К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 20
Текст из файла (страница 20)
лэ дф дю рю ~ дю ю да/' дх 1 1' . дф дф 1. — = — ~ — 51п9 —, сОБЬЫ вЂ” ); дЬ рЮ~ дЬ дю)' — = — ~со59 — +япЬ ю — ). ду 1 / дф . дф т дЬ рю ~ дЬ дю)' 11 б) Тесную связь, существующую между потенциалом Лежандра ф и функцией тока ф, легко обнаружить следующим путем. Из соотно- шений х =фи и У = 1Р„ПРинимаюшнх в полЯРных кооРдинатах вид 1 х = ф, с05 Ь вЂ” — 1ра 51п Ь, 1 у=ф япЬ+ — фзсоБЬ, Ю мы имеем и приравняв коэффициенты при г(ю и с(Ь слева и справа, мы по- лучим ф=~( — —.'-ьч-~ ). ~ дф дЬ Р ~ те+ т "5)' 116) 1 . 1 ох = (1рц„„соз Ь + —, фа 51п Ь вЂ” — 1р Б 51п 9) пю+ 1 . 1 + ~ф„е соз 9 — 1рм яп Ь вЂ” — 1раэ 5(п Ь вЂ” — 1ра соз 9) 119; 1 1 г(у =(ф „япЬ вЂ” - — е сов Ь+ — -е СОБЬ)с(ю+ 1 1 + ~1р„,в 51п Ь+-ф„, соз Ь+ — фаз сОБ д — — фа 51п Ь) а19.
Подставив эти значения дх и ду в соотношение грф= — ггю+ — дЬ = — росгх-(-риду дф дю да 1О2 ГЛ Н ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА Таким образом, если известен преобразованный потенциал у, то функцию тока ф можно определить путем интегрирования. Следует ли при решении конкретной задачи исходить из уравнения для функции тока или из уравнения для потенциала Лежандра, зависит от характера граничных условий. Для исследования обтекания заданного тела и выявления условий на скачках уплотнения проще применять функцию тока. Для исследования же течений, отличающихся от уже известного течения столь мало, что изменение контура в плоскости течения можно учесть путем линеариаации граничных условий в плоскости годографа, целесообразнее пользоваться преобразованным потенциалом.
ф 2. Функциональный определитель Р Если координаты х и у плоскости течения рассматривать как функции от и и о, то соотношения дх дх дх = — — ди+ — е(о, ди до е(у= ~ г(и+ — У-е(о ду ду ди до представляют собой систему уравнений, в которой ди и до можно принять за неизвестные, если дх и г(у заданы. Коэффициенты дх1ди, дх/до, ду/ди и ду(до при ди и г(о зависят, конечно, от положения рассматриваемой точки поля течения. Для возможности однозначного решения системы уравнений (1) необходимо и достаточно, чтобы определитель дх ду дх ду Р= — — — — —— ди до до ди (2) не был равен нулю.
Этот определитель называется функциональным оиределильелем. Для сокращения записи будем пользоваться обозначением Р=- — ' д(х, у) д(и, о) Если функциональный определитель О равен нулю, то оба уравнения системы (1) линейно зависят друг от друга, н тогда решения для ди и е(о можно получить только при условии, что между 0х и е(у существует такая же линейная зависимость, как между правыми частями уравнений (1).
Но в таком случае каждому выбранному отношению между ди и г(о соответствует такое же отношение между г(х и е1у; это означает, что если при разложении г(х и Иу в ряды ограничиться только линейными членами, как это и сделано в уравнениях (1), то окрестность рассматриваемой точки плоскостй годографа отображается в некоторую линию плоскости течения. 3 2 ФУНКЦИОНАЛЪНЬСИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ О Функциональный определитель обрзщается в нуль также в том случае, когда все члены первого порядка в правых частях уравнений (1) равны нулю.
Это может иметь место для точек разветвления линий тока в плоскости годографа или плоскости течения. В таком случае для выяснения характера отображения необходимо использовать члены следующего, более высокого порядка. Здесь мы не будем заниматься общим исследованием этого вопроса, однако ниже, при рассмотрении частных примеров, мы будем по мере надобности на нем останавливаться, Из сказанного выше следует, что для однозначного соответствия между плоскостью годографа и плоскостью течения требуется, чтобы функциональный определитель не обращался ни в нуль, ни в бесконечность.
Функциональный определитель может сделаться бесконечно большим, если некоторые члены в правых частях уравнений (1) будут иметь бесконечно большие значения; в этом случае возникает воаможность, при которой для значений исх и ису, не равных нулю, соответствующие аначения с1и и до принимают нулевые значения. Функционзльный определитель можно истолковать как отношение элементарной площадки в плоскости течения к соответствующей элементарной площадке в плоскости годографа.
В самом деле, элементарный прямоугольник плоскости годографа со сторонами с1и и до переходит при отображении на плоскость течения в параллелограмм, стороны которого равны соответственно 1 — Хи.+у — — ди дх .ду ди ди д — — сЫ+,~ — сЫ. .дх .ду до ' до Ориентированная элементарная площадка в плоскости годографа определяется вектором д Х > с1и с~о, а ориентированная элементзрная площалка в плоскости течения— вектором !дх ду ду дх1 г' Х,у ди до 1 — — — — — ~.
с,ди до ди до у' Отсюда и вытекает указанный выше смысл функционального определителя. Конечно, вместо указанного отношения элементарных площадок можно взять отношение этих же площадок в обратной последовательности, поэтому дх ду ду дх ( ди до ди до 1 ди до ди до 1 дх ду ду дх с ГЛ Ч ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА При применении метода годографа поведение функционального определителя представляет интерес потому. что равенство этого определителя нулю или бесконечности указывает на наличие особых точек в отображении.
Для построения картины течения в плоскости годографа имеет важное значение уже то простое обстоятельство, что функциональный определитель должен быть отрицательным (доказательство будет дано ниже). Это обстоятельство влечет за собой значительное ограничение возможного вида картины течения в плоскости годографа (см. стр. 153). Для вычисления функционального определителя следует воспользоваться уравнениями Ч, 1(15); мы получим юз 'д з Д(в Э) Зтю Г(да~) + ыз (ДЭ ) ~' Далее.
приняв во внимание равенства в=твсо59, п=тв51пЬ, мы найдем / я,т дф + 3' ла дф а — ы аз=0 (6) д(и, в) -' — = тв. с1(, Э) Имея в виду указанный выше смысл функционального определителя как отношения двух площадей, мы окончательно будем иметь =:;:.:;=-,'..[(-:.).'..' (-:.)> Конечно, значение функционального определителя не зависит от выбора независимых переменных в плоскости годографа. Если использовать уравнения Ч, 1(16) и перейти к преобразованному потенциалу, то мы получим О= — ~( — ' .,— — ', р,)'+(1 — — ",'И вЂ” 'р.+ — ', рээ)'~. (5) функциональный определитель, будучи суммой двух квадратов с отрицательным коэффициентом, в дозвуковой области всегда либо отрицателен, либо равен нулю.
Нулевое значение он может иметь только в изолированной точке. Если бы он был равен нулю вдоль некоторой линии дозвуковой области, то там имели бы место равенства дф!дтв=0 и дф/д9= 0. Тогда, безусловно, было бы возможно аналитическое продолжение посредством выбора ф = сопзй причем, на основании сказанного при изложении метода характеристик, это было бы единственным вовможным продолжением. В сверхзвуковой области функциональный определитель обращается в нуль, если 105 $3 ПРЕДЕЛЬНАЯ ЛИНИЯ причем, конечно, это равенство должно выполняться только для одного знака перед корнем, Условие (6) приводит к понятию предельной линии.
ф 3. Предельная линия Прежде чем предпринять аналитическое исследование свойств предельных линий, рассмотрим пример, иллюстрирующий эти свойства. Рассмотрим течение, вызываемое источником. Все линии тока такого течения имеют из соображений симметрии радиальное направление. На окружностях, центры которых лежат в источнике, скорость постоянна. Если г есть радиус одной из таких окружностей, то условие неразрывное~и приводит к урзвнению гатв = сопз1. На основании равенства 1, 2 (10а) плотность потока массы ртв имеет в изэнтропическом течении максимум при скорости, равной скорости звука.
Это означает, что уравнение (1) может соблюдаться только для аначений г, ббльших некоторого минимального значения г,. Для значений г ге существуют дза решения, а именно: одно решение для дозвукового течения и второе для сверхзвукового течения. Можно представить себе, что оба эти поля течения находятся в двух наложенных друг на друга листах, скрепленных между собой вдоль окружности радиуса г„. Эта окружность радиуса ге и представляет собой в данном случае предельную линию. Однако течение, вызываемое источником, является слишком специальным и поэтому не может достаточно полно выявить свойства предельной линни.
Необходимо рзссмотреть течение более общего вида. Для получения такого течения наложим на годограф только что рассмотренного решения так называемый потенциальный вихрь. Это можно сделать, так как уравнения годографов линейны. При наложении решений в плоскости годографа значения х и у, соответствующие в исходных решениях одинаковым векторам скорости, складываются, так как уравнения Ч, 1(15), определяющие х и у, линейны (Телкин 11), см.
лиг. 1). Поскольку и в источнике, и в потенциальном вихре не имеется какого-либо привилегированного направления, такого направления не имеется и в течении, получающемся в результате наложения источника и потенциального вихря. Сверхзвуковую область такого течения можно легко построить методом характеристик, Для этой цели зададим вдоль окружности векторы скорости, модули которых имеют одинаковые значения, а направления ооразуют с касательной к окружности постоянный угол.
Модуль скорости должен быть либо больше скорости звукз, либо равен ей, Исходя нз этой окружности, продолжим поле течения посредством метода характеристик. Именно $06 ГЛ. Ю ОСНОВЫ МЕТОДА ГОДОГРАФА гаким способом выполнено построение на рис. 22, правда, только для части окружности. Если за исходную окружность мы возьмем звуковую линию, то увидим, что внутри окружности будут иметь место сверхзвуковые скорости, а вне окружности — дозвуковые скорости. Предположим, что течение направлено из дозвуковой области в сверхзвуковую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
