К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Во избежание чрезмерного увеличения объема книги автором опугцены некоторые вопросы, достаточно освещенные в литературе. К таким вопросам принадлежат доказательство сушествоваиия потенциального течения в сверхзвуковой области, заключенной внутри дозвукового течения, и основы теории крыла в околозвуковой области. В книге принята следующая система ссылок и обозначений, При упоминзнии уравнений, содержащихся в другом параграфе, к номеру уравнения присоединяется спереди номер главы и соответствующего параграфа. Перечень применяемых обозначений дзн в конце книги; в этом перечне указаны также страницы книги, на которых дается объяснение соответствующего понятия нли термина. При цитировании тех или иных работ упоминаются только фамилии авторов с добавлением в квадратных скобках номера работы; название же работы дается под тем же номером в списке литературы в конце книги. Перечень литературы не претендует ца полноту, однако ав~ор надеется, что основные направления в нем представлены.
Личная точка зрения автора не являлась решающей при выборе этой литературы. Г. Гудерлем Дейтон, штат Огайо ВСША), сентябрь 1957 Глава ! ОБЩИЕ ОСНОВЫ ф 1. Основные уравнения для иевязких сжимаемых течений Свойства околозвуковых течений вытекают из уравнений общей газовой динамики; вывод этих уравнений можно найти в многочисленных учебниках (см. перечень литературы в конце книги). В этой главе мы приведем только взжнейшие понятия и уравнения с пояс- пениями, показываюгцимн их логическую связь. Более подробно мы остановимся на понятии характеристик, так как некоторыс следствия, вытекающие из этого понятия, имеют особенно важное значение для понимания смешанных до- и сверхзвуковых течений.
Наконец, мы покажем формальный способ вывода приближенных уравнений движения газа. В дальнейшем этот способ н сочетании с законом подобия для околозвуковых течений окзжется весьма полезным для получения важных результатов. Начнем с вывода основных уравнений для сжимаемых течений. Здесь и во всех дальнейших исследованиях ны с самого начала булем пренебрегать трением и теплопроволностью. Это означает, что в движущемся газе отсутствует механизм для передачи тепла от олних частиц газа к дружим и, кроме того, невозможен переход механической энергии в теплоту ').
Следовательно, энтропия каждой частицы газа будет постоянной. Исключение будут составлять скачки уплотнения. С физической точки зрения такие скачки представляют собой чрезвычайно узкие зоны, в которых градиент температуры и скорость деформации частицы принимает столь высокис значения, что увеличение энтропии возникает даже нри ничтожно л~алых тсплопроводности н внутреннем трении. Если в наших расчетах будут встречаться скачки уплотнения, то мы будем рассматривать занимаемые нми узкнс зоны как общую границу двух областей, з каждой из которых ~ечение происходит без трения и теплонроводности. Нз этой границе возникают скачкообразные изменения давления, энтропии и скорости, величина которых определяется так называемыми условиями перехода через скачок уплотнения.
Пусть х, у и д суть декартовы координаты пространства, з котором происходит течение газа, он, ов и о, — составляющие ') Имеется в виду невозможность необратимого перехода механической энергии в теплоту. — Прим. ред. 12 ГЛ. Н ОБЩИЕ ОСНОВЫ скорости'в направлении осей х. у и г, а е — энтропия. Составляюшне скорости и энтропию будем рассматривать как функции координат х, у, г н времени 1. При принятых обозначениях условием постоянства энтропии будет уравнение де де де де де — = — -+- — О + — О + — — О»= О. де дг дх * ду " дг Так как силами трения мы пренебрегаем, то единственпымн си- лами, действующими на частицы газа, будут силы лавлепия.
Приме- нив к движущейся частице второй закон Ньютона в проекциях на направления х, у, г. мы получим уравнения 1 др до,» дн до д⻠— — + — '" — -+Π— '+Π— +Π— ~=О, р дх ' дг х дх Я ду» дг 1 др дог дня до„доя — — "=О, р ду де» дх Я ду ' дг 1 др до дв» дв» дн» ° +., — =О, (рв) р дг д( м дх " д> ' дг (2а) где р есть давление, а р — плотность. Уравнения (2) называются уравнениями движения Эйлера. К уравнениям (1) н (2) необходимо присоелинить уравнение, выражающее условие сохранения мзссы, которая не может ни вновь возпякать, ни исчсаать.
Это означает, что количество массы, выхоляшес нз неподвижного элемента пространства через его поверхность и взятое со знаком минус, равно изменению массы, солср;кашейся в этом элементе за рассматриваемый промежуток времени. Следовательно, др д д д — -+ — (рп..)-~- — - (вю )+ — (ьп ) = О. де дх ' " ' ду ' Я ' дг Это уравнение называется уравнением неразрывности. Уравнения (1), (2) и (3) вместе с термодинамическими соотношениями, выраркаюпгими лавлспне газа как функцию энтропии и плотности, с граничными условиями рассматрнвасмой залачн и с условиями перехода червя скачки уплотнения (если такие скачки возникают) лают полное математическое описание течения газа. Никакие другие физические допу~цения, вообпге говоря, не нужны, н все лальпейщне последования должны былн бы нестись чисто математическим путем.
Впрочем такой путь исследования отщоль нс исключает целесообразности привлечения наглядных соображениИ или физического толкования результатов, полученных математическим путем. Наоборот. использование таких методов является важным вспомогательным средством исследования. Однако результаты можно считать налсжпыми только тогла, когда их можно вывести из перечисленных выщс уравнений.
Для исследования осеснмметричных установившихся течений целесообразно пользоваться цилиндрическими координатами х, г, »», прн- Р Е УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ чем ось х следует совместить с осью цилиндра. В такой системе координат уравнение неразрывности принимает вид д(Рое) + д(РР>) ) Ре>ц. дх д> где п„есть составляющая скорое~и в направлении возрастающих зна- чений г. ф 2.
Уравнение Бернулли Приняв некоторые лополнительные допущения, мы можем вывести, сверх указанных в предыдущем параграфе, дру<'ие и притом достаточно общие соотношения. Приведем их здесь без доказзтельства. Если скорости не зависят от времени, то либо из первого основного закона термодинамики, либо — для областей, свободных от скачков уплотнения, — иа уравнений дни>кения Эйлера (путем их интегрирования) можно вывести соотношение ша <+ — = сопзй 2 где Г есть энтальпня, отнесенная к единице массы, а еа — абсолютное значение скорости.
Это соотношение называется уравнанигл< Бернулли. Постоянная в его правой части может быть различной для разных линий тока; однако во многих случаях, напри><ср для всех течений, обтекающих какое-либо тело так, шо до подхода к телу все липни тока параллельны, эта постоянная одна и та же па всех линиях тока. Такого рода течения называются изознергетнчески.ни. Вывод уравнения Бернулли с помощью первого основного закона термодинамики показывает, что оно применимо также в тех случаях, когда имеются скачки уплоп<еция. Папротив, оно неприменимо, если существуют трение и теп;юпроводпость. Укажем несколько со<жношений, которые можно вывести, если принять, что отношение удельных теплосмкостей остается постоянным.
Пре.шарительно введем некоторые обозначения. Пусть Й сеть газовая постоянная, отнесенная к единице массы, с„ и с„ †теплоемкос~и при постоянном давлении и постоянном объеме, отнесенные также к единице массы, а — отношение ср«с, этих тсплоемкостей и Т вЂ” абсолютная температура. Тогда уравнение сос>ояния газа будет иметь вид (2а) — = <т < .
Р Для адиабаты имеет место соотношение (26) - — = сопзц Рх ГЛ. К ОБЩИЕ ОСНОВЫ Далее, имея в виду, что — =- х, ср с„ ср — с,=те, (За) (Зб) мы получим соотношение х с = — — Й; Р х — 1 (3 в) следовательно, энтальпия, отнесенная к единице массы, равна 1 = ср7' = 1т11 х — -1 (4) Введем теперь величину (др) р (5) причем дифференцирование необходимо выполнять при постоянной энтропии.
Из акустических соображений (см. Э 5 гл. РД) следует, что величина а есть пе что иное, как скорость звукз в газе, хотя в данном выводе это не очевидно. Внеся величину а в равенство (4), преобразованное в соответствии с уравнением (2а), мы получим аз (6) Подставив это значение 1 в уравнение Бернулли (1), мы будем иметь аз из — + — = сопз1. (7) То значение скорости ю, которое равно соотвегствующей скорости звука а, пааывается критической скоросгиъю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
