К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 16
Текст из файла (страница 16)
не могут возникать вне тела. Попытаемся представить течение, вызываемое движущимся телом. посредством распределения источников. расположенных на оси тела. Для определения потенциала источника, находящегося в точке ли у=О, я=О и имеющего в момент времени 1 мощность д(х„11), воспольвуемся уравнением (1), предвариз ельно перенеся соответствующим образом начало координат; мы получим Ф = — — У~хг, во где (4а) , 2 — у2+ лз (4б) Вторым аргументом функции д является, согласно сделанному выше определению втой функции, момент времени 1,, для которого в точке х, необходимо определить мощность источника; мы имеем $ б.
неустднОВившиеся ОколОзвукОвые течения 79 Путем наложения таких источников мы получим для потенциала Ф формулу юа-есо — 1-Ч(хо 1 — ~ ) бах,. 1 Ф= —— 4п (6) ха — оз Представим теперь движение тела графиком, изображающим зависимость пути х от времени г. Пусть линия х = п(г) изображает движение передней точки тела. Если тело имеет длину Е, то движение крайней задней точки тела изображается линией х = и (г) + а'.(рис. 6). !ао ~ всь емлп в раеемдтроеаеммй аплебосачв влияя вля точки, лежа яа поверхности Р н с. б. К расчету течения окоао тена вращения, которое внезапно выводится нз состояния покоя и сразу приобретает дозвуковую скорость.
'У'ез+(х — х,)з (7) по Следовательно, при фиксированных значениях х, г и г связь между первым и вторым аргументами функции д определяется уравнением 2 ао(а, — Г)г — (х — х,)а = гз, соответствующим гиперболе, асимптоты которой пересекаются в точке с координатами х, = х и Г, = г, Такая гипербола, называемая гиперболой влияния, изображена на рис. б; она соответствует точке, которая лежит на поверхности обтекаемого тела. Следовательно, для вычисления потенциала Ф по формуле (6) необходимсв В области плоскости х, г, лежащей между этими линиями (на рис. 5 эта область заштрихована), мощность источника д может быть отличной от нуля. Если в момент времени г мы рассмотрим точку пространства с координатами х и г, то на основании формулы (б) вторым аргументом функции су будет ЗО гл. ин линвлвизовдннов исслвдовлнив околозвгковых твчвнип использовать точки диагратмы х, 1, лежащие вдоль построенной гиперболы влияния.
Если г мало, то эксцентриситет этой гиперболы мал, и поэтому путь интегрированна почти целиком совпадает с асимптотами. Конечно, функция д(х,, 1,) определяется граничными условиями аа поверхности тела. Пусть меридианное сечение задано уравнением г = г ((), причем система координат г, с движется вместе с телом, а ось с совпадает с осью х. В таком случае для фиксированной точки тела мы будем иметь х (Е) = л Р) + с. Нормаль к поверхности тела задается вектором »' — — >+1 лс (~ есть единичный вектор в направлении х, а 7' — единичный вектор в направлении г).
Скорость относительно движущегося тела определяется вектором »л д» . дд> ( и> дх) дг Так как нормальная составляющая скорости равна нулю, то, приняв величину дФ~дх малой го сравнению с д>й/Ж, мы найдем для Ф- значение ~И А' Ф-= — —— лг >гч (8) Следовательно, значения Ф-„ предписываются граничными условиями. Выразив Ф - через интеграл, мы получим для определения >7 интегральное уравнение. Приближенное решение можно найти следу:ощип образом. Внеся в формулу (6) значсние ~ вз равенства (7), мы найдем для фиксированной точки х Ю;+ О> г д)1 Ф- = — ) > — >7 (х, 1 ) + — — 1 д>х, 4я .l 1 ~~ » )7>аа дГ> ) т. е, доля, вносимая в Ф- источниками, быстро убывает с увеличением расстояния >с' источника от рассматриваемой точки.
Следовательно, для определения Ф- в заданной точке х, г, 1 играет роль только часть соответствующей гиперболы влияния, а именно та часть, которая расположена в непосредственной близости от заданной точки. Это означает, что составляющая скорости в направле- а 5 неустановизшиеся ОкОлОзвукОВые течения 81 нии г в точке, лежащей вблизи оси х, определяется почти исключительно мощностью источников, расположенных в рассматриваемый момент времени на непосредственно прилегающих частях оси.
Эффект этих источников легко найти из наглядных соображений, Пусть а)(хн Г,) есть мощность источника на единицу длины оси. Эта масса выходит в единицу времени через поверхность цилиндра, ось которого совпадает с осью х, следовательно, мы имеем 2кгФ вЂ” „=а7(хн 1,). Отсюда, использовав равенство (8), мы найдем в первом приближении Ф Внеся полученное значение в формулу (6) мы получим Ь ае 1 г 1 л'Л вЂ” Л Ф(х, г, 1) = — ~ — — г (1) — г(хн 2 3 17 ЛГ, Л1 причем г, определяется формулой (7), а 1 и Й вЂ” формулами 1=х,— ь(г,), Строгий вывод этого результата имеется в работе Ф.
И. Франкля 111 (см. лиг. 1). Для определения давлений на теле следует воспользоваться линеаризованным уравнением Бернулли для неустановившегося течения. Мы найдем аар = Рвфн Как нетрудно видеть из формулы, определяющей потенциал для отдельного источника, производная Фе пропорциональна )с Хотя 15 с увеличением расстояния уменьшается, тем не менее интеграл, взятый по х,, с увеличением х, логарифмически стремится к бесконечности, следовательно, величина давлений на теле в значительной мере может быть обусловлена удаленными частями гиперболы влияния.
После этих подготовительных соображений можно построить качественную картину возникновения аэродинамических сил, действующих на тело при разных состояниях полета. Пусть тело выведено из состояния покоя, причем в одном случае ему сразу сообщена некоторая дозвуковая скорость, в другом случае — тоже сразу звуковая скорость и в третьем случае — опять сразу сверхзвуковая скорость. Соответствующие диаграммы х, 1 построены на рис. 5, 6 и 7.
В заштрихованных областях величина д не равна нулю, но при этои она является здесь функцией только расстояния 1 от передней точки тела, так как в каждом случае скорость полета постоянна. б Заа 5ЗЬ К. Г. Гувераеа 82 гл. и!. линеАРНВОВАннОе исследОВАние Околоэауковых течении На рис. 5 — 7 изображены также гиперболы влияния для точки, расположенной на поверхности обтекаемого тела. Можно считать, что каждая из этих гипербов движется вместе с телом. Мы видим, что при дозвуковой и сверхзвуковой скоростях полета на величину давления влияют только конечные отрезки гипербол.
При аеа тел ма з пеабопа Ля точки па птлтерхп Р и с. 6. К расчету течения около тела врзшения, которое внезапно вывалится из соотояния покоя и сразу приобретает звуковую ско- рость. !.ся к оса тело в рассматриваемый Р н с. 7 К раечету течения около тела враюення, которое внезапна вннолнтся из состояния покоя н сразу приобретает сверязауковую скорость. сверхзвуковой скорости полета это влияние обусловлено только источниками, расположенными впереди рассматриваемой точки относительно системы координат, движущейся вместе с телом.
При этом каждый из таких источников влияет на давление в рассматриваемой точке дважды, а именно: один раз, когдз волна, исходящая из источника н движущаяся вина по течению, проходит через рассматриваемую точку, и второй раз, когда рассматриваемая точка догоняет волну, исходящую из того же источника, но движущуюся вверх по течению. $ з неустАНОВнВшиеся ОколОЗВукОВые течВння 83 При дозвуковой скорости полета на распределение давления в заданном месте оказывают влияние все точки тела. При движении тела с звуковой скоростью заштрихованный участок диаграммы х, ! отсекает от гиперболы влияния конечный отрезок только тогда, когда время, прошедшее с момента начала движения, конечно, Пусть движение тела начинается в момент времени ! = — О.
Чем больше пройдет времени после этого момента, тем длиннее будет правая ветвь гиперболы в заштрихованной области. Так как влияние источника на величину давления пропорционально Й т. е. для больших значений 1 пропорционально (х — х,) , то давления, определяемые интегрированием по х,, возрастают при увеличении 1 пропорционально 1и х или 1и г. Тело все время движется со скоростью вызванных им возмущений, и эти возмущения влекут за собой все большее и большее возрастание давлений. Конечно, при сильном изменении давления изменяется также скорость звука, и поэтому первоначальные возмущения отделяются от тела.
В результате возникает установившееся поле течения, но его формирование определяется и нелинейными членами дифференциального уравнения, учитывающими изменение скорости распространения звука. Если тело движется с непостоянной скоростью, то тогда графики, связывающие время и путь, пройденный передней и задней точками тела, уже не будут прямыми линиями, Следовательно, при ускоренном движении заштрихованная область отсекает от гиперболы влияния, построенной для рассматриваемой точки в рассматриваемый момент времени, конечный отрезок, и поэтому давления получаются конечными.
Допустим теперь, что ускорение мало, и выясним, насколько в этом случае давления на теле отклоняются от соответствующих давлений при установившемся течении. Такая постановка вопроса возможна для до- и сверхзвуковой скоростей полета. Пример, разобранный в работе Ф. И. Франкля (!) (см. лиг. !), показывает, что во всех практически важных случаях долю сопротивления, вносимую наличием ускорения, можно не учитывать. Для движения с околозвуковой скоростью сформулированная выше постановка вопроса невозможна, так как в установившемся течении, происходящем со скоростью звука, т, е. при ускорении.
равном нулю, давления на теле становятся бесконечно большими. Теперь можно поставить вопрос то.лько о том минимальном значении ускорения, пря котором отрезок гиперболы влияния получается столь малым, что возникающие давления можно учитывать на основе линейной теории. Такое исследование выполнено Дж. Коулом [2) (см. лит. 1); оно показало, что минимальное значение ускорения хотя и лежит в пределах возможного, но в большей части случаев не достигается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
