К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Отклонение давлений от критического давления на поверхности обтекаемого тела(за исключением тела вращения) пропорционально -.. Для тела врашеиия, согласно равенствам 11, 5 (10) и 11, 5(8), параметру ; пропорциональна величина 1и- Лт, гт, р — р*+ р"а* хб Л! 2 Для графического изображения результатов опытов, связанных друг с другом законом подобия, лучше всего пользоваться величинами, не зависящими от т. Тогда кривые, полученные для различных значений т, совпадут между собой. Прежле всего рассмотрим геометрические условия. определяющие поле течения. Обтекаемое телр описывается аппроксимирующей цилиндрической поверхносгью и поперечными отклонениями тела от этой поверхности.
Конечно, эти поперечные отклонения в соответственных точках полей течения лолжны быть пропорциональны друг другу. Пусть поперечное отклонение в некоторой характерной точке равно Л; оно пропорционально хбт'А, где лб есть характерное расстояние в направлении х. Тогда мы будем иметь бз гл ы закон подонка для околозвкковых твчвнип Координаты у и з аппроксимирующей цилиндрической поверхности пропорциональны х т ''.
Испочьзовав последнее равенство, мы найдем, что в полях течения, связанных друг с другом законом подобия, величины составленные для аппроксимирующей цилиндрической поверхности, должны быть инвариантны. Обратим внимание на то, что координаты х изменяются по-иному, для ннх инвариантным является отношение х>х„. Далее, поле течения определяется скоростью набегающего потока. Если число Маха, соответствующее этой скорости, равно М., то следующим условием подобия будет инвариантность величины М вЂ” 1 или, что то же самое, величины !М вЂ” 1) ( — ") Величины подобно~о рода называются парашин>рами подобия.
Если все перечисленные выше условия выполняются, то поля течения подобны, и выражения !М вЂ” 1)( — ), илн (- -) 2 в соответственных точках совпадают. Как было упомянуто в э 2, физические величины, принил>аемые пропорциональными т, определяются с точностью только до членов второго и более высокого порядков. Иными словами, выражения, выбираемые в качестве параметров подобия, заранее не предопределены. Такую свободу их выбора можно попытаться использовать для того, чтобы получить более хорошее приближение к точным решениям. Спрейтер 1см.
лиг. 1) рекомендует в качестве параметра подобия выражение ~1 +!) ~~ Далее, используя коэффициент давления Р Р,~ с„= 2 з' а 7 пРименения злког!А пОдОБия он составляет выражение Оба эти выражения содержат отношение х удельных теплоемкостей в такой форме, что подобие околозвуковых течений сохраняется также при изменении х Таким путем, как показал Спрейтер на одном примере, удается значительно улучшить совпадение между результатами опыта и теорией.
Тем не менее к предложению Спрейтера следует отнестись с осторожностью, так как соображения, приводящие к предлагаемому им выбору параметра, далеко не убедительны. Конечно, во всех таких попытках приходится мириться с довольно грубыми приближениями. Важные соображения, которые необходимо учитывать в подобного рода исследованиях, приводятся в работе Осватича 12] (см.
лиг. 1). Во всяком случае, без значительного компромисса почти никогда нельзя получить хотя бы до некоторой степени общие результзты. В 7, Применения закона подобия Применимость закона подобия для околозвуковых течений значительно более ограничена, чем применимость правила Прандтля — Глауэрта, так как закон подобия всегда требует деформации обтекаемого тела. В случае пространственного обтекания изменяется не только толщина крыла, но также угол стреловидности (если рассматривается стреловидное крыло).
Соотношения, к которым приводит закон подобия при его применении к крылу, без труда могут быть выведены на основе указаний, сделанных в предыдущем параграфе. Здесь мы остановимся только на некоторых следствиях, также вытекающих из сказанного в й б, но не столь очевидных. 1. Пусть течение около плоской пластинки при числе Маха, равном единице, известно. Согласно закону подобия, выражение составленное для соответственных точек, инвариантно. В качестве отношения Л)хв возьмем угол атаки а пластинки. Следовательно, местный коэффициент давления и подъемная сила пропорциональны а".
Лля угла атаки, равного нулю, величина г)с /г)а делается бесконечно большой. Этот результат показывает, что в данном случае линейная теория неприменима. 60 гл и закон полония для околозвкковых течении 2. Подьемная сила профиля с ненулевой толщиной прн малом угле атаки а пропорциональна а также прн числе Маха, равном единице.
Пусть для заданного профиля велнчнна с)с )с)а прн числе А Маха тт) =1 известна, Далее, пусть подъемная сила равна А, а огноснтельная толщина профиля пусть равна В,'х . Выполним аффннное преобразовапне, при котором сохраняется подобие.
Прн таком преобрааованин величины А (с))хе) " н а(о)х ) ' остаются неизменными. Подъемную силу можно представить в виде а'сл А= -- — а. За Отсюда следует, что прн аффннном преобразовании, сохраняющем подобне течений, выражение а потому и выражение аск В 1'" аа ~ хс! остаются ннварнантнымн; поэтому пса т)а ' аа ',ха а' Таким образом, наклон кривой, изображающей зависимость подьемной силы от угла атаки, увеличивается прн уменьщеннн относительной толщины О/х . Конечно, диапазон углов атаки, в котором имеет место такое поведение, пропорционален относительной толщине Й/хя; для тонких профилей этот дмапазон может быль весьма малым. Полученный результат примечателен тем, что показывает резкое отклонение поведения околозвуковых теченнй от свойсгв до- н сверхзвуковых течений, для которых величина с)с~,'с)а прн фиксированном числе Маха не зависит от относительной толщины.
3. Сравним обтекание заданного профиля в блокированной ззродпнамнческой трубе ') с обтеканнел1 этого же профнля в неограниченном воздушном пространстве при числе Маха, равном единице. Отклонение друг от друга распределений давлепня на теле в обоях случаях характеризует влияние стенок трубы, Подвергнем оба поля гечення одинаковому аффннному преобразованию, прн котором соблюдается закон подобна. Конечно, прн таком преобразовании сохраняется относительная разница между обоими распределениями давлений.
Прн аффинпом преобразовании толщина профита изменяется пропорционально т". отклонение блокирующего чнсла Маха ог единицы — про- т) Речь идет о трубе, блокированной скачком уплотнения †Пр, рсд. 61 5 З УПРОШЕНИЕ ОБОЗНАЧЕНИИ И ЗАПИСЕЛ порцнонально т, а ширина аэродинамической трубы — пропорционально т-ч (в самом деле, стенки трубы деформируются прн аффннном преобразовании так же, как изменяются координаты).
Отсюда следуел, что дтя толстого профиля в узкой аэродинамической трубе относительное влияние стенок трубы такое же, как для тонкого профиля (с той же шириной, как у толстого профиля) в широкой аэродинамической трубе. Если сравнить толстый и тонкий профили в трубе одинаковой ширины, то тогда для толстого профиля относительное отклонение распределения давления от распределения давления при числе Маха М =- 1 будет меньше, чем для тонкого профиля, хотя для толстой модели блокирующее число Маха меньше, чем для тонкой модели. Если желательно охарактеризовать точность измерений в аэродинамической трубе посредством блокирующего числа Маха, то это допустимо только в том случае, когда модели имеют приблизительно одинаковую ширину и приблизительно одинаковую относительную толщину.
Применение ззкона подобия для определения поправок на влияние стенок аэродинамической трубы в околозвуковой области можно найгн в работе Гудерлея 17) (см. лнт. 1). ф 8. Упрощение обозначений и записей После того как мы увидели, что приближенные уравнения для околозвуковых течений могут быть получены путем предельного перехода, можно без каких-либо опасений за последствия пользоваться менее точным представлением, а именно считать отклонения исследуемого течения н его скорости от параллельного течения и от критической скорости „достаточно" малыми, а само обтекаемое тело— ,досгаточно" тонким, В таком случае можно положить т и хв равными единице и забыть о том, что уравнения !1, 3(8) и П, 3110) получены путем предельного перехода; вместо этого следует рассматривать этн уравнения просто как приближения к точным дифференциальным уравнениям Тогда мы сумеем несколько упростить необходимые записи.
Пусть х, у, з будут декартовы, а х, г, ы — цилиндрические координаты прострзнства, Б котором происходит течение, а Ф вЂ” потенциал течения. Допустим, что этот потенциал можно представить в виде Ф= а'[х-ь-Ф(х, у, з)); то~да Ф будет определять отклонение поля течения от параллельного течения с критической скоростью а*. Для определения потенциала Ф мы будем иметь приближенное дифференциальное уравнение — (х+ 1) Ф .Ф + Ф„„+ Ф . = О, гл и закон подовия для околозвкковых твчвнин которое для осесимметрнчной задачи заменяется уравнением — (х-! — 1)Ф Ф„.м+Фг„, '-=О. Ф, (2) г В уравнениях И, 4(6) и !1, 4(8), т. е. в условиях на скачке уплотнения, следует заменить величины пмг. о„п, Ыа, моя и Ьо, на Ф.и Ф,и, ЬФ,, афя и ЬФя.
В выражении П, 4(9) следует отбросить степени т. Обтекаемое тело по-прежнему описывается аппроксимирующей цилиндрической поверхностью и отклонением действительной поверхносзн от аппроксимирующей поверхности (это отклонение определяется величиной д). Граничным условием на поверхности тела теперь будет дФ да дл дх (8) Для разности давлений мы будем иметь формулу * 3 р — р= — — ра Ф.. В случае тела вращения следует по-прежнему расположить на оси вращения логарифмические особенности. Вблизи оси преобладающую роль играют члены т,(х) и г" (х)1п г, следовательно, Ф =-у,(х)+,~а(х) !и г. Пусть г=г(х) есть уравнение поверхности тела вращения; тогда -д )'з(х) =- г —, а'х Для определения давлений следует воспользоваться либо формулой р — р'= — р"а" Ф + 2' (вычислив Ф н Ф„на поверхности тела), либо формулой ,,зГдУ, дт, - ! (д~ ! р — р"=- — р*а' 1 — '+= !п г(х)+ —,-( — 1 ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
