К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Подставив полученные значения в уравне,ние 12), мы будем иметь х+1 а х — -1 а х+1 а х — 1 — а — — та|а 2 " 2, 2 " 2 .— а — — ы +та =— -+ еа Ха|1 ! хюп !Г Это есть квадратное уравнение относительно тип Олин из его корней известен, именно та! =тяп. Умножив последнее уравнение на хам! юп мы найдем та,тли — — а„. Для того чтобы нз прямого скачка уплотнения получить косой дкачок, следует наложить на ноле течения прямого скачка выше и ниже по течению относительно скачка составляю|цую скорости, касательную к послелнему. Скорости та и шп, которыми мы оперировали ло сих пор, будут тогда составляющими скорости, нормальными ,к скачку; будем обозначать их теперь через ти! и Оип.
Пусть скорость, налагаемая на поле течения, равна пн Так как, согласно уравнению Бернулли, х — 1 а х+1,а а!1+ тв!! = 2 а* 2 еаа Оа + тл П и!! то т, -1 а х+1 Внеся полученное значение а* в равенство 13), мы получим соотношение П). Пусть поверхность скачка уплотнения задана уравнением У ~1, л...) = О. Преобразование координат, заданное формулами 11, 3 13б), деформирует вту поверхность.
Единичным вектором, нормальным к поверх. ности скачка, в системе координат х, у, з буде.г (' — +ту — +тнй -„-))( ~-) + ~( — ) +( — „) ~~ . !4) Имея в зилу, что вектор скорости т| определяется первым нз равенств 11, 3 15) н огращ|чнваясь величинами первого порядка отногн- а 4 услОВия нА скАчкАК уплОтнения тельно т, мы получаем для составляющей этого вектора, нормальной к скачку, значение е (д~~ ) ' (д",) и„— а 1 — . — .+Те, Внеся полученные значения О„и и, в уравнение (!) и ограничившись величинами самого низкого порядка, мы будем иметь — . (д;) +(К) П +П = -а — '- лг ' ' и л+ 1 Удт)е 1 дл! (5) Примечательно, что в это соотношение входит наклон скачка, хотя в предельном случае т -+ О поверхность скачка перпендикулярна к направлению скорости набегающего потока.
Следовательно, условия на косом скачке отнюдь нельзя приближенно заменить условиями на прямом скачке. В самом деле. для прямого скачка уплотнения мы имеем дг" дг" д» д и поэтому для такого скачка пы ! — О.И= О. Изменение скорости в направлении оси х при переходе через скачок уплотнения будет равно т!О*п — П. !) = ' (6) Изменения скорости в направлениях у и а можно определить на основании следующего соображения; так как при переходе через скачок уплотнения касательная составляющая скорости не изменяется, 4 зен 634 К г гулерлеа В этой формуле надо добавить индекс ! или !! в зависимости от того, рассматриваем ли мы составляющую скорости о„выше или ниже по течению относительно скачка.
Касательная составляющая О, равна модулю векторного пронзвеления единичного вектора нормали на вектор скорости. Сохранив в этом произведении только величины первого порядка, мы получим 50 гл и закон подолия для околозвзковых течении то приращение скорости должно быть направлено по нормали к скачку. Отсюда, учитывая уравнение (4), мы получаем для искомых изменений формулы — дУ ы) д доа —.— о,ц — о,~ =— дч дУ дс (7а) (влп "ш) дана — тип о ~ = дУ дс С лругой стороны, на основании формул П, 3(За) мы имеем бок ~ Ьо Ьоь= ту Ьо„ откуда с учетом равенства (6) найдем У (йом)в+(М,)а = (7б) ('-.',)'+( )а '( Исключив из правой части с помошьк соотношения (5) величину мы окончательно будем иметь г(~Ъ)'<-чи)',/:~-11/" а' Ьо, а в„ д+т'Лу +-т'лй гъжн ел~ "и вм (9) В б.
Граничные условия Выявление граничных условий на большом удалении от обтекаемого тела не представляет никаких трудностей. Обычно там имеет место параллельное течение с числом Маха, н общем случае пе рав- Это есть уравнение ударной поляры для околозвуковых течений. Впервые оно встречается у Ханпше и Вендта (см. лнт. 1). Из выражения (4) и уравнений (7а) и (7б) следует, что единичный вектор нормали к скачку равен аз ггоничныв условия ным единице. Поэтому там, как это легко видеть, если учесть равенство !1, 3(7), соблюдаются условия Фе=-сопз1, Ф,=О, Ф,=О. Если Фе также равно нулю, то для всех значений т число Маха набегающего потока равно единице. В общем случае отклонение числа Маха набегающего потока от единицы в приближении наинизшего порядка пропорционально т. Для исследования граничных условий на обтекаемом теле можно было бы попытаться предположить, что преобразование координат у и з, устанавливаемое формулами 11, 3(Зб), распространяется также на обтекаемое тело.
Легко видеть, что такое предполоягение не оправдывается. В саоюм деле, если оно было бы верно, то наклоны линий тока, определяемые в первом приближении величинами ок,'а* и оо/а*, были бы пропорциональны т-ч. Однако, как сразу показывают формулы 11, 3(За), этого не может быть Пусть линия тока в невозмушенном течении задана уравнениями Уо = о!охот Л Яо = '-охот где т)о= сопя! и -",= сопз1.
Для определения формы этой линии тока в воамущенном течении необходимо вычислить отклонения координат у и х от значений уо и яо. Обозначим эти отклонения через у и я. Тогда из уравнений !1, 3(3) мы получим лу тле (о, ло+х„'тщу, ."„+хо 'тлх) (1) а + тох(6 по+хо т'*у, !о+хо т 'г) и аналогичное уравнение для с(х(Нх.
Если величины, входящие в этн уравнения, дифференцируемы (внутрн течения это почти везде имеет место), то вблизи невозмущенных линий тока они могут быть разложены в ряды; ограничившись в разложениях членами с наименьшими степенями -., мы получим д~ = ездок(! ~~о -о)' д, = о "оо6 и "о) Р) Следовательно, деформации линий тока пропорциональны хот'ь. Так как поверхность обтекаемого тела покрывается линиями тока, то с большой степенью достоверности можно предположить, что форма этой поверхности характеризуется также отношением хот'л, т. е.
что ~олщина об~екаемого тела пРопоРциональна хот'Л. Во всяком случае наклон линий тока относительно оси х при ° -ь О стремится к нулю. Это означает, что при т -+ О обтекаемое тело может быть заменено кусками цилиндрической поверхности, обрааующие которой параллельны псих. Если обтекаемое тело представляет собой Ч-образное крыло, то заменяющая его цилиндрическая поверхность будет состоять из плоскостей, параллельных оси х и 52 гл и закон подовия для околозвкковых течении возможно более тесно прилегающих к крылу.
Для замены кольцевого крыла следовало бы взять круглый цилиндр, С целью обоснования сделанного выше предположения о виде зависимости толщины обтекаемого тела от т необходимо допустить, что поле течения может быть продолжено до указанной цилиндрической поверхности, т. е. внутрь тела кзк с верхней, так и с нижней стороны и притом тзк, что между цилиндрической поверхностью и контуром тела не появляются особые точки также и при е ~ О '). Конечно, продолжения, полученные сверху и снизу, могут не смыкаться друг с другом вдоль цилиндрической поверхности. Это означает, что такая пилиндрическзя поверхность может являться поверхностью, на которой скорость претерпевает разрывы.
Таким образом, обтекаемое тело заменяется цилиндрической поверхностью, несущей на себе особые точки. Так как решения, определяющие поле течения, получаются в виде функций переменных 1, ть 1, то от этих же переменных зависит и полохгение указанных особых точек. Следовательно, преобразование координат у и я, определяемое величинами т и х„, распространяется также на цилиндрическую поверхность, несущую особые точки. Лалее, введем для этой поверхности предположение о существовании производных, один раз уже использованное при упрощении уравнения ~1). Тогда, как и ранее, мы найдем, что отклонения поверхности обтекаемого тела от этой цилиндрической поверхности пропорциональны х,т'ь.
Эти отклонения описывзют как толщину обгекаемого тела, так и угол атаки. Еще раз напомним, что форма аппроксимирующего цилиндра изменяется прн преобразовании так же, как и координаты у и я, т. е. это изменение определяется величинами т и хю В случаях, поддающихся расчету, граничные условия на поверхности обтекаемого тела обычно могут быть выявлены непосредственно, поэтому остановимся только на отыскании граничных условий для тела произвольной формы. рассмотрим цилиндрическую поверхность, заменяющую поверхность обтекаемого тела при т=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
