К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 13
Текст из файла (страница 13)
После того как форма линий тока определена во всем течении, давления могут быть вычислены путем интегрирования центробежных $2. ПЛОСКИЕ И ОСЕСИМГВЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ сил. Именно таким путем получается решение (3). Если ширина струи увеличивается до. бесконечности, то давление на профиле возрастает до бесконечности, положительной или отрицательной в зависимости от знака кривизны профиля. Таким образом, трудности линеаризованного рассмотрения нашей задачи обусловливаются тем, что интегрирование центробежных снл, допустимое для полосы ограниченной ширины, при неограниченной ширине приводит к бесконечному значению давления.
Следовательно, к необходимости отказа от линейной теории приводят части поля течения, удаленные от обтекаемого профиля. В линейной теории возмущения, вызываемые профилем, остаются ограниченными только в полосе, ширина которой не превышает ширины профиля. Нелинейные члены дифференциально~о уравнения околозвукового течения обусловливают, с одной стороны, увеличение ширины возмущенной области, а с другой стороны, такое затухание первоначальных возмущений по мере удаления в бесконечность, что интегрирование центробежных снл дает на профиле конечные давления. Именно поэтому нельзя пренебрегать нелинейными членами даже на большом расстоянии от профиля. На первый взгляд зто обстоятельство может показаться удивительным, так как на достаточно большом расстоянии от профиля все возмущения становятся малыми. О такой роли нелинейных членов всегда следует помнить прн оценке приближенных методов, применяемых для расчета околозвуковых течений '). Совершенно аналогичным образом исследуются осесимметричные задачи.
Линеаризованное уравнение для потенциала имеет вид Ф„+- — '"- = О, (5) г) Ливеаризация обусловливает существенное изменение дифференциального уравнения, опксывающего течение. А именао, если это уравнение в своей первоначальной форме принадлежит в зависимости от знака перед Ф либо к эллиптическому, либо к гиперболическому типу, то после лниеарнзации опо становится параболическим. Однако с точки зрения прикладной математики отсюда вовсе не следует, что лниеаризацией нельзя пользоваться, В самом деле, такого рода упрощение применяется весьма часто и прн этом обычно без каких-либо серьезных последствий; напомним хотя бы о параболическом уравнении пограничного слоя, получаемом из эллиптических уравнений Навье — Стокса, илн об уравнении сжимаемых иевязких течений, получаемом также из уравнений Навье — Стокса.
Трудности, к которым приводят такие упрощения, обычно проявляются только в небольших областях поля течения. Эти области либо подлежат исключению нз рассмотрения, либо исследуются особо. Примерами таких областей могут служить пограничный слой илн скачок уплотнения. В пограничном слое частицы движущегося газа прилипают к поверхности обтекаемого тела, и поэтому здесь нельзя вводить допущение об отсутствии трения; теория пограничного слоя по существу вносит поправки в результаты, получаемые на основе допущения об отсутствии трения Скачки уплотнения представляют собой такие чрезвычайно узкие зоны течения, в которых при использовании уравнений Навье — Стокса получались бы очень высокие градиенты давления, а при использовании допущения сб отсутствии трения возникало бы перекрытие плоскости течения. 63 гл !!1 линеАРизОВАИИОВ исследОВАние ОкОл03ВукОВых течении и его решением будет Ф = «(х)!и г +е'(х).
Отсюда мы находим Ф =— у(х) г Эта величина определяет также наклон вектора скорости. Пусть форма обтекаемого тела задана уравнением г = «(х). Тогда граничным условием будет «(х) лг г лх или Функция л'(х) по-прежнему должна быть определена из граничных условий на некотором расстоянии от тела. Если тело обтекается свободной струей радиуса гш то решением будет 1 а Ф = — „— (г)- ']!п г — 1п гв]. 2 лх И теперь при увеличении радиуса г свободной струи до бесконечности давление на теле приближается к бесконечности, однако значительно медленнее, чем з плоской задаче.
Это объясняется тем, что при возрастании г, т. е. при увеличении поперечного сечения струи, кривизна линий тока уменьшается, следовательно, центробежные силы по мере удаления в бесконечность затухают '). На основании сказанного можно ожидать. что в осесимметричных течениях физические особенности околозвуковой области проявляются в меньшей степени, чем в плоских течениях. Этот вывод заслуживает особого внимания, так как ббльшан часть точных решений для околозвуковых течений относится к плоским задачам.
При переносе результатов, полученных для плоских задач, на осесимметричные задачи следует соблюдать осторожность. Результаты линейной теории можно рассматривать как первый член разложения точного решения по параметру, характеризующему толщину профиля. Однако в неограниченном пространстве первый член такого рааложения все же дает бесконечно большие давления на профиле. А(ля пластинки, помещенной в потоке под углом атаки, мы нашли в предыдущей главе с помошью закона подобия, что начальная касательная к кривой, изображающей зависимость подъем- !) Если бы чаев Ф„,!г в ураззеиии (б) быа больше единицы, то давления на профиле оставались бы, как это отметих А. Бухеман, конечными в любом случае, и, следов!тельно, примееевиг линейной теории в около.
звуковой области не должно было бы вызывать никаких опасений. 69 $3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ ной силы от угла атаки, действительно вертикальна. В этой зздаче угол атаки играет такую же роль, как толщина профиля. Таким образом, хотя линейная теория вообще бесполезна, она все же немного проясняет общую картину.
ф 3. Пространственные течения Для пространственных течений дифференцизльное уравнение П, 8(1) после линеаризации принимает вид ф„„+Ф = О. (1) Мы видим, что это >равнение не содержит производных по х, следовательно, оно может решаться в каждом поперечном сечении х = — сопз1 независимо от соседних поперечных сечений. Правда, позади крыла различные поперечные сечения связаны между собою граничным условием, которое доля<но выполняться на вихревом следе. На основании уравнения 11, 8(3) граничным условием на поверхнссти тела будет дй дх ' (2) ') Это условие известно также под названием условия Жуковского— Чапли гииа. — /уриж.
ред. где п„есть составляющая скорости, лежащая в плоскости х = сопя( и перпендикулярная к аппроксимирующей цилиндрической поверхности (см. $ 5 гл. 11), а л есть расстояние от поверхности тела до аппроксимир> ющей цилиндрической поверхности, измеренное в направлении и„. Существенно, что в граничное условие (2) входит только составляющая скорости, лежащая в рассматриваемой плоскости к=сопя(. В каждой такой плоскости приходится решать краевую задачу второго рода для двумерного уравнения Лапласа. Следующее граничное условие получается из требования об обращении в нуль потенциала в бесконечности, так как иначе там имелись бы дополнительные, не равные нулю скорости. Если плоскость х= сопя( пересекает поверхность обтекаемого тела по нескольким кривым, как это имеет место, например, для стреловидного крыла (начиная с некоторого расстояния от его передней точки), то последнее граничное условие уже не приводит к однозначному решению.
В этом случае необходимо допустить, что на следе, образующемся за задней кромкой крыла. потенциал претерпевает разрыв (однако производная потенциала в направлении, нормальном к поверхности следа, всегда остается непрерывной). Непосредственно выше и ниже следа потенциал постоянен вдоль прямых, параллельных оси х. На задней кромке крыла должно выполняться условие Кутта '): скорссть здесь не должна принимать бесконечно большого значения. Перечисленные условия 70 ГЛ.
Н! ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОКОЛОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИИ приводят к интегральному уравнению, определяющему потенциал в следе н полностью решающему рассматриваемую задзчу обтекания. Для каждого поперечного сечения х =- совам потенциал Ф определяется дифференциальным »равнением и граничными условиями плоского несжимаемого течения. Интеграл ~ О„дз, взятый вдоль кривой пересечения обтекаемого тела с плоскостью х = сопз1 (причем дв есть линейный элемент этой кривой), дает для только что указанного плоского несжимаемого течения количество жидкости, вытекающей из объема, занимаемого телом. Если это количество не рзвно нулю, то в бесконечности потенциалу соответствует источник, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
