К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если были бы заланы значения г1> при х= О и х=2п и эти значения не совпадали бы между собой, то мы пришли бы к противоречию. Если же заланные при х=-О н х=-2п значения Ф совпадали бы между собой, то решение бгяло бы неопрслеленным. В самом дете, в этом случае существовали бы решения Ф=.О при х = О и х = 2п, между тем как вообще решения Ф не Равны нулю.
Такого же рода трудности, только пенсе очсвнлнь1е, возникают и на лругих границах рассматриваемой области. 5 !2. Об одном способе вывода приближенных уравчеяий При исслелованин околозвуковых течений также целесообразно Упрощение дифференциальных уравнений движения газа. Оно позволяет, с одной стороны, уменьшить математические трудности исследования, а с другой стороньн сделать более ясными физически важныс свойства околозвуковых тсчений.
Однако линеаризация уравне1гий, известная из теории ло- и свсрхзвуковых течений, в около- звуковой области часто приводит к физически бессмысленным результатзм, Поэтому в приближенных уравнениях околозвуковых течений сохраняется один нз членов, отбрась|васмых прн линеарнзаУравнений до- н сверхзвуковых течений как величины втопорядка малости. То обстоятельство, то сохраняется вполне ГЛ.
Г. ОБНЛНВ ОСНОВЫ Зб определенный член второго порядка малости, а не другие подобного рода члены. часто обосновывается физическими соображениями. Менсду тем этв соображения убедительны только в том случае, когда свойства течений уже достаточно хорошо известны' ). Хотя подобного рода соображения, как правило, служа~ исходным пунктом для выполнения упрощений (в лальнейшем и мы будел> пользоваться этими соображениями лля выяснения смысла упрошений), тен не менее весьма полезен и формальный вывод упрощенных уравнений, так как он, во-первых, очень четко раскрывает сан процесс унро>пения, во-вторых, даег возможность контроля физических соображений и, нзконец, может служить основой для систематического получения подобного рода упрошений в других случаях. Очень часто сложные уравнения упрошаются путем линеаризации. Совершземый при этом предельный переход можно обобшить, если одновременно с переходом к малым возмущениям произвести аффинное преобразование координат.
Рассмо~рим семейство полей течения, аанисяших, во-первых, от координат, определяюших положение. и времени и, во-вторых, от некоторого параметра .. Каждое поле это> о семейства характеризуется определенным значением параметра с. Пусть для т=О поле течения известно, тогда отклонения других полей течения от этого ноля могут быть предстзвлены в аиде разложений по степеням -.. Такой метод исследования представляет собой приложение вариационного исчисления.
Получаемые решения зависят от параметра -,. Внд этой зависимости определяет характер прибли>кения. Если, например, координзты не изменяются вместе с параметром, то ночучаются хорошо изнестшяе линеаризованные уравнения. Поясним эту, а также более сложные возможности на известных примерах из аэродинамики. Пример 1. Разложение потенциала скорое~ей течения около профиля по степеням параметра, характеризуюшего толшину профили. Этот пример, как мы сейчас увидим, приводит к тем же липеарнзованным уравнениям, которые получаются при применении известного правила Прандтля.
Будем исходить из уравнения лля потенциала 1, 4 1О) трехмерного установившегося течения, т. е. из уравнения Фтх 1 — -'я +фяв 1 — —,". +фея Скорость звука а связана с потенциалом Ф уравнением 1, 4(б): 12) >) Иными словами, убедительность таких соображений является нанчен>- шей в том случае, котла указанные упрощения производятся впервые. гл. и овщие основы Если параметр т чал, то для того, чтобы прида~ь аргументу функции 7(Е) значение, равное х, координата х должна быть очень велика, т.
е. коэффициент растяжения н иаправлении х должен быть равен т-'. Примем, что потенциал скоростей определяется уравнением ф=т-~зг,(Е,У)+тдз(Е,У)+тздз(Е.У)+ ., (7) где и г, в', и т. д. суть функции, которые будут найдены з процессе вычислеаий. Множитель т-', входящий в состав первого члена, необходим для того, чтобы средняя скорость оставалась постоянпой при всех значениях т. Как выясняется из вычислений, члены с четными степенями т в этом случае ие нужны.
Внеся аиачение Ф, определяемое уравнением (7), в дифференциальное уравнение (5) и собрав члены с одииаковыми степенями т, мы подучим дзсз дзв дуа дЕз д-л, д л, дуз дЕз ' Эти уравнения имеют общие решения: й'-г = й'-и о(Е)+УК-и г(Е) де !луз дд ьз)з Кз = Уз> о (Е)+УКз з (с)+ — дЕŠ— у+ — г:,— — —— взл з.о уз дзк гд уз дтд 2 дЕД Функции а", входящие в правые части этих равенств, могут быть найдены из граничных условий. На оси у=О вертикальные скорости равны нулю, поэтому члены у.п г ап, лз, и т. д.
обращаются в нуль, Вдоль коптура сопла мы имеем Ф -"= Г(Е)' азл следовательно, — -.— „==;-'- Х(Е) = г'(Е) ...' лто'-па з, до — з,о а потому г а', „= сопзт 3 у-(-). Дальнейшие функции д", о и т. д. могут быть определены, если зпесзи в граничные условия члены более высоких порядков. С физической точки . зрения последнее равенство дает решение задачи 3 !е ОБ ОднОм спОсОБе вывода пРивлнженных УРлвнвнип 39 в гидравлическом приближении.
Следующие члены дают поправки, учитывающие изменения лавления, обусловленные кривизной линий тока. Если в решении (7) взять не один только первый член, а несколько членов, то в решение войдут производные более высоких порядков, поэтому очевидно, что решение будст сходиться в общем случае не для любой функции 7.
Правильнее будет предполагать, что решение (7) представляет собой асимптотическое решение уравнения (3) для малых значений т. Это означает, что если в решении (7) использовать только определенное число членов и затем приближать -. к нулю, то решение (7) будет все более и более приближаться к точному рсшени1о для рассматриваемого значения т, Для уравнений в частных производных доказательство сходимости или доказательство того. что решение является асимптотическим, обычно очень затруднительно или да1ке невозможно.
Инженеры, а иногда и лица, занимающиеся прикладной математикой, часто нс придают особого значения отсутствию этих доказательств, особенно если получаемые результаты с физической точки зрения приемлемы. 171!имер 3, В 9 9 настоящей 1.лавы, посвященном вопросу о применении метода характеристик к околозвуковым течениям, мы нашли такие преобразования зависимой и независимой переменных, которые перевалят различные околозвуковые течения одно в другое. Решсние уравнения для потенциала, соответствующее этим преобразованиям, должно иметь вид Ф = а*(х+т191(х, т, ")+ 0(та)1, !где т,' = †.т1т ~ = з-.'ь Внеся это значение Ф в уравнение для потенциалз сжимаемого течения, мы в конце концов получим для околозвуковых течений следующее прибшокенное уравнение: — (к, 1)Ф! ф1сж+'~1чч+11м=б (детали вывода предоставляем читателю).
11ижс мы обобщим эти соображения на случай, когда в поле течения имеются скачки уплотнения. Очевидно, что в из:ю1кенном способе вывода приближенных уравнений решающую роль играет форма, которая берется для выражения зависимости предполагаемого решения от рассма~риваемого параметра; эта форма делает по существу ненужными часто применяемые соображения о порядке отделы<ых величин, определяю!цнх исследуемое явление.
для отыскания правильной формы зависимости 40 гл. ь овщие основы предполагаемого решения от выбранного параметра иногда необхолимо некоторое число проб. Единственным критерием правильности выбранной формы является требование о нетривиальности получаемого дифференциального уравнения '). В качестве еще одного примера можно было бы рассмотреть течение при чрезвычайно большом числе Маха, При конечных скоростях течения очень большие числа Маха получаются в том случае, когда скорость звука принимает небольшие значения. Возьмем в качестве исходного параллельное течение с числом Маха, равным бесконечности (а =- О). В уравнении для потенциала членом, обусловли- / 2 а нающим вырождение уравнения, будет Флага — Ф, ), так как при применении обычной линеаривации он выпадает, поскольку в исходном течении а =0 и Ф„:==.О.
Следовательно, для выражения отклонений от исходного течения необходимо найти такую форму, при которой этот член не выпадал бы для мзлых значений -.. Рассмотрение подробностей предоставляем читателю. г) Этот критерий сомнителен. Обычно зависимость решения от параметра обусловливается наличием определенных особенностей, которые должны быль выявлены путем анализа решений точных уравнений. — Прил. ред.
Глава I! УПР01ЦЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТЕЧЕНИЯ ЗАКОН ПОДОБИЯ ДЛЯ ОКОЛОЗВУКОВЪ|Х ТЕЧЕНИЙ В 1. Предварительные замечания Если отвлечься от тех сжимаемых течений, которые мо>'ут быть. рассчитаны с помо>цью метода характеристик или для которых точное рещение определяется методом годографа, то все остальнь>с с>кичаемые влечения могут быть исследованы только путем упрощения дифферендиальных урзвнений гечения. Для до- и сверхзвуковых течений >акое упрощение достигается линеаризацией уравнений, по приводит либо к приближенным урзвнениям Прандтля — Глауэрта,:>ибо к приближенным уравнениям Акксрета. Для околозвуковых течений упроп>сине уравнений не может быть проведено столь далеко, как для до- и сверхзвуковых течений, тзк как тогда решения часто получалнсь бы бессмь>слснными; во всяком случае при таком упрощении из ноля зрения выпздают все явления, возникающие вследствие существования рядом до- н сверхзвуковых областей, Тем не менее упрощение уравнений целесообразно и для околозвуковых течений.
В некогорь>х специальных случаях упрощенные уравнения допускают точное интегрирование. Кроме того, имеется возможность путем изменения масштабов для зависимь>х и независимых персмснных получать из известных решений новыс решения. Это означает, что найденные такич путем различные течения связаны друг с другом законом подобия. Существование закона подобия позволяет уменыцнть число параметров, измеряемых при экспериментальных исследованиях.
Закон подобия лля околозвуковых течений был установлен поч~и одновременно Карманом, Гудсрлсем и Осватичем. В 2. Члены, отбрасываемые в приближении Прандтля — Глауэрта При изложении метода характеристик специально для околозвуковых течений 19 9 гл. 1) мы уже ввели то зффннное преобразование координат, которос приводит к желательному упрощению дифференциальных уравнений течения. Прел<де чем приступить к выполнению это>'о упрощения, выясним порядок величины членов, отбрасываемых приближении Праплтля — Глауэрга, причем остановимся только "" с>учае потенциалыюго течения, Это даст нам возмо>кность получит'ь наглядное обоснование для упрощения дифференциальных уравнений течении. 42 гл. и, закон подовня для околозвУковых теченнп Рассмотрим уравнение для потенциала скоростей [, 415) специально для плоского течения н примем, что искомый потенциал можно представить в виде Ф = — Ух+Ф, Первое слагаемое в правой части есть потенциал параллельного течения, нмеюшего в бесконечности скорость К а второе слагаемое, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
