К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 5
Текст из файла (страница 5)
!с!г и г!Фг/а!г взяты вдоль харзктеристнкг ф 7. Упрощения для плоских потенциальных течений В то время как рассуждения прелыдущего параграфа, если их немного видоизменить, мо1 ут быть применены также к течениям более общего вила, например к неизэнтропическим или к осесиммстричным, упрощения, когорыми мы займемся сейчас, могут быть выполнены только лля плоских потенциальных течений. Эти упрощения приводят к некоторым понятиям, взжным для лальнсйшсго изложения. В потснциальном течении энтропия постоянна и, кроме того, постоянная в уравнении Бернулли имеет олпо и то жс значение лля всех линий тока.
В таком течении скорость звука опрслслястся формулой 1, 2(8) к+! з ч — ! и2 — ~~ п,2 2 2 Слеловательно, угол Маха [формула 1, 6 (5)1 является функцией то.тько от скорости, и поэтому уравнение 1, 6(7) можно проиптегриРовать. Введя обозначение и г!ти, (1) ГЛ. Е ОБЩИЕ ОСНОВЫ мы получим для характеристик уравнения У „: 6 =- сопз1. (2) Верхний знак относится к характеристикам, направление которых получается из направления линий тока поворотом на угол Маха против направления движения часовой стрелки, а нижний знак — к характеристикам другого семейства.
Толмин предложил д.тя этих семейств характеристик название лезобегул4их и правобегун4их волн Маха '). Уравнение (2) показывает, что характеристики плоскости течения отображаются в такие кривые плоскости п1, Ь (т. е. плоское~и голо- графа скоростей), которые заранее известны.
Конечно, эти последние кривые представляют собой не что иное, как характеристики уравнения течения в плоагости годографа скоростей. В самом леле, свойство характеристик, заключающееся а том. что вдоль них могут распространяться разрывы производных скорости, при отображении сохраняется. В методе характеристик, прелложенном Бузе- маном ([2), см. лиг.
!), характеристиками в плоскости годографа являются эпнциклоиды. При пользовании методом Буземана в плоскости течения строятся только такие характеристики, которые принадлежат к заранее выбранному семейству, например такие, которые соответствуют характеристикам в плоскости годографа, получающимся друг из друга путем поворота на постоянный угол, называемый „шагом" н равный, например, 1'.
Менарду точками пересечения характеристик направление характеристик в плоскости течения заменяется их средним значением. Так как точки пересечения определяются выбором подлежащих вычерчиванию характеристик, то в плоскости течения могут ест ретиться только заранее определенные значения для наклона характеристик, которые проще всего подготовить заранее в виде таблиць1. Если это сделано, то диаграмма характеристик в плоскости голо- графа, положенная н основу построения, становится больше ненужной. Олнако она сохраняет свою ценность как наглядное представление (Течнл, см.
лиг. 1). Буземан вводит с:1едую1цие обозначения; (В) р = боо-+--( — у — й) йй (4) Значения л = сопя! соответствуют .тевобегущим характеристикам, а значения н =сопз1 — цравобегущим характеристикам. Если ). и р ') Нетрудно убедиться, что э1н попятил ие зависят от!направления, в котороч проходятся линии токч. 27 5 а. ЛРимеРы заданы, то й и У опрслеляются формулами 6 = — "- (000+). — р), 180 У=,„' —;, (1000 — (1. + р)(. (6) Множитель 90(п введен в формулы (3) и (4) лля того, чтобы угол Ь в формуле (6) выражался в градусах. Согласно формуле (6), величина д и вместе с нею скорость и>, а также все функции, аависяшне от ш, выражаю~ся через ),->-р..
Для э>их функций вычислены таблицы, помещенные, например, в книге Зауэра (см. лиг. 2), Числа 400 и 600 введены в формулы (3) и (4) исключительно для того, чтобы легче различать значения >. н р. Для того чтобы дать сети характеристик, посгроснной рассмотренным способом, наглядное толкование, Бузсман рассчатриваст течение внутри кажлого четырехугольника, образованного лвумя парами характеристик, как параллельное течение, состояние которого отнсчает центру четырехугольника, образованного соответствуюшими парами характеристик в плоскости топографа. В такоа> случае при переходе от олного четырехугольника к сосслнсму направление вектора скорости изменяется на величину „шага", т.
е. всегда на олин и >от же угол, независимо от того, в каком чссге совершается перекоп через характеристику. Из сравнения плоскости течения и плоскости топографа, а также непосредственно из уравнения 1, 6(7) видно, что с переменой направления вектора скорости связано изменение его модуля, причем это изменение для одной и той же во.шы Маха имеет всегда один и тот же знак независимо от того, где, т.
е, при какой скорости, совершается переход этой волны. Волну Маха нааывают волной сжатия, или волной уплотнения, если при переходе ес в направлении течения давление возрастает, и волной расширения, или волной разрежения, — в противно>> случае. Обь>чно волны сжатия вычерчнваются спло>иными.
а волны разрежения--штриховыми линиями. При таком сошшшении об обозначениях кюклая из вычерченных в плоскости течения волн как бы изображает изменение состояния в этой плоскосги, а вся система волн позволяет еле >нть за изменением состояния, происхолян>им в поле течения '). ф 8. Примеры Пока>кем на примерах практическое применение метода характеристик.
При этом одновременно выяснится, как слслуст формулировать красвыс задачи и задачи о начальных значениях. ') Прн нрнмсвснни метода характсристнк к более общим случаям течетов "ня характеристики такими свовствамн нс обладают н представляют собой олька линии, но которым особснно вь>годно вести расчеты.
28 Гл. ь овшие основы Пусть вдоль кривой ЛВ, пересекающей каждую характеристику самое большее олин раз (рис. 1), заданы векторы скорости. Определив по этим данным значения функций Х и р, возьмем затем для последних и качестве приближения ступенчатые кривые, поскольку в методе Ьузечана используются чолько ааранее выбранные значения Л и 1йь Тогда мы будем знать на кривой ЛВ положение тех точек, в которых ). и 1а претерпевают разрывы.
Ич этих точек исхолят характеристики. Для простоты примем, что разрывы Х и р. происходят также в точках А и В, следовательно волны Маха исходят и из этих точек. Тогла, исходя из кривой АВ, можно построить сеть 59 9'й599 характеристик в четырехугольнике , 99 599,5 АСВО. Для этого надо использо- / вать то обстоятельство, что ), соф храняет постоянное значение вдоль левобегущих характеристик, а р— '95 вдоль правобегущих. Четырехугольник ЛСВ0 есть именно та область .
91 599 плоскости течения, в которой тече- ~5995 591 5 С ние определяется векторами ско- рости. заданными вдоль линии АВ, направление 5 595 л 5 КОНЕЧНО, ВОЗМОжнΠ— и в действи- 59 95 .ф 991 59 59льл~ — — чельности очень часто так и бы- вает, — что вдоль первоначально Р ма. Ь П1а~мемачие метала лараата. ВЫбраиппй КрИВОИ ВСЕ ВЕКтОрЫ СКОР"с™к' рости параллельны друг другу, т. е. имеет место параллельное течение. В этом случае во всем четырехугольнике ЛСВО, теперь представляющем собой параллелограмм, происходит также параллельное течение. Для того чтобы построить следующие части поля течения, необходимо продолжить линию АВ так, чтобы вся получающаяся прн этом линия пересекала кажлую из характеристик не более одного раза.
Вдоль взято~о продолжения линии АВ опять следует задать векторы скорости. Если заданы границы течения, пересекаемые исходящиии из ЛВ линиями Маха, то вдоль этих границ должны быть заданы значения только одного из элементов, определяющих вектор скорости, т. е. либо направления скоростей, либо их модули. Часто продолжением линии АВ является слепка или поверхность профиля; чогда направление скорости должно быть касательно к стенке или к поверхности профиля. Примем, что вдоль таких границ встречаются только те значения о, которые получаются из значений Х и р, заранее выбранных для сети характеристик.
В таком случае для определения состояния течения известны либо значения Х, либо значения р, так как граница достигается либо левобегущими, либо правобегуигими волнами. Значения недостающей величиньы % е метОд хАРАктеРистик для ОколО3ВукОВых течений 29 т, е. либо р,, либо 1„вычисляются с помощью формулы 1, 7(б) по заданному направлению скорости. На рис. 1 в точке Б волна Маха встречает стенку, которая в этой точке не меняет своего направления. Бннз ио течени о от точки Д распространяется правобсгущая волна Маха; там р = 596. Дало 6 = — 4', поэтому 1, = 39!. В точке Р значение б переходит от — 2= к О'. Стенка достигается левобегущей вошюй. Выше и ниже по течению от точки Г величина !.=397.
По заданному значению б находим, что ниже по течению от точки Г величина р.=597. Другим часто встречающимся условием бывает постоянство давления вдоль границы. Вдоль такой гранины модуль скорости сохраняет постоянное значение, для которого в качестве приближения лучше всего взять скорость, соответствующую олной из точек пересечения заранее заданной системы характеристик плоскости голо- графа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
