К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Форма линий тока в дозвуковой области уллатледдтдв Р и с, 22. Предельиая лидия, оеразозаииая расхоляиеимися аалиами расширеиия. определена путем аналитического расчета; на рисунке показаны две боковые линии тока этой области. При построении посредством метода характеристик волны Маха, изображенные штриховыми линиями и начинающиеся на звуковой линии, направлены вверх по течению и на некотором расстоянии от звуковой линии пересекаются олльд сжатття Р и с. 23. Предельная лидия, оаразазаяяая схадяитимися залиами сжатия. друг с другом так, что образуется огибающая их линия. Эта огибающая и представляет собой предельную линию.
В поле течения, соответствующем такому построению, штриховые линии были бы волнами разрежения, исходящими из предельной линии и направленными вниз от нее по течению. Второй лист течения изображен на рис. 23. Он расположен над первым листом и получается, если построение, выполненное на рис. 22 и доведенное до предельной линии, продолжить, опять применяя метод характеристик. 5 3 ПРЕДЕЛЬНЛЯ ЛИНИЯ 1от Аналитическим решением уравнения для функции 6 в плоскости годографа для источника с мощностью 2п будет Для потенциального вихря линиями тока являются линии постоянного модуля скорости, поэтому Ф =Ф(тз) и из уравнения Ч, 1(13) следует, что или ф г Ю (2) Нетрудно найти координаты плоскости течения, соответствующие этим решениям.
Конечно, вследствие симметрии относительно нулевой точки это достаточно сделать для какой-нибудь одной линии, например для оси и, т. е. для Ь = О. Тогда для источника, на основании первого уравнения системы Ч, 1(15), мы получим глг 1 —--- дл яг ды згзг или, если учесть равенство 1, 2(10а), дх (ггз) ды гГгз откуда 1 х=— зы Конечно, этот ьте результат мы могли бы пол)чить непосредственно Далее мы найдем, что у=О.
или, так как ф„,= — р(тз. ду дгз откуда следует, что Для потенциального вихря второе уравнение системы Ч, 1(15) после подстановки Ь = 0 принимает вид — = — Ф„, ду 1 дге гнг 108 гл ч основы мвтодл годогглчл К атому же результату мы могли бы прийти и непосредственно, рассмотрев решение для потенциального вихря в плоскости течения.
Наложим теперь обз полученных решения друг на друга, предварительно умножив первое на постоянную с,, а второе на постоянную са (заметим, что зти постоянные имеют разные размерности). Тогда для определения радиуса г окружности, на которой скорости принимают заданное значение тл, мы получим формулу Предельная линия возникает при минимальном значении г, т. е. при выполнении условия й 1 à — 2ст П(Рю) саз — — 2 — [= [ (ап,)а Пгз газ [ откуда следует, что Так как выражение может принимать в сверхзвуковой области все значения от нуля до бесконечности, то предельная линия получается при любом выборе значений с, и са.
В том, что функциональный определятель Е) на предельной линии действительно равен нулю, легко убедиться, подставив значения $а и о„, определяемые равенствами (1) и (2) и умноженные предварительно соответственно на с, и с,, в уравнение Ч, 2(4). Главные свойства предельных линий легко усмотреть нз рис. 22 и 23, Предельная линяя обраауется либо вследствие того, что расходятся линии разрежения (рис. 22), либо потому, что сходятся линии уплотнения (рис. 23). Конечно, при атом необходимо иметь в виду, что интервал между волнамн Маха должен стать бесконечно малым.
Тогда предельная линия будет представлять собой огибающую семейства волн Маха и, подобно волне Маха, будет образовывать с вектором скорости угол Маха. Так как второе семейство волн Маха образует с первым семейством угол 2щ то предельная линия не является огибающей второго семейства. Волны второго семейства подходят к предельной линии под вполне определенным углом, а именно под углом 2п, а затем под тем же углом вовврзщаются назад. $ З. ПРЕДЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ Пересечение двух волн Маха означает, что даже при бесконечно малом интервале между двумя последовательными волнами плотность волн Маха в точке пересечения бесконечно велика. Само собой разумеется, что это имеет место только для волн Маха, образующих своим взаимным пересечением предельную линию; плотность же волн Маха другого семейства конечна.
В методе характеристик — в том его виде, в каком он разработан Буэеманом,— каждая волна Маха означает вполне определенное изменение состояния, поэтому при приближении к предельной линии под углом, не равным нулю, изменение состояния (градиент давления и кривизна линий тока) становится бесконечно большим. Одновременно становится бесконечно большой также кривизна линий Маха второго семейства, так как направление этих волн является функцией скорости. прейепена В пиния вопит Моха тп сенейстпва а то ввпн Маха, инние которых алеет преоеплнут никит вторая таило пересечения вопят Моха и пи~ии токо пересечения Маха и квока писает ппоскоспти птечвния Р и с.
ак Структуре поля течения валиев превслвиоа ливии. На рис. 24 схематически показаны оба листа плоскости течения, скрепленные между собой вдоль предельной линии, На этих листах изображены: волна Маха того семейства, для которого предельнзя линия является огибающей, волна Маха другого семейства и линия тока, Волна Маха второго семейства и линия тока подходят к предельной линии под некоторыми углами и, дойдя до нее, возвращаются назад. Если такие линии тока и яолнз Маха пересекаются на одном листе, то онн должны пересекаться также на втором листе; в самом деле, во-первых, направления линий тока и волн Маха второго семейства на втором листе лишь немного отличаются от тех направлений, под которыми они подходят к предельной линии на первом листе; во-вторых, линии тока и волны Маха второго семейства пересекаются друг с другом под вполне определенным углом, не равным нулю, а именно под углом Маха.
Если мы рассмотрим волну Маха, пересекающую исследуемую линию тока как раз на предельной линии. то такая волна имеет с линией тока две общие соседние точки. У линий тока, получаемых в результате аналитического решения уравнения годографа, точки заострения в общем случае отсутствуют. Следовательно, если линия тока имеет с характеристикой По Гл ч. ОснОвы мятодл годОГРАФА Р и с.
йб. Пример нрелельной линии, иие щщей тачку евостреиия, Прелельвеи ли ния является отнбщощей схолящихся ваян е~ф = — — — ~утв+ — '~ еу'й = О, дф ду применимого к любой линии тока ф = сопзг, мы получаем для опре- деления направления этой линии уравнение Если в рассматриваемой точке функциональный определитель обращается в нуль, но Ощ + О и фй Ф О, то из уравнения Ч, 2(6) мы имеем две общие, совпадающие между собой точки, то это означает, что линия тока касательна к характеристике. Эти рассуждения наглядно показывают, что предельная линия определяется в плоскости годографа как геометрическое место точек, в которых линии тока касательны к характеристикам. Как показывает пример, изображенный на рис.
25, предельная линия может иметь точку заострения. В этом примере полны Маха воаникают вследствие искривления стенки. При построении поля течения для простоты было принято, что набегающее течение первоначально было параллельным, вследствие чего в поле течения получается только одно семейство волн Маха. В свою очередь это слтвллтии приводит к тому, что в годографе получаются особые точки, а именно каждая волна Маха плоскости течения отображается в одну точку плоскости годографз, а вся плоскость течения в в одну характеристику. Однако легко представить себе пример, в котором имелись бы волны Маха и второго семейства, следовательно плоскость течения отображалась бы на некоторую облзсть в плоскости годографа, и это ни в какой мере не влияло бы на возможность существования точки заострения у предельной линии. Перейдем к аналитическому выводу свойств предельных линий, причем будем исходить только из условия возникновения этих линий, т.
е. из равенства нулю функционального определителя. Из соотношения В 3 ПРЕДЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ С другой стороны, из уравнения Ч, 1(10) или из уравнения Ч, 1(14) мы получаем для определения направления характеристик уравнение <гы Ю (3) ~/.,' Это означает, что если функциональный определитель равен нулю, но производные ф„, и фа не равны нулю, то линии тока касательны к характеристикам в плоскости годографа.
Далее, определим нзправление предельной линии в плоскости течения. Линейные элементы сгх и <Гу, характеризующие какую- лвбо кривую в плоскости течения, и линейные элементы <зев и дЬ, характеризуюшие соответствующую кривую в плоскости годогрзфа, связаны между собой соотношениями дх дх их = — «<в+ — <1!5, дю дз <(у = — <гтв + — ЫЬ! ду ду ды дз следовательно, направление рзссматрнваемой кривой в плоскости течения определяется уравнением д + д Если функциональный определитель обрашается в нуль, то выраи<ения в скобках в правой части равны друг другу, и мы получаем ду ду д<а 9 <<.т дх д<Р т. е.
направление отображенной кривой не зависит от <(н< и <1Ь. Вычислим теперь <(у(<(х. Так как в плоскости годографа не имеется привилегированного направления, то совместим направление оси х с направлением вектора скорости. Тогда, использовав уравнения Ч, 1(15) и Ч, 2(6), мы найдем ду 1 <тл /",з 112 ГЛ. Ч ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА Это и есть тангенс углз между предельной линией и вектором скорости. С другой стороны, нз соотношения 1 айна=вЂ М мы имеем Следовательно, вектор скорости и предельная линия образуют между собой угол, равный углу Маха, что подтверждает результат, полученный раньше наглядным путем.
Покажем теперь, что второй лист плоскости течения перегибается над первым листом вдоль предельной линии. Если передвигаться в плоскости годографа вдоль линии тока, то вблизи предельной линии скорость тв можно рассматривать как параметр вдоль линии тока (в самом деле, так как там линии тока приближенно касательны к характеристикам, то ~йв вдоль линии тока безусловно не равно нулю). Вычислим величину ~з д изменяющуюся прн перемещенин вдоль линии тока. Как было показано выше (стр. 110), вдоль линни тока Фю поэтому (4) Следовательно, на предельной линии величина лх1г1тв обращается в нуль. Если вторая производная не равна нулю, то х имеет экстремум, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
