесконечно велика. Таким образом, для клина с углом раствора, в точности соответствующим точке пересечения ударной поляры со звуковой линией, получается точно прямолинейный скачок уплотнения, и скорость ниже по течению от скачка равна скорости звука. Если точка гч лежит межлу точкой, соответствующей критической скорости, и точкой Крокко, то скачок уплотнения получается хотя и искривленным, но на острие клина кривизна равна нулю.
Если точка Р совпадает с точкой Крокко, то скачок уплотнения имеет конечную и не равную нулю кривизну также на острие клина. Наконец, если точка Р лежит между точкой Крокко н точкой максимума Гг, то начальная кривизна скачка уплотнения становится бесконечно большой. Примечательно, что по-прежнему имеет место непрерывное изменение картины течения при переходе от олного случая к лругому.
5 6. Клин с криволинейными сторонами Крокко обнаружил точку, названную впоследствии его именем, исслелуя связь межлу начальной кривизной скачка уплотнения и кривизной сторон клина. Это исследование привело к выводу, что прн начальном наклоне скачка уплотнения, соответствующем точке Крокко, конечная кривизна сторон клина обусловливает бесконечно большую кривизну скачка. При ббльших углах раствора клина, но все же таких, прн которых скачок уплотнения еще прилегает к острию клина, кривизна скачка и кривизна сторон имеют противоположные знаки. Так как такой вывод с физической точки зрения абсурлен, то у Крокко возникло прелположение, не начинается ли отрыв скачка уплотнения от острия клина уже в точке Крокко.
Реп1ению, полученному Крокко, в плоскости годографа соответствует уравнение ф = г з! и (ч — ч.), Легко убедиться, что лля каждой липин ф= сопят имеет место равенство чу — = ГК чз, лп т. е. условие вдоль уларной поляры выполняется, Граничная линия тока определяется значением ч = — ча. Влоль этой линии тока наклон вектора скорости равен б = йл+г з1п ча. 5 6 КЛИН С КРИВОЛИНСИНЫМИ СТОРОНАМИ 167 (яп ча) [яп (ч — ча)) В точке Крокко эта величина принимает бесконечно большое значение и меняет при этом свой знак.
Для этой точки мы уже нашли, что нулевой кривизне стороны клина соответствует конечная кривизна скачка уплотнения. Нетрудно понять смысл полученного решения и в точ случае, когда точка Г лежит между точкой, соответствующей критической скорости, и точкой Крокко. Значительно труднее истолковать решение Крокко, если точка Г расположена между точкой Крокко и точкой с максимальным значением й. При движении вдоль граничной линии тока от точки Р к звуковой линии угол наклона граничной линии тока увеличивается, следовательно, контур должен быть вогнутым, При выпуклом контуре можно предполагать, что решение не очень сильно отличается от решения краевой задачи для клина с прямолинейными сторонзми.
В самом деле, можно найти поведение течения вблизи точки Г клина с криволинейными сторонами, исходя от случая течения около клина с прямолинейными сторонами и учитывая кривиану сторон путем введения поправочного члена. Соответствующее решение получается в виде разложения по степеням ти-ч~чп Если мы ограничимся двумя первыми членами разложения, то получим (Гудерлей [2[, см. лиг. 1) ф = — !ш ~Сги' —" " (1 — ш-"ПьКС ' ' е'ч*)~, ч,а1п ча (2) где К и С суть постоянные, Первый член дает течение около клина с прямолинейными сторонами, а второй учитывает поправку, вносимую кривизной сторон. Из уравнения (2) мы имеем -"- -"'[ ди чд 1 — 2— — — ] яв ча — тдч, — ачь ьКС ди чт — ' -С[ш[ Так как рассматриваемое решение в точке Г регулярно, то длина граничной линии тока в плоскости течения пропорциональна расстоянию рассматриваемой точки плоскости годографа от точки Г, т.
е. пропорциональнз г, следовательно, кривизна граничной линии тока пропорциональна яп ча, Далее, необходимо знать кривизну скачка уплотнения. Угол наклона скачка уплотнения в плоскости течения в первом приближении пропорционален г (измеренному вдоль ударной поляры). Длина скачка уплотнения, измеренная от острия клина, пропорциональна у, т. е, пропорциональна гяп(ч, — ч,). Следовательно, отношение кривизны скачка уплотнения к кривизне граничной линии тока пропорционально величине 168 ГЛ Ч1 ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ МЕТОДОМ ГОДОГРАФА Составим производную вдоль линии тока; использовав равенство 'и'1, 5(8), мы получим ! -- 2-= — г '-"'" ~ ---а1и(= ~) — КСг чп' ' в|и(Ф вЂ” 2 — ~ ч) 1 й'и ( 1 — 2 —" Гч, Подставив сюда ч= ч,, мы найдем чч 1 — 2-=- 1-- Ксг-чл" чг ии з1и ча а1и ча 1Р« .
аи сои ча 1 — 2 =' з1и че Следовательно, условие «'1, 5(7б) на ударной поляре выполняется. Для того чтобы получить линию у = О, следует представить уравнение (2) в вещественном виде; мы получим ф= СгЯВ1п( ~ «) — г """КС ч ' з(п~(1 — 2 =)ч+ча~~=О. Ограничившись членами наинизшего порядка относительно г-чп, мы найдем в первом приближении = О. Следуюший шаг итерации дает более точное значение ~ = КСг —" ", Таким образом, отклонение направления линии тока от ее направления в точке гт определяется формулой о = чг = КСг' (з) Длина линии тока, измеренная от точки Р, пропорциональна, согласно формуле «1, 5(б), вещественной части функции Г (ти).
Ограничившись членами наинизшего порядка относительно г †" Л, мы найдем х — хв — Сг' — "" сов~(1 — =) КСг — "'" ~. ч1 ) ЕСЛИ ВЕЛИЧИНа Г-'«Л МаЛа, тО КОСИНУС МОЖНО ЗаМЕНИтЬ ЕдИНИцЕй, и мы получим (4) х — х,— Сг' "~" . Из формул (3) и (4) следует, что кривизна сторон в точке с имеет конечное, не равное нулю значение. нвпгилвгюощвмх склчкх хплотнвння 1б9 $7.
Исследование перехода от прилегающего скачка уплотнения к неприлегающему скачку Переход от течения с прилегающим к острию клина скачком уплотнения к течению с неприлегающим скачком кажется на первый взгляд таким радикальным изменением поля течения, что вслед за этим изменением должно обязательно последовать резкое изменение и свойств течения, например сопротивления. Поэтому исследование такого перехода должно представлять особый интерес. Прежде всего найдем приближенное решение уравнения Трикоми, пригодное в окрестности точки максимума Ь на ударной' поляре.
Причем эту точку за начало координат и и о (между этими переменнымн н одноименными переменными в предыдущем параграфе нет никакой связи), Далее примем, что для скорости вверх по течению относительно скачка уплотнения т1 = 1; тогда из уравнения Ч, 11(2) мы найдем для точки максимума о — — Ь= .ь 1 ~ 4 (1) З 127 и координаты и и о будут 1 и= 3~+ —, 3' 4 г 27 12а) 12б) Вдоль скачка уплотнения величина о есть функция от и, поэтому будем обозначать ее через о,1и). Для малых значений и из уравнения ударной поляры Ч, 11 12) мы найдем — 2 о,= 4 „иа.
Решение вида 12) неприменимо в промежутке между точкой Крокко и точкой, соответствующей критической скорости, так как там величина г —" н представляет собой отрицательную степень г. Решение 12) не применимо и в точке Крокко Этот случай также исследован Гудерлеем 121 (см. лиг. 1). Теперь понятно, почему решение, полученное Крокко, неприменимо в промежутке между точкой Крокко и точкой с максимальным значением б. В самом деле, в этом промегкутке поправка, вносимая в решение кривизной сторон клина, очень мала.
В промежутке же между точкой Крокко и точкой, соответствующей критической скорости, наоборот, преобладающую роль играет поправка, обусловленная кривизной сторон, поэтому здесь вполне оправдано решение Крокко, молчаливо предполагающее это обстоятельство. 170 ГЛ Ш ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИИ МЕТОДОМ ГОДОГРАФА Уравнение для ф в плоскости годографа примет теперь вил + (-~- — и) ' „,. = О. Граничным условием на ударной подаре будет (4) — — 3~ — (1 — — ) д =О 15) (ба) дф / 1 г ЗЗ т г)ф ди 1' 3 ~ 4 ) дв — — —,111 — — — и) — =О прн о.=п.= — — — и'. (бб) "гг27 и З Решения, которые будут получены ниже, пригодны для малых значений с; точнее говоря, с лолжно быть одного порядка с о, и тем самым одного порядка с и'. Предполагаемый вид решения можно найти из следующих соображений. Будем брать с все более и более малым и при этом будем изменять масштаб для координат и и и таким образом, чтобы в новых координатах расстояние между граничной линией тока и ударной полярой в точке Р сохранялось неизменным.
Тогда л1ы получим последовательность конфигураций, для которых расстояние между. ударной полярой и изображением стенки изменяется тем меньше, чем меньше с. Поэтому можно прел- полагать, что решение должно иметь большое сходство с решением для случая постоянного расстояния л~ежду обоими контурами. Решения, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению и граничным условиям в точке с минимальным расстоянием между указанными контурами, имеют вил р ~З ' (~ + л) с и1з)п ~ (л+- — ) (1+ — )1, где л есть целое число. Теперь следует попытаться так обобщить это предполагаемое решение, чтобы оно было приближенно пригодно также на некотором расстоянии от самого узкого поперечного сечения между обоими контурами.
Рассмотрим вместо самого узкого поперечного сечения другое поперечное сечение. Если бы Пусть угол раствора клина пе- р рехолнт — влоль уларной поля- С ры — от максимально возможного ущ„,„ия значения Ь к несколько большелпляд му значению Ь+ с. Ограничимся и=с.- Ги) рассмотрением нижней половины и=-с и ударной поляры, потому что ей соответствуют положительные Р пс ЗЗ. КРаспптттеппнип пблппптаппи и=а, ЗНаЧЕНИя О. БуЛЕМ ИСКатЬ рЕШЕНИя уравнения Трикоми, взятого в виде (4), при следующих граничных условиях (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
