К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Далы<ейшее построение производится так жс, как и в предыдущем примере. Волны уплотнения при встрече с плоской стенкой отражаются от нее опять в виде волн уплотнения, а волны разрежения — опять в виде волн разрежения; при встрече же со свободной поверхностью или, в более общем случае, с линией постоянного давления, лсжзщсй в том же углу между характеристиками, в котором лежат и линии тока, волны уплопсения переходят в волны разрежения, и наоборот. Этих замечаний достаточно для того, чтобы понять суть метода хзрассчеристик. Конечно, для быстрого построения ноля течения необходим некоторый практический опыт.
За дальс~сйшизси подробностями, а также за менее абстрактным изложением отсылзем к учебной литературе. 9 9. Метод характеристик для околозвуковых течений Для применения метода характеристик к околозвуковым течениям следует придать ему несколько иную форлсу. Остановимся на ней, во-первых, потому, что вблизи числа Маха, равного единице, действительно необхолнмо особое исследование для достаточно точного определения направления характеристик, а, во-вторых, вследствие того, что эта специальная форма метода характеристик дает особенно простое пояснение закону подобия для околозву<совых течений. Введем в качестве новой переменной разность между скоростью и критической скоростью, т.
е. величину Ьш = тв — а'. (!) У"словие совместности характеристик 1, 6(7), если !заменить в нем я его значением из формулы !. 6(5), принимает вид т К -аз ссды — —.н 7!) =О. (2) гл, ь оыцнв основы Выразим разность тва — аа через Ьтв, воспользовавшись для этого равенством 1, 2(8); сохранив только члены с Ьтв в первой степени. мы получим ма — а' = (х+ 1) тв' Ьтв. В первом приближении аа:=-тв'.
Внеся эти значения ша — аа и лв в условие совместности (2), мы будем иметь ~Г-: —. (т. + 1) Ью П Ьи — — — — -- —.,—: И= О, Ю'" (За) откудз после интегрирования найдем , (--) -'— — —,--. 2 ! дш Ч~з х -т-! --1 — - ): — Ь = сопз1; гз~ юа1 ч- (3) таким образом, характеристики в плоскости Ьтв, 0 являются в первом приближении полукубическнми параболами.
Для определения направления характеристик вспомним, что радикал в уравнении (За) представляет собой приближенное значение с1дя, т. е. 1п( — — я~ = ~~ (х ' 1) —— сКу (а, ы( Лж)-ь (4) Уравнения (3) и (4) являются основой метода характеристик для околозвуковых течений. В остальном этот метод применяется так же, как и обшнй метод характеристик. Из уравнений (3) и (4) видно, что путем одновременного изменения масштабов для зависимых и независимых переменных можно преобразовать известное поле течения в ряд других течений. Так, например, оставив координату х неизменной и умножив масштаб для Ьтв на -., масштаб для 3 — на -.э и масштаб для у — на т-'.", мы придем к такой же системе уравнений, как и исходная система. Это означает, что отклонение угла Маха от я~'2 пропорционально ф Ля. Из уравнения (3) следует, что если в начальной точке угол Ь равен нулю, то порядок его величины остается равным (Ьтв)ч во всем поле течения.
Направление волн Маха определяется выражением 9 + к. При небольших значениях Ьтв доля, вносимая в это выражение первым слагаемым (Ь), на основании только что сказанного мала по сравнению с долей, обусловленной вторым слагаемым ( я). Таким образом, для определения направления волн Маха мы имеем уравнение Овщне сООБРАжения, сзязАнные с пОнятием хАРАктеРистик 31 только что указанными изменениями масштабов мы подробнее ознакомимся в Э 6 гл. !! Нри изложении закона полобня для околозвуковых течений ф !О. Общие соображения, связанные с понятием характеристик Вводя понятие характеристик, мы исходили из задачи определенна поля течения вблизи кривой С в гом случае, когда вдоль этой кривой заданы векторы скорости. Для решения поставленной залачи мы определили нз линейной системы уравнений производные скорости для нссх точек заданной кривой.
В дозвуковой облзсти эта система уравнений всегда имеет однозначное решение, так как опрелелизель, составленный из коэффициентов при неизвестных з левых частях уравнений, никогда не равен ну,тю. Отсюда следует, что в дозвуковой области все частные производные скорости непрерывны. В противоположность этому в снерхзнуконой области возможны случаи, ко~да вдоль характеристик возникают разрывы частных производных скорости.
Как показывает пример, разобранный выше для пояснения метода характеристик, в сверхзвуковой области скорости вдоль нехарактсристической кривой можно задать произвольно. В дозвуковой области этого делать нельзя. Мы сразу в этом убелимся, если рассмотрим уравнение для потенциала нссзкимасмых течений. Рсшсзия этого уравнения всегда мозкпо представить как вещественную часть аналитической функции от аргумента х+ !у. Если аналитическая функция вместе со всеми своими производнь<ми в какой-либо точке известка, то на основании принципа аналитического продолжения эта функция известна во всей плоскости х, у. Следова1ельно, если решение уравнения для потенциала известно вдоль бесконешо малой ~асти кривой С, то тем самым оно известно также вдоль остающейся части этой кривой.
Поэтому если скорости з точках кривой С заланы произвольно, то в общем случае мы прнлем к противоречию. Это верно также и для сжимаемых течений в дозвуковой области Это ззчечание нс лишено практического зна |ения. В самом деле, бьгли случаи, когда для получения примеров сжимаемых течений заранее устанавливалось распределенно скоростей вдоль заданной Ризой (например, вдоль оси соила или вниз по течению от скачка уплотнения) и на основании этого распределения скоростей строилось продолжение поля течсни» Нз основании только чзо сказанного таьрй прием в общем случае недопустим.
Правда, обычно выбирают Распределение скоростей в виде анали~ических функций; тогда в доОш таточно малой окрестности существует аналитическое продолжение. 'тнако неточность рзсчета может себя проявить так, как если бы выб ыбрзнные функции были неаналитическнми, что приводит к трудностям, несмотря на сделанное попущение. ГЛ.
Ь ОБЩИЕ ОСНОБЫ ф 11. Некоторые замечания о формулировке краевых задач в до- и сверхзвуковых течениях оо. я ~~ ."1 Л ладон один из С злеыентов, олределяюиуил векзлор скорости л) правда, прн этом приходится опираться на физическую интуицию и заранее нельзя сказать, насколько это может быть подтверждено строгим математическим исследованием. з) Это дегко понять, если учесть аналогию между сверхзвуковыми течениями н одномерными неустановнвшнмися течениями. Развитие процесса не может быть определено усзовнвмн, заданными ддя булущего времени. Вопрос о том, как должны быть сформулированы красвыс зздачи, с точки зрения инженера в общем случзе не является особенно важным, так как исследуемая физическая задача сама по себе достаточно ясно показывает, какие величины должны быть заланы ').
Однако для околозв>ковых течений формулировка краевой задачи все же требует осторожности, так как для таких течений имеется случай, когда краевая задача, вытекающая из физических соображений, может не иметь решения. Этим случаем является дозвуковое течение, внутри которого содержится сверхзвуковая область. Для правильной формулировки краевой задачи зодон один из злемеотоз, в околозвуковой области сначала олределяюизис веккюр око осою сопоставим важнейшие особенности краевых задач в ло- н чь" сверхзвуковой областях. Задача о сверхзвуковом тече- р нии считается правилыю сформу- ае лированной в том случае, когла ср 1а" ее решение может быть найдено ав иа посредством метода характеристик. Олин нз примеров такого рода показан на рис.
2. Здесь р и с, 2. Греиияиые условия вля сверхзвуке. граНИца СОСТОИТ ИЗ КРИвой АВ, вдоль которой вектор скорости полностью известен, и из двух лругих кривых ЛС и ВО, на которых задан только один из элементов, определяющих вектор скорости, Другая возможность показана на рис. 3. Здесь заданы векторы скорости вдоль двух характеристик ЛВ и ЛС. Если, кроме того, влоль этих характеристик выполняются условия совместности 1уравпение 1, б17)), то поле течения внутри четырехугольника ЛВОС, ограниченного двумя парами характеристик, можег быть вычислено. Вообще лля сверхзвуковых течений характерно, что граничные значения никогла не могут быть заданы вдоль замкнутой кривой з).
Для таких течений область, в которой может быть вычислено решение, частично должна быть ограничена характеристиками, значения па которых подлежат определению путем расчета. й н. нскоторыс зйасиайния о еормулировкс крйсвык зйдйч В противоположность этому в задачах о лозвуковом течении граничные условия должны быть заданы вдоль всей границы рзссматриваемоя области, причеаа всегла должен быть задан только один нз элементов, определяющих вектор скорости, например либо его норлаальпая, либо касательная составляющая (однако разрешимость залачи в такого рола случаях зависит сше от одного интегрального ус,товня).
Как было показано в прелыдущеч параграфе, в общем случае невозможно произвольно за- У дать оба элемента, определяющих вектор скорости, елозь какой-либо части когюура. Р н с..3. Граннчвые усвоена аав сверкавуковой обвастн. Рве. 4. К вонросу о граннчных усновнвх аак ноавуканой об,иста. Для пояснения разницы между до- и сверхзвуковыми задачами привелем следующие два примера. Рассмотрим в плоскости х, у прямоугольную область, стороны которой определяются урзвнениями У = О, У = -., х = О, х = — д (рис. 4). В качестве дифференциального уравнения, типичного для поведения дозвукового течения, возьмем уравнение Лапласа дтФ , дтФ дхв ' дун Пусть вдоль прямых у = О и у = и задано значение Ф = О.
Частными решениячи, удовлетворяющими этим граничным условиям, будут 111 = Естны 51П ту (т = 1, 2, ...). ° пРактической точки зрения удобнее использовать линейные комбинации выражения цт = 5И глх 51'П глУ ф - 511 гл (о — Х) 51П глУ. амадее, пусть задано, что в,ог„х О Э=А(У) (О<У< .) влоль х=д Ф=Л(У) (О<У<").
3 Зак. 554. к. г. гукерней ГЛ. 1. ОБЩИН ОСНОВЫ Общее решение возьмем в виде Ф= ~) а зйтх51пту+ ~ Ь зйт(Ь вЂ” х)ялту, причем козффипиепты а,„и Ь„, остаются пока неопределенными. Внеся зто значение Ф в граничные условия вдоль х=О и х=Ь, мы получим Л(У) = ~~ а 5)1 тд яп ту, .Г1(У) = ~~ ЬтзйтЬ ялту. ВО 1 Применив правила гармонического анализа, сразу найдем 1 2 г а = „- ~ (е(у)яптуа1у, о 1 2 г Ьт= „, =) Л(у)5'пту (у о Схолимость решения обеспечена, так как кажлый из членов обеих сумм принимает свое наивысшее значение вдоль границы х= Ь или соответственно х = О, и суммы на зтнх границах сходятся — они представляют здесь функции у,(у) и Гз(у) в виде рядов Фурье. Если граничные условия были бы такими же, как в сверхзвуковой задаче, т.
е. если бы вдоль Сс) не были бы заданы значения Ф. а вдоль АВ были бы известны значения Ф= — 11(у) и ЬФ1дх=Л(у), то формальным решением задачи было бы Ф= — ~ ~ ~ (У1(у)+-'-~У вЂ” )51птуду~(з!пту)е"' + т 1~0 ) + — ~' ~ ~ (Л(у)~ — = — ) 51п туа1У 1(51П ту) е ~В-1 1 о ) (формзльным потому, что вопрос о его сходимости остается открытым). В общем случае зто решение сходится не во всей рассматриваемой области. При стремлении т к бесконечности должны оставаться ограниченными внутри рассматриваемой области по крайней мере отдельные члены первой суммы. Это означает.
что должны а ж ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ ВЫВОдл пРИБЛИЖЕннЫХ УРЛБНЕНнн 35 оставаться ограниченныии выражения (' (г о) Был).„. д о что, безусловно, излагает сильныс ограничения на функции 1, и /а. 11 качестве второго примера рассмотрим сверхзвуковую зздачу, описываемую уравнением дзФ дтФ П»э — дуэ = " причем за область, в которой наллежит опрелслить течение, возьмем такой же прямоугольник, как и в первом примере. Если вдоль х = О заданы значения Ф=~,(у) и дФ,'дх= У,,(у), то решением будет 2 %з ( - (ГЛБ ° Е) ° ~г-ш., ж-1 10 +- 7 ~ У,(у)з!птуггу — Б(плгув1птх, о в чеи нетрудно сразу убелиться простой проверкой. »(ы Бнлим, что в этом случае решения обладают периодичностью в направлении х с периолом, равным 2П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
