К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Сначала остановимся на некоторых несжимаемых течениях ') Пусть э) Одно время думали, что можно обнаружить существенные свойства околозвуковых течений, если, взяв в основу решение, соответствующее годографу несжимаемого течения, составить затем такое решение уравнения голографа сжимаемого течения, которое имеет одинаковую структуру с решением лля несжимаемого течения (принцип соответствия).
Однако применение такого метода требует большой осторожности. В одном случае, разобранном Ринглебом, этот метод оказался плодотворным, а именно выяснилось, что существуют течения, в которых возможен как непрерывный переход от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым, так и непрерывный обратный переход от сверхзвуковых к дозвуковым скоростям, Олнако при исследовании вопроса о возникновении скачков уплотнения в смешанных течениях, т. е. в течениях с до- и сверхзвуковыми областями, этот метод привел к неверным заключениям, так как, несмотря на свою большую общность, он все же не охватывает все мыслимые поля течения. Заметим, что уравнение Трикоми (6) можно получить также путем применения преобразования Лежандра к приближенному уравнению околозвукового течения, вывеленному для плоскости течения.
Соотношение (7) позволит затем перейти к функции тока. Для сокращения записей целесообразно перейти от переменных ю и ф к новым переменным ю(ш* и ф,'р*тв' (тогда обе переменные будут иметь размерность длины). Это означает, что в соотношениях (7)— (10) и (12) р' и ш" полагаются равными единице. В последующих вычислениях мы используем зто упрощение. 128 ГЛ Ч. ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА Потенциал и функцию тока плоского несжимаемого течения можно рассматривать как вещественную и мнимую части функции ком. плексного переменного а, т. е. положить Ф(х, у)+[ф(х, у)= Я(е).
(2) Величина Я называется комплексным иотекдиалом скоростей. Если принять х и у за две независимые переменные, то из уравне ния (2) следует, что дФ .дф  — -+ з' — = —. дх дх ие ' Так как дф от дх = то предыдущее равенство мозкно переписать в виде ий и — тп = —. Величина из= и — (о .называется вектором комплексной скорости' ). Если отождествить плоскость х, у с комплексной плоскостью г, то вектор комплексной скорости получится из вектора физической скорости путем зеркаль- ,ного отражения относительно оси х. Следовательно, мы имеем ,уо тю = —" = Я'.2 йг (4) В плоскости годографа функция тока зависит от скорости, поэтому Я следует рассиатривать как функцию от ш, т. е. исключить из соотношении (2) и (4) величину г. Переход от плоскости течения к плоскости годографа часто наиболее просто выполняется посредством преобразования Лежандра Ф = — - Ф+ их+ну [уравнение ьг, 1(8)[, которому можно придать вид ср=Ке (гнз — Я) =Ке(м), (5) где ти определяется равенством (4).
Наоборот, йв — = в. й'И (6) з) В других параграфах буквой ге обозначается абсолютное значение .скорости, однако спутать между собой эти разные понятия вряд ли возможно. й 8 ПРИМЕРЫ ПОСТРОЕНИЯ ГОДОГРАФА 129 Величина ш называется комплексным преобразобаккьгм потенциало,и. Независимой переменной является, конечно, по-преукнему то. 77рамеры. Комплексный потенциал течения, создаваемого источником, равен (2 = 1и г. (7) Отсюда то=(о =— 1 л следовательно, иооб лконоо бесноночноогои й=я 1, (10) отсюда ггг 2-2 а =1у" — то, 2 ш = — — = — 2й = — 2 )г — пг.
л (11) (12) Следовательно, годограф представляет собой двулистную рима- нову поверхность с точкой разветвления в начале координат. Течение около полутела (рис. 31) определяется уравнением ьб = Уз+1и я, (13) где У есть скорость набегающего течения. Отсюда мы имеем 1 то= У-+ —, 1 г =. го — У ' Я = — — 1п (то — У), и по — У ш = — 1+1и (то — У). (14) (15) о ч ича к г гтлеолей Ы (то) = — 1п то.
(8) Комплексный преобразованный потенциал равен ш = 1 — 1и пг. (9) Выяснение смысла полученных соотношений предоставляем читателю (в подобного рода задачах самостоятельный опыт имеет особенно большое значение). Комплексный потенциал течения, создаваемого диполем, равен Р к с. 31. течение около полутела огсточник в параллельном течении).
а — плоскость течения, б- плоскость топографа. Область Г топографа соответствует внутренней области палутела, а область 2 — внешней области полутела. ГЛ. Ч. ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА Следовательно, точка пг = У плоскости годографа является особой точкой. Это вполне понятно, так как в эту точку отображаются все бесконечно удаленные точки плоское~и течения. При использовании фушгции тока налагаются друг на друга два выражения, имеющие в точке гв = У особенности. В плоскости течения источник и полутело тесно связаны друг с другом. В плоскости годографа эта связь в значительной мере утрачивается.
Вблизи особой точки гв = (/ преобладающую роль играет первый член правой части равенства (14), т. е. здесь картина линий тока такая же, как у диполя. В бесконечно удаленных точках плоскости годографа преобладающую роль играет второй член правой части равенства (14), следовательно, здесь картина линий тока имеет такой же вид, как у источника.
Бесконечно удаленные точки плоскости годографа являются изображениями источника внутри полутела, следовательно, линии тока плоскости годографа, исходящие из бесконечности, являются изображениями линий тока плоское~и течения, исходящих из источника и располагающихся внутри обтекаемого тела, Так как на этих последних линиях скорость в бесконечности равна У, то все их изображения в плоскости годографа должны оканчиваться в точке тв = У. В нулевой точке плоскости годографа течение должно иметь точку разветвления. соответствующую критической точке плоскости течения. Если в равенстве (14) умногкить член 1и (тв — У) на положительный множитель — на первый взгляд это может показаться несущественным изменением, — то точка рззветвления линий тока переместится в другое место, и мы получим совершенно другую картину течения.
В последнем случае использование комплексного преобразованного потенциала приводит к значительно более простой картине. В связи с последними замечаниями возникает вопрос о смысле такого решения уравнения годографа, для которого нулевая точка не является точкой разветвления линий тока. С подобного рода случаем можно встретиться при построении решения в плоскости годографа, если не уделить достаточного внимания нулевой точке. Для того чтобы выявить существенные свойства поля течения вблизи нулевой точки, разложим Я в ряд Тэйлора и ограничимся рассмотрением только первого члена разложения. Тогда, если не обращать внимания на несущественную постоянную, мы будем иметь (1б) (Если ряд Тэйлора начинается с члена более высокого порядка, то нулевая точка является точкой разветвления линий тока.) Из определения вектора комплексной скорости (равенство (4)1 следует, что а з пРимеРы пОстроения ГОдОГРАФА Для рассматриваемого случая мы имеем Ию поэтому а=1ппг, Это означает, что нулевая точка плоскости годографа отображается в бесконечность плоскости течения.
Заметим попутно, что то же самое получается и для сжимаемых течений. Перейдя в плоскость течения, мы получим ш = е', ы = е', ф = е"' з1п у. (17) Этим уравнениям соответствует течение между двумя параллельными прямыми, например между прямыми у=0 и у=к. Линии тока изображены на рис. 32. Такое поле течения можно рассматривать как предельный случай течения внутри угла при уменьшении этого угла до нуля. Прелельный переход от угла к двум параллельным прямым показан на рис. 33.
Р во. ЗЗ. Смысл реюевия (в ило скости голаграфак ие имеююего точки разветвления ливия тока ири иулевои скорости. Р и с. ЗЗ. Персхоя от течевие в вогоутом углу к течеиию между акума вараллелы ими стев качи. После того как решение в плоскости течения известно, можно вычислить комплексный преобразованный потенциал; мы получим ю = тэ (1 и тэ — 1). 118) Следовательно, для комплексного преобразованного потенциала нулевая точка в плоскости годографа, если она не является точкой разветвления линий тока, представляет собой особую точку. Обычно из физических соображений необходимо требовать, чтобы нулевая точка плоскости годографа была точкой разветвления линий тока.
Тогда при применении функции тока необходимо требовать, чтобы ее разложение в ряд Тэйлора не, содержало линейного члена, От комплексного преобразованного потенциала требуется только регулярность. Если комплексный преобразованный потенциал равен ю = тв, то решением в плоскости течения на основании соотношения 16) гл ж Основы метОдА ГодОГРАФА 132 будет г=!. Следовательно, наложение в плоскости годографа выражения Ф = ю равносильно увеличению всех координат в плоскости течения на постоянную величину. При представлении годографа с помощью функции тока координаты плоскости течения получаются путем интегрирования.
В этом случае параллельное смещение плоскости течения обусловливается выбором постоянной интегрирования. Следующим членом разложения комплексного преобразованного потенциала в ряд Тэйлора будет Отсюда (19) Эти уравнения опрелеляют течение около критической точки. Выявим теперь смысл такой точки рааветвления линий тока, в которой скорость не равна нулю. Пусть, например, мы имеем (3 = (~у а)2, (20) Отсюда да = — = л'й 2 (гв — а) 2(тд. гв ю Проинтегрировав и выбрав надлежащим образом постоянную интегрирования, мы найдем я = 2 (я — а) — 2а 1п тв. мы получим (гв — а)2 2 (гв. -а)2 а 3 а2 Отсюда ав = — (А— 1 2 а Зат Обратив это соотношение, мы будем иметь я = а(г — ва) +- — ач (а — го)чч 3 (21). Таким образом, Ий О= — — = + 'А( — Вв)'А, Для дальнейшего исследования разложим правую часть в ряд в окрестности точки я=а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
