К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 4
Текст из файла (страница 4)
ф 6. Характеристики Теория характеристик является надежным инструментом для исследования сверхзвуковых течений. Так как постановка вопроса, приводящая к понятию характеристик, играет важную роль также при рассмотрении свойств течения в околозвуковой области, то напомним здесь в общих чергах теорию характеристик. Построение метода характеристик на основе физических предсчавлсннй (например, в форме Буземапа) позволяет получигь полный аппарат лля расчета течений и, кроме того, приводит к очень наглядной картине процессов, происходящих при течении.
Олнако для целей настоящей книги автор предпочитзст формальное построение метода характеристик, так как такое построение лучше подчеркивает основную идею этого метода (см., например, Курант и Гиль- берт, т. И, тит. 2). Для простоты рассмотрим здесь только случай плоского потенциального течения. Такое течение определяется уравненном неразрывности К 4(4) и условием равенства нулю вектора вихря скорости дп до, ду дя (2) Скорость звука в таком течении, согласно формуле 1, 2(8), есть функция модуля скорости тв. Пусть вдоль некоторой кривой С, де>кащей в плоскости течения, задзны векторы скорости.
Конечно, эти вскторы ие всегда не зависят друг от друга, однако сначала мы примем, что всс они образуют совместимое распределение. В частности, можно просто взять подобного рода распределенно нз какого-нибудь известного поля течения. Поставим теперь следующий вопрос, пока еще не имеющий прямого отношения к понятию характеристик: можно ли, имея заданную совокупность векторов вдоль кривой С, вычислить поле течения хотя бы вблизи этой кривой? й1 а в.
хлолктвпистнки Если составляющие о и оя скорости вдоль кривой С заданы, то тем самым известны также производные от этих величин вдоль С по х. В самом дслс, эти пронзволныс могут быть выражены через частные производные от о и оя по х и у и через наклон г(у,'г(х кривой С следующим образом: до„, дол ду Иова 1 дх ду Фх дх до„ до„ ду Ыо - — +- — — — =— (4) дх ду дх Фх (В) Уравнения (1) — (4) прслставляют собой линейную систему уравне- ний для четырех частных производных: до до дх ' ду до, до дх ' ду Если эта система разрешима, то частные производные от сосгавляюших скорое~и о и оя могут быть опрелелспы для каждой ~очки кривой С.
Путем дифференцирования можно получить аналогичные уравнения для производных более высоких порядков, причем коэффициенты при неизвестных производных в левых частях уравнений будут оставаться всегда одними и теми же. Следовательно, зная векторы скорости вдоль кривой С, мы можем определить в кажлой точке этой кРивой все пРоизводные составлающих скоРости о и оо) имея же эыг производные, мы можем построить поле течения вблизи кривой С, польауясь рядом Тэйлора. Система уравнений (1) †(4) всегда однозначно разрешима, если определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений, не раасн нулю. Понятие характеристик относится к тому исключительному случаю, когда указанный определитель равен нулю.
Б системс уравнений (1) — (4) в коэффициенты при неизвестных, кроме скоростей о и оя, входит и наклон г(у(г(х кривой С, определяющий ес направлепйе в рассматриваемой точке. Выясним, имеются ли такие направления кривой С, для которых определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных частных производных, равен нулю.
для этой цели в рассматриваемой точке Р кривой С лучше всего перейти к такой системе декартовых координат х', у, в которой ось х' совпадает с направлением местного вектора скорости. Это можно слезать, нс изменяя формы уравнений, так как в плоских течениях отсутствует какое-либо привилегированное направление '). В новой системе координат составляюпгей скорости н кзправлении оси х' будет ю, а составляющей направлении осн у' — нуль.
Приравняв определитель нулю, ') Уравнения (1) н (2) инвариантны по отношению к повороту осей коорлннат. — Лрим, ред. ГЛ. 1. ОБЩИЕ ОСНОВЫ мы получим о о 1 — 1 0 ',,=о, з'ххх О 1 лу' Дх' откуда найдем Для еа(а (нли М ~ 1) хзракзеристик не существует. Именно Вто обстоятельство и обусловливает существенное различие между дозвуковыми (М С 1) н сверхзвуковыми (М ) 1) течениями. Обычно в только что полученное уравнение вводят так называемый угол Маха, определяемый равенством а а =-= агс з!и —. ге ' Тогда предыдущее уравнение принимает вид —,= + 11;ш л'х' Следовательно, определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных в левых частях рассматриваемой системы уравнений, обращается в нуль, если кривая С образует с вектором скорости угол -' и.
Прежде чем перейти к дальнейшему исследованию нашей системы уравнений, заменим в них составляющие скорости о и оя их выражениями через модуль скорости ез н через угол й, образуемый вектором скорости с направлением оси х или х'. Из соотношений п,==-тесоай. о„=-твз(ВО (6) мы имеем гтох=-. ггеасоз6 — твз1п б г!Э, г(ия — — = сгш з!ай+ те сов й г(Ь или для специально выбранной системы осей х', у' ГГОх — Д1Ш, ГГОя — — тд 116.
Внеся эти выражения и найденное выше значение ггу'/ах' в уравне- 23 5 6. хАРАктеРистики ния (1) — (4), ыы получим — — с!а а дм дх' +шд —,, — О 1да дв ду дЭ вЂ” тв -— дх' дш ду' дгн . —,!да ду' йш Йх' дЭ дЭ тв —; + я —, ! а=-тв —, дх' ду' = йх' дм дх' с(К а (а это имсст место в поле течения почти везде), то правые части должны быть связаны между собой таким жс линейным соотношением, как и левые части.
Правые части в последних уравнениях содсргкат производпыс в направлении оси х', т. с. в направлении кривой С. Следоватсльно, должно соблюдаться соотношение с!йа ды дэ м йх' йх' (7) Эго соотношение иногда называется условием совместности для характеристик. Кривая, для которой, во-первых, определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений (1) — (4), равен нулю во всех ее точках и, во-вторых, удовлетворяется условие совместности между правыми частями тех же уравнений, называется характеристикой, а в случае течений газа— полной Мака. Вдоль характсрисгики лифференцналы изменений состояния связаны друг с другом соотношением (7). Это свойство используется для расчета поля течения.
Частные производные дш ды дЭ дЭ дх' ' ду' ' дх' ' ду' определены для харакчсристикн не однозначно. Б самом деле, "оскольку определитель, составленный из коэффициентов при этих произволных и левых частях уравнений (1) †(4), равен нулю, супгествует нетривиальное рсшеннс однородной системы уравнений, Так как определите.ть, составленный из коэффициентов при частных производных в левых частях уравнений, равен пулю, то между этими уравнениями сушествует линейная зависимость. Множители, написанные справа, показывают, как получается линейная комбинация, тождественно равная нулю.
Эти множители можно найти, последовательно исключая неизвестные. Если полученные уравнения должны удовлетворяться конечными значениями частных яронзводных дгв дм дх' ' ду'' 24 гл. г. Овщие основы и полное решение системы (1) — (4) складывается из решения неоднорошюй системы и решения однородной системы, умноженного на произвольный множитель. Это означает, что производные скорости в направлениях, не совпадающих с кривой С, на обеих сторонах кривой могут быть различны, иными словами, поля течения по обе стороны кривой С могут не переходить одно в другое посредством аналитического продолжения. Это обстоятельство часто выражают также следующими словами: вдоль характеристик может распространяться особенность первых производных скорости. Аналогичное обстоятельство имеет место и для производных более высоких порядков.
В самом деле, левые части уравнений для этих производных остаются такими же, как и в системе уравнений (1) †(4), и так как эти левые части определяют направления характеристик, то разрывы производных высших порядков распространяются вдоль тех же кривых, вдоль которых распространяются разрывы первых производных. С дру~ой стороны, в потенциальных течениях характеристики являются единственными кривыми, вдоль которых могут возникать разрывы производных скорости.
Возникают ли в поле течения такие рззрывы в действительности. зависит от граничных условий. Если, например, на стенке, ограничивающей течение, имеется в кзкой-.тибо точке скачкообразное изменение кривизны, то вдоль характеристики, исходягцей из этой точки, возникает скачкообравное изменение кривизны всех линий тока. Можно вычислить также величину скачка, однако здесь мы не будем этого делать, так как это завело бы нас слишком далеко.
В дальнейшем понятие характеристик используется также в связи с другими уравнениями. В случае уравнения Трнкоми ст, — тмзз —— О проще всего положить у,=и(),б), уа=.У(1,8). Тогда мы получим систему уравнений л'Ч ,,-л а'3 (8) Условием совместности вдоль характеристик будет (9) Вычисления, аналогичные выполненным выше, дадут для определения направления характеристик уравнение а г.
тпеощвння для плоских потенциальных твченнн 26 для осесимметричпых околозвуковых течений в качестве приближения мы зывслсм ниже уравнение — ('+1)Ф,Ф.+Ф„+ фг-=о. Введя обозначения Фх=и, Ф„= — о, мы получим слслуюшую систему лифференциальных уравнений первого порялка: — (к+1) ии. +о„+ — "=О, и„— о =.О. Выполнив вновь такие жс вычисления, как и выше, мы вайлем для определения направления характеристик уравнение — с (к+1) 'Ф~. (10) Условием совместности будет — — ' — "+. '=О иг иг А г (11) В этих уравнениях произаодныс дх/Мг. г!Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
