К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 12
Текст из файла (страница 12)
( дх ах 2 'гдх) 9 9, Уравнение неразрывности и теорема импульсов для околозвуковых течений Покажем, какой вил принимают условие неразрывности и уравнение импульсов, если д.чя определения добавочного потенциала Ф пользоваться упрощенным дифференциальным уравнением 11, 8 (1). Приближенное условие неразрывности и приближенное уравнение импульсов могут быть использованы с целью отыскания приближенных решений в тех случаях, когда для рассматриваемой задачи уравнение неразрывности точно не удовлетворяется. 5 9 УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ И ТЕОРЕМА ИМПУЛЬСОВ 63 Допустим, что внутри поля течения имеются источники общей мощности р*а д. Тогда упрощенным уравнением неразрывности будет дФм дФ, дФА 1я+ ) ~ д + д ' д- (1) Рассмотрим объем 1', ограниченный поверхностью О.
Обозначим через г(о единичный вектор направленной наружу нормали к элементу поверхности, через д(г — элемент объема и через ю', т', и — единичные векторы по направлениям х, у, в. Тогда, применив к уравнению 11) интегральную теорему Гаусса, мы получим 1 1 ( — 2 1 Ф 1+ ФУ3+Фяа) ао =- ( ( ( ч гг('. Если мы использовали бы точное уравнение неразрывности, то левая часть имела бы вид ~ (ро 1+ роя т'+ро,й) г1о. о В первом приближении ро можно заменить на р'а'.
При интегрировании по замкнутой поверхности этот член, конечно, выпадает. Учтя это обстоятельство и сравнив оба выражения под знаками двойного интеграла, мы найдем, что в околозвуковой области имеют место следующие приближенные соотношения: Рол = Р'а*(! —, Ф ), Роу —.— Р"а*Фу, РР, =- Р "а'Ф,. (2) Первое уравнение показывает, что связь между плотностью потока массы р тв(которая приближенно равна ро ) и Фм изображается параболой. Следовательно, максимум плотности потока массы, так же как и в случзе точных дифференциальных уравненмй (см.
соотношение 1, 2110а)], получается при критической скорости. Если теорема импульсов применяется для представления сил. действующих на обтекаемое тело, в виде поверхностного интеграла, то необходимо проявлять осторожность, так как импульс выражается членами довольно высокого порядка. Поэтому выведем теорему импульсов непосредственно из уравнения неразрывности 11) для околозвуковых течений. На первый взгляд может показаться, что для этой цели удобнее воспользоваться уравнениями Эйлера. Однако последние при введении потенциала автоматически удовлетворяются, даже если внутри поля течения имеются источники. Конечно, при выводе теоремы импульсов следует учесть импульсы имеющихся источников, если только рассматриваемый объем не является бесконечно малым. Ниже мы ограничимся рассмотрением только составляющей импульса в направлении х, так как она является наиболее чувствительной.
гл и зАкОн пОдОБия для ОкОлО3ВукОВых теченип Умножим уравнение (!) на Фл и представим результат в следующем виде: ( + ) л мм+ д, ( и 2) д ( и 2) — — — — (Ф„) — — — — (Ф,) = !!Ф . Применив интегральную теорему Гаусса, мы получим Г~ ~— Г(! ,!2 в2 !2 З 2"! [ — 1.; 2-У вЂ” —,"- — .') ~-~2,2,1~-2,22)2.— о ~ 1)Ф. 121' (3) Обращает на себя внимание высокая степень, в которой входит в левую часть составляющая потенциала Ф.. Однако ле~ко убедиться в том, что если применить аффинное преобразование, при котором соблюдается закон подобия, то все члены будут содержать . в одинаковых степенях, правда, при условии учета деформации элементов поверхности О. Остается выяснить, действительно ли поверхностный интеграл в равенстве (3) дает составляющую в направлении х импульса сил давления, действующих на поверхность обтекаемого тела.
На обтекаемом теле имеет место граничное условие [(! + Ф„) 2+ Ф„г+ Ф,Ц 2(о = О. Преобразуем на основании этого соотношения два последних члена левой части равенства (3); тогда для интеграла по поверхности обтекаемого тела в равенстве (3) мы получим выражение 2+1 Ф„Ф ! [ — о~2.12,,— — —,21 — —," — —,— ') и . В этом выражении Ио есть проекция элемента поверхности на плоскость, перпендикулярную к направлению х. Более высокими степенями Ф мы можем пренебречь, так как поверхность тела деформируется при аффинном преобразовании по-иному, чем координаты. В рассматриваемом приближении выражение 2+2+2 есть не что иное, как разность давлений р — р'.
Вывод производится на основании таких же соображений, как и вывод уравнений (2), В общем случае члены Ф,/2 и Ф2!2 малы по сравнению с членом Ф . 2 2, С исключением мы познакомились на стр. 54 при исследовании обтекания осесимметричного тела. Следовательно, этот исключительный случай содержится в полученной формулировке теоремы импульсов. Глава Ш ЛИНЕАРИЗОВАННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОКОЛОЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ В 1. Предварительные замечания Из предыдущей главы мы внаем, что околозвуковое течение описывается нелинейным дифференциальным уравнением.
Однако это отнюдь не означает, что этим уравнением следует пользоваться во всех без исключения случаях. Имеется целый ряд задач, в которых нелинейный член играет незначительную роль. Это обстоятельство чрезвычайно важно, так как решение нелинейного дифференциально~о уравнения связано со столь большими трудностями. что оно возможно — без особо большой затраты труда — только в некоторых специальных случаях.
Среди проблем, допускающих исследование посредством линейной теории, наиболее практически важной является определение подъемной силы крыла с большим относительным размахом. Линеарнзованное исследование поля течения представляет интерес также с теоретической точки зрения. Даже если численные результаты, получаемые в результате такого исследования, неудовлетворительны, все же они дают представление о характере трудностей, которые необходимо преодолеть при введении нелинейного члена. В 2.
Линеаризованное исследование плоских и осесимметричных течений Отбросив в уравнении П, 8(1) член — (я+1) Ф Ф„, мы получим линеарнзованное дифференциальное уравнение околозвукового течения, которое для двумерного случая принимает вид Ф„„= О. Общим решением этого дифференциального уравнения будет Ф(х, у)=уУ1х)+д'~х), (2) где Г' и Л' суть произвольные функции. Мь1 видим, что для каждой линии х= сопа1 значение Ф„, представляющее в нашем приближении наклон линий тока, остается постоянным. Следовательно, все линии тока получаются одна из другой параллельным переносом в направлении оси у.
5 Ззж 634. К. Г. гав~ряса бб гл. нь линвлвнзовлннов нсслвдовлнне околозвхковых течвннп Попробуем применить этот результат к обтеканию некоторого профиля. Для описания формы профиля можно задать наклон Ь линий тока к профилю как функцию от х, т. е. задать уравнение Ь = Ь(х). Тогда функция г'(х) будет определена, а именно мы будем иметь У(х)=Ь(х). Как определить теперь функцию К (х)? Для того чтобы не прийти сразу к бессмысленному результату, рассмотрим обтекзние нашего профиля в свободной струе конечной ширины.
При линеаризованном рассмотрении задачи границы струи простираются вдоль линий у = — сопя( = + уа. На этих линиях должно соблюдаться условие, что давление на них должно быть равно критическому давлению, а потому здесь, опять в первом приближении, долгано быть Фм = О. Это условие удовлетворяется соответствующим выбором функции д. В качестве решения для верхней половины поля течения мы получаем Ф = УЬ(х) — УОЬ(х).
(з) Поверхность струи имеет в рассматриваемом приближении такую же форму, как и профиль. В самом деле, все линии тока получаются одна из другой параллельным переносом в направлении оси у. Выше и ниже по течению относительно профиля поверхность струи остается невозмущенной. Дзвления на поверхности профиля пропорциональны Ф . Ыы имеем я'Ь Фи<я ф Уз ле ° (4) Конечно, для того чтобы можно было применить линейную теорию, давления должны быть мзлыми. Это означает, что должен оставаться ограниченным либо наклон профиля, либо поперечный размер (ширнна) струи.
Какой физический смысл имеет найденное решение? В предыдущей главе мы получили для плотности потока массы в околозвуковой области приближенные формулы Д. 9(2). Если мы отбрасываем в дифференциальном уравнении околозвукового течения нелинейный член, то мы должны отбросить нелинейный член и в формулах И, 9(2), следовательно плотность потока массы в околозвуковой области будет постоянной. В первом приближении это означает, что расстояние между линиями тока в направлении у постоянно. Таким образом. форма линий тока ззранее известна. То обстоятельство, что плотность потока мзссы зависит только от членов второго порядка, показывает, насколько чувствительны околозвуковые течения к вынужденным изменениям расстояния между линиями тока; скорость должна значительно измениться„ чтобы вызвать хотя бы небольшое увеличение расстояния между линиями тона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
