К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 22
Текст из файла (страница 22)
линия тока продолжается во втором листе, получающемся из первого листа путем перегиба вдоль предельной линии. Равенство нулю второй проиаводной наглядно показывает, что соотношение Ч, 2(6) соблюдается в двух соседних точках линии тока. С другой стороны, соблюдение сзмого соотношения Ч, 2(6) означает, что в плоскости годографа линия тока касательна к характеристике. Таким образом, из равенства нулю второй производной следует, что такое касание происходит в двух соседних точках, иными словами, в плоскости годографа между линией тока и характеристикой имеет место касание более высокого порядка.
Укажем без доказательства, что прн аналитическом решении уравнения в плоскости годографа это обстоятельство приводит к появлению в поле течения точки заострения такого же типа, кзк на рис. 25. 113 З а прядвльнля линия Далее, можно аналитически показать, что если в плоскости годографа предельная линия не совпадает с характеристикой, то выражение Рх/ггтзз, составленное вдоль линии тока, может обращаться в нуль вместе с ~(хгг(тп только в изолированных точках плоскости течения. Если какая-либо линия тока совпадает с характеристикой, то для всех точек пх(ггш = О и г(у/~та = О (см.
равенства Н, 1(15) и (3)), т. е. все точки характеристики плоскости годографа отображаются в одну точку плоскости течения. Физически это означает возникновение расширяющегося течения, вторгающегося в непараллельное течение. При этом на рассматриваемой линии тока получается угловая точка, которая и вызывает появление волн Маха расширяющегося течения. Если этн волны таковы, что для них Л=сопзг (см. формулу 1, 7(3)], то в угловой точке эта величина принимает различные значения в зависимости от направления волны Маха. В общем случае к угловой точке подходит ~олько одна волна Маха другого семейства (для которого й= сопз1). Отсюда, очевидно, следует, что угловой точке как результату отображения годографа на плоскость течения соответствует отрезок кривой 1ь = сопз1, В чем же состоит физический смысл предельных линий? Прежде всего сформулируем этот вопрос несколько точнее.
Предположим, что аналитическим путем найдено поле течения, обладающее предельной линией, и выясним, какие граничные условия необходимы для того, чтобы тзкое поле могло быть полностью нли частично осуществлено. Для этой цели удобнее всего построение методом характеристик, так как оно отчетливо показывает влияние граничных условий. В рассматриваемом течении выберем две линни тока в качестве ограничивающих стенок. Далее, в сверхзвуковой области отыщем линию, образующую с вектором скорости угол, который везде больше угла Маха или по крайней мере равен ему, Затем вдоль этой линии вычислим — на основе имеющегося аналитического решения — вектор скорости. Граничные ливии тока прервем на предельной линии. Если обратиться к рис.
22, то на нем мы можем принять течение известным, например вдоль волны Маха АВ. Заданными граничными линиями тока пусть будут ВС и АО. Однако этих грани шых условий достаточно только для того, чтобы определить течение до волны Маха ПВ. Таких граничных условий, которые приводили бы к тому, что внутри поля течения волны Маха исходили бы одна из другой, не существует. Это было бы возможно только при наличии границ, возвращающихся назад. Такие границы можно было бы осуществить, например, посредством лопагок, установленных внутри течения. Если отвлечься от подобного вода искусственных возможностей, то предельная линия, предстагляющая собой огибающую волн расширения, физически возникнуть че может (Гудерлей (17), см.
лиг, 1). По-иному обстоит дело на рис. 23. Здесь границы определяют юле течения вплоть до предельной линии (и даже еще на некотором 8 зак. бзь к. г. Гудерлеа 114 ГЛ. Ч ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА куске плоскости течения после ее перегибания). В этом случае вовникает сближение волн сжатия, вследствие чего образуйся скачок уплотнения. Таким образом, возникновение предельных линий, поскольку оно определяется граничными условиями, тесно ° связано с явлениями„ известными из сверхзвуковой газовой динамики. Конечно, при формулировке краевых задач в плоскости годографа необходимо следить за тем, чтобы в плоскости течения не получались границы, переходящие во второй лист.
Именно поэтому недопустимо, чтобы граничная линия тока пересекала характеристшсу более одного раза. ф 4. Частные решения уравнения годографа, полученные Чаплыгиным В последующем изложении решения точного уравнения годографа не будут играть никакой роли, так как мы всегда будем предпочитать пользоваться упрощенным уравненпесл, более удобным в математическом отношении. Однако всегда будет возникать вопрос о связи между решениями приближенного и точного уравнения годографа. Для понимания этой связи необходимо некоторое знакомство с точными решениями. Так как в уравнение У, 1(10) или в У, 1(14) Ь явно не входит, то можно предположить, что решения этих уравнений имеют вид 151п тЬ, ф=я;(ш.т) сов тЬ, (созтЬ, Д~ас 1 / ~ т21 Ф~1 т2 1 ю21 ссса2 + т 11 + ч2 ) стса св2 СА а2) (2а) Нгйа 1 С св21 яда т2 с' т21 + ~1 ) " ~1 * )йг=0 (2б) втх т ~ а2) сйв т2 ~ чв) где в2 — та~ пса х+1 2 х — 1 2 2 В этих уравнениях скорость ш может изменяться от нуля до те* )С(х+ 1))(2 в 1).
В самом деле, из уравнения Бернулли следует, что гв*)/ (х+ 1)/(х — 1) есть наивысшая скорость, которая может причем т есть постоянная. Эти допущения приводят к обыкновен- ным дифференциальным уравнениям й а чАстные Решения, пОлученные чАплыгиный! 115 возникнуть в течении. Легко найти, что решения уравнений (2а) и (2б) выражаются в виде рядов дг = тай "',Ря иково, й — титиь ~~ь'(г о (4а) (4б) коэффициенты которых а„и Ья можно вычислить посрелством рекуррентных формул. В случае целочисленного т одно из решений, например лг, следует взять в виде нг = чв-'и ~ч~',, аишя" + сг вы !и я 2~ аяша~ о о (с) причем для определения коэффициентов а„получается опять рекуррентная формула.
В аналогичном виде следует взять решение также для Ря. После того как решения линейных дифференциальных уравг -уст пений получены, дальнейшие численные расчеты не представляют никаких принципиальных трудностей. На рис. 26 изображены два линейно независимых реве- й ния для я=3 и и=10. Лифференциальные уравнения (2) легко можно свести сг лг=з к известному типу. В самом деле, если мы введем в качестве новой независимой пере- Г!Л лгу огггыг —— ул менной величину Р и с.
2б. Двл ливейио везависииик репгеиия д, при ат=З и от=10 (иастятаб по вер тикали ие играет никакой роли, так как зиачеиия Ю волучаготся из линейного лиффереивиальиого уравиеиия!. » — 1(ш)2 (б) то получим С'2А'1 х — 2 1 гтя1 тя! х — 1 т (! — т) — 1+( ! — — .) — — — ~! — ' т) ~1=- О (7а) Лчя (, х — 1 ) Лт 4т ! х+1 и с (! — т) — — '"' + ~! — —.- т ) — '= — — ~ ! — — т) дя = О.
(7б) Лтд., Г х ! гту, лгя 1' х — 1 Лч2 ! х — 1 / гГч 4т ! х+1 1) С некоторыми свойствами гипергеометрнческих дифференциальных уравнений мы познвкомнмся ив стр. 197 — 199. Эти уравнения имеют три регулярные особые точки, а именно: О. 1 и ОО; следовательно, они представляют собой гипергеометрические дифференциальные уравнения '). Применив обозначения, обычные 11б ГЛ Р ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА для гипергеометрических рядов, мы сумеем представить решения уравнений (7), за исключением вырожденного случая, решение которого определяется равенством (5), в следующем виде: (8а) (!' гл 1 / шт(» 1)з '! )1,2 + 2(» — 1)+ 2(» — 1) У +»-1-1 7' ~ 2 + 2(» — 1) 2(» — 1) 1' +»-„-1 )' (8б) Для целых отрицательных вт проще всего использовать решение (б).
Для вычисления функций часто предпочтительнее вместо разложения в степенные ряды производить численное интегрирование дифференциальных уравнений. Первый член полученных выше ря дов дает приближенное решение для умеренных скоростей, т. е. для несжимаемых течений. В самом деле, выражения тиР'» гйп шй и тп — м соз тб, будучи вещественной и мнимой частями комплексной функции (и — (п)дм, являются решениями уравнения годографа несжимаемого течения (это уравнение тождественно совпадает с уравнением Лапласа). Именно это обстоятельство и устанавливает связь между частными решениями для несжимаемых течений и частными решениями для сжимаемых течений.
Следовательно, проявляя надлежащую ос~орожнос~ь, можно получить представление о сжимаемых течениях путем рассмотрения аналогичных несжимаемых течений. Однако с физической точки зрения ценность таких расчетов не очень велика. Таблицы для решений Чаплыгина составили Чжан и О'Брайен, а также Хуккель (см. лнт. 1). й 5. Решение одной краевой задачи Покажем на примере одной краевой задачи, как возникают частные решения Чаплыгина. Рассмотрим истечение из отверстия в предположении, что течение плоское'), На рис.
27,а слева от заштрихованной стенки находится неограниченный резервуар. Из отверстия г) Эта задача впервые рассматривалась Молепбреком (см. лиг. 1), однако вследствие ошибки в формулировке граничных условий Моленбрек ие получил удовлетворительиого результата. Правильное решение принадлежит С. А. Чаплыгин а 5 Рец!ение однОЙ кРАеВОЙ зАдАчи 117 с острыми краями вылетает струя с дозвуковой скоростью. Величина этой скорое~и определяется, конечно, внешним давлением.
Прежде всего построим отображение рассматриваемого течения на плоскость годографа (рис. 27,б). Для придания большей ясности соответствию между плоскостью течения и плоскостью годогрзфа на фиг. 27,б показано отображение только нижней половины течения. Соответственные точки плоскости течения и плоскости годографа обозначены одинаковыми буквами. В бесконечности в резервуаре скорость движения газа равна нулю, поэтому бесконечно удаленная точка плоскости течения отображается в нулевую точку плоскости годографа.
Вдоль нижней половины стенки вектор скорое~и направлен вертикалыю вверх, следовательно, в верхней половине плоскости годографа этой стенке соответствует вертнкалштая линия. эвуковая анния и'"!в=; — есобаоная еяхноегль тшяп пленка ;" гггака сгребена слзуа Р и с. РХ Истечение черве отверстие, о — плоскость течения, б — плоскость гологрвфв Свободная поверхность струи представляет собой линию постоянного давления, а потому — на основании уравнения Бернулли — также линию постоянного модуля скорости. Эта линия изображается в плоскости годографа в виде круговой дуги ВС.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
