К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Все величины, вычисленные для критической скоросзи, будем обозначать в дальнейшем посредством авездочки, поставленной справа от соответствующей буквы, например тв'=-а", р', р'. Положив в уравнении (7) то =а =ю*=а*, мы получим для постоянной, стоящей в правой части уравнения, значение х+1 .з 2 (х — 1) следовательно, х+1,1 х- 1 2 2 (8) (9) Отношение твоа называется числом Михи и обозначается буквой М. При выводе уравнения Ьернулли посредством интегрировзния уравнений Эйлера получается — в качестве промежуточного результата — для любого закона изменения состояния газа соотношение а 3 теогсмы О ВихРях где дифференциалы слслует брать вдоль линии тока.
Для изоэнергетического течения, в котором постоянна также энтропия, соотноше„ис (9) применимо во всем палс течения '). Наконец, напомним соотношения —;.(р )=р(1 — ф, Л(р+Вмз) 1' гит1 (1Оа) (1Об) ко~орые справедливы также при любом законе изменения состояния газа. ф 3. Теоремы о вихрях Пусть ф есть вектор скорости.
Тогда вектором вихря скорости будет то1ей оп равен удвоенной угловой скорости вращения частицы е). Для кажлого векторного поля м имеет место соотношение б(ч го1ф = О. г) В зточ случае соотношение О)) представляет собой уравнение в полив'х лчфференциалат. — Прилс рад, ~) Эта угловая скорость принимается за вектор.
Подчеркнем, что поня- угловой скорости вращения лсформируемой частицы требует, вообще Говоря, особого определения. Следовательно, если вектор го1 м, вычисленный для опрслеленного момснтз врсмепи, рассматривать как век~ар скорости в несжимаемом течении, то тогда па основании соотношения (1) уравнение неразрывности выполняется автоматически. (с(то касается уравнений Эйлера, то они выполняются только в том случае, когда активные силы удовлетворяют определенным условиям.) Проинтегрируем поле направлений, образуемое в опрсдслс~аый момен~ времени векторамн вихря скорости; мы получим так называемые вихревые линии, которые соответствуют линиям тока в только что упомянутом фиктивном несжимаемом течении. Для установившегося течения можно ввести попятив трубок таки.
Эти трубки образуются линиями токз, исходящими из точек замкнутой кривой, поэтому поверхность трубки токз состоит всегла из одних и тех же линий тока. Аналогичным образом можно определить вихревые трубки. Тогда на основании соотношения (1) мы найдем, что поток вектора вихря скорости через вихревую трубку остается постоянным. Ива~ого, в свою очередь, слслует, что вихревые трубки, а вместе с ними н вихревые линии пс могут оканчиваться внутри течения. Опи могут быть или замкнутыми, нли продолжаться в бесконечность или же заканчиваться на границах поля течения.
ГЛ, Г. ОБЩИЕ ОСНОВЫ Гб '1опустим, что плопюсть зависит только от давления; такая зависимость имеет место, например, в несжимаемых, нзотермических нли изэнтропнческих течениях. Тогда из уравнений Эйлера мы найдем, что интеграл Г= 1О ггх+ маггу-,'-О ГУг), взятый вдоль замкнутой кривой С, двингущейся вместе с частицами газа, т. е. вдоль так навываемой жидкой линни, остается постоянным во времени. Этот интеграл называется циркуляцией скорости.
На основании интегральной теоремы Стокса он связан с вектором го1ту посредством формулы Г= — ~го1пФУ; гг в которой ннтегрзл следует взять по поверхности Г", опирающейся на кривую С. Вектор АУ означает ориентированный элемент поверхности, т. с. представляет собой вектор, нормальный к рассматриваемому элементу поверхности. Направление этого вектора определяется направлением обхола элемента поверхности, а его модуль равен плогцадн элемента поверхности.
Выражение го1 тупа, стоящее под знаком интеграла, есть скалярное произведение обоих векторов. Согласно сформулированной теореме, циркуляция в течении, в котором первоначально вихри отсутствовали, остается равной нул:о для всех жидких линий, первоначально бывших замкнутыми и остающихся замкнутыми в дальнейшем. Наличие вихревых поверхностей, образующихся в следе за крылом или срывающнхси с острых кромок обтекаемого тела, не противоречит втой теореме, так как жилкис линии, проходящие через такие поверхности, в предшествующие моменты времени были не замкнутыми, а оканчивались на поверхности рассматриваемого тела, Если отбросить допущение, что плотность зависит только от давления, то отсутствие вихрей в начальном состоянии отнюдь не означает, что течение будет безвихревым и в дальнейшие моменты времени.
Врагцение частиц будет воаникать, например, в том случае, когда энтропия внутри поля течения не постоянна. Для установившихся ') изоэнергетическнх течений имеет место теорема Крокко (Осватнч 11), см. лиг. 1), выражаемая уравнением готту Х тт= Тпгаг1з, 13) где знак )( означает векторное умножение. Эго уравнение определяет составляющую вихря в направтеннн, перпендикулярном к линиям г) Слово „установившиеся", собствсшю говоря, излишне, так как онрсдетсние изозпергстнческого течения улсс нрелустгатриваст установившюися характер течения. $ ь потенпилл скоростегт тока.
Так как вдоль линии тока энтропия з постоянна, то угад з направлен перпендикулярно к линиям тока. Для вычисления касательной составляющей вектора вихря скорости следует использовать уравнение (1). В плоских и осесниметричных течениях составлявшая вектора вихря по направлению ливий тока вследствие симметрии равна нулю. Для таких течений вектор вихря скорости определяется на основании одной только теоремы Крокко. В дальнейшем теорема Крокко будет использована для того, чтобы оправдать пренебрежение вихрями в околозвуковых течениях.
ф 4. Потенциал скоростей Пусть энтропия в течении постоянна, а само течение в начальном состоянии свободно от вихрей; в таком случае течение остается свободным от вихрей н в дальнейшие моменты времени, если пе счи~ать вихревых слоев, ко~орые могут возникать па острых крош<ах обтекаемого тела. Это означает, что составляющие вектора вихря скорости обращаются в нуль, т. е, имеют место равенства до до„ до, до до до. (1) ду дх ' де ду ' дх де и поэтому вектор скорости может быть выражен в виде п=дгайф, В координатной записи эта формула распадается на три формулы: дФ дФ дФ дх' о ду' - д»' (2) Следовательно, в рассматриваемом случае векторное поле скоростей описывается скалярной величиной Ф, называемой погггенциалолг скоростей.
Если составляющие скорости заданы формулами (2), то уравнения Эйлера 1, 1(2) удовлетворяются автоматически. Смысл, в котором следует понимать эти слова, поясним для случая установившегося течения, Пусть Ф есть произвольная дважды дифференцируемая функция от х, у, г. Имея эту функцво, мы можем определить посредством формул (2) скорости о, о„, о,. Если скорость известна, то из уравнения Бернулли можно вычислить дзвление. Подставив найденное значение давления в уравнения Эйлера, мы увидим. что последние тождественно удовлетворяются. Следовательно, единственным соотношением, которому должна удовлетворять функция Ф, остзется уравнение неразрывности.
В случае изоэнергетического течения, для которого отнюдь не обязательно допущение о постоянстве энтропии, уравнение неразрыв"остн 1, 1(3) можно выразить через потенциал скоростей Ф следуюшнм образом. Будем рассматривать при описании термодинани- 2 Зек. ЕЗЕ. К. Г. Гудерхеа гл. и овшив основы (3) лля направления х и аналогичные соотношения для лругнх направлений. Для установившихся течений уравнение неразрывности 1, 1(3) в более развернутой записи принимает слелующий вид: др др др двх два до —. о + — о + — о +р — х-т-р — +- — — =О, дх х ду В '„дх х ' дх ' (ду ' дх Подставив сюда вместо др/дх, ду(ду, др/дз выражения вида (3) и исключив проиаволные от р при помощи уравнений Эйлера, а произволпыс от з — при помощи уравнения 1, 1(1), мы получим (4) ду+ дх) аз Если теченис потенциальное, то это уравнение принииаст вид х +Ф 1 л +Ф ФаФл Ф,Ф Ф.Ф Далее, из урзвнения Бернулли следует, что (бу Для осесиммстрнчного потепцизльного течения уравнение (5) принимает более простой вил, а именно: Ф„,Ф„ Уномянеи, что лля изэнтропических и первоначально бсзвихрсвых течений потенциал скоростей су1нсствует и в том случае, если течение неустановившееся, но тогда уравнение Бернулли заменяется- уравнением Ф +1+ — (Ф + Фя+ Ф„) = сопзй (8у ческого состояния газа давление н энтропию как независимые переменные.
Выше мы ввели для произволпой др/др (которая всегда положительна, так как в противном случае состояние газа было бы неустойчивым) обозначение 11аз [формула 1, 2(5)1. Величина а, представляющая собой скорость звука в газе, зависит только от термолинамического состояния газа, но нс от его движения. Мы имеем др др др др дз ! др др дз ,— = — --+ — — — = — — +— ,'дх др дх дз дх аз дх дз дх 19 5 5.
ФУНКЦИЯ ТОКА Уравнения Эйлера по-преркнему интегрируются путем введения потенциала. Уравнением неразрывности будет Фхщ 1 — а-' +Фуу 1 5 + Фг» 1 я (9) ф б. Функция тока Для плоских установившихся течений уравнение неразрывности имеет вид д (ро„..) д (роу) -+ — — "=О. (1) дх ду Для осесимиетричных течений в системе цилиндрических координат х, г и Ф уравнение нсрззрывпости принимает вил д (гро .) д (гро,) (2) Уравнение (1) интегрируется посрсдствоч подстановок дф вот= —., у дс ро (За) (Зб) а уравнение (2) — посредством подстановок де дг ' дф дх ' (4а) (4б) Функция ф называется функцией тока, а линии 2= сопз1 — линиями тока. Направление касательной к линии тока совпадает с направлением вектора скорости. Так как уравнение неразрывности пе связано с каким-либо предположением относительно постоянства энтропии или относительно ~тсу~ствия вихрей в течении, то функцию тока можно ввести и для ~ечений с непостоянной энтропией и с наличием вихрей.
Вдоль линии тока энтропия постоянна, поэтому а=ай). Для потенциальных течений функция тока ф должна быть оп е пренелепа так, чтобы вихрь скорости был равен нулю. Однако 20 ГЛ. Г. ОБЩИЕ ОСНОВЫ испольвоваиис полученного таким путем уравнения несколько затруднительно, так как входящие в него скорость звука и составляющие скорости течения связаны очень неудобным образом с производными от функции тока. При линеаризованпом рассмотрении дозвуковых тсчений эти трудности нс играют никакой роли; опи отпалают также нрн использовании метола ~одографа. Для исследования течений в околозвуковой области лучше всего использовать в плоскости течения потенциал скоростей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
