К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 18
Текст из файла (страница 18)
16 сплошными линиями, Для определения формы линии тока следует проинтегрировать ее наклон Ф„ вдоль прямой у = сопз1. Пусть у есть отклонение линии тока от выбранной прямой у = сопя(. Тогда мы получим уз Г х' аса хт у г(. 4 1) с2 ! ( 1 1)2 т йу ау) Две линии тока, расположенные по обе стороны от оси х на одинаковых от нее расстояниях, можно принять за стенки. Если мы будем брать такие пары линий тока на различных расстояниях от 3 2 ТЕЧЕНИЕ ЧЕРЕЗ СОПЛО ЛАВАЛЯ оси х, то получим семейство сопел Лаваля. Нетрудно убедиться в том, что а все эти сопла можно получить одно иэ другого, если выполнить преобразование координат в соответствии с законом подобия (при одновременном изменении хз и т (см.
стр. 45)). Другими словами, применение для рассматриваемого примера закона подобия (без .изменения хо) равносильно изменению масштаба поля течения. Если в качестве стенок выбрать две линии тока, расположенные по одну и ту же сторону от оси, то получится решение задачи о переходе через скорость звука в искривленном канале. Такого рода поля течения встречаются между лопатками осевых турбин (Якобс, см. лиг.
1). Для понимания в целом смешанных течений, т, е. течений, содержащих до- и сверхзвуковые области, имеет важное значение следующее соображение. Выберем две линии тока и будем рассматривать их как стенки, Известно, что в сверхзвуковом поле изменение направления стенки дает себя знать только вниз по течению козерогов оооио, оо о«о свого Р и с. зб. Течевие через соево Лаваая относительно той волны Маха, которая отходит от стенки в точке изменения ее направления.
То же самое, конечно, имеет место и в рассматриваемом нами случае при условии, что волна Маха, вдоль которой распространяется изменение состояния, не достигает звуковой линии. Следовательно, точка А на рис. 16 является той точкой, начиная от которой можно изменять направление стенки, не влияя на дозвуковую область течения.
Таким образом, расчет течения через сопло Лаваля разбивается на две отдельные задачи, а именно: 1) на расчет дозвукового поля и бой части сверхзвукового, которая влияет на дозвуковое, и 2) на расчет остающейся части сверхзвукового поля. Для расчета дозвукового поля требуется знать контур стенки только до точки А. Течение через сопло Лаваля представляе~ собой пример такой задачи, для которой интуиция с самого начала подсказывает правильную формулировку о смешанном — до- и сверхзвуковом — поле течения. Ниже, исходя из характера течения через сопло Лаваля, мы получим путем предельного перехода качественную картину течения с числом Маха, равным единице вдали от обтекаемого тела. И в этом случае мы увидим, что подразделение поля течения на две 92 ГЛ !У ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА области имеет существенное значение. В рассмотренном выше примере положение точки А заранее неизвестно; оно может быть найдено только путем решения краевой задачи (если только такое решение возможно в общем виде).
Во всяком случае, точка А лежит, как мы это увилим ниже при применении метода годографа, вверх по течению относительно самого узкого поперечного сечения'). Волна Маха АО, отделяющая ту часть сверхзвуковой области, которая влияет на дозвуковую область, от части, не влияющей на дозвуковую область, называешься предельной волной Маха.
Точное решение уравненИя для потенциала околозвукового течения в случае осесимметричного сопла Лаваля имеет вид ела х+ 1 (х+ 1)а с" Исследование этого решения может быть выполнено таким же путем, как и для плоской задачи. Для звуковой линии мы получим уравнение х (х+ 1)с а а для геометрического места точек, в которых линии тока горизонтальны, — уравнение х (х+1)с уа 9 Наконец, уравнением волн Маха будет ( +1)с(~ Ч уц в В 3.
Параллельная струя с критической скоростью Если мы попытаеашя применизь метод характеристик для построения сверхзвукового поля, получающегося при расширении первоначально параллельной струи, движущейся со скоростью звука, то столкнемся с трудностями, особенно в случае осесимметричной струи. Эти трудности возникают потому, что первые волны Маха, полу- а) Сопла Лаваля рассматривалось в литературе столь часто, что о пем может создаться впечатление как о проблеме особой важности, Со своеобазией точки зрения подошел к соплу Лаваля в одной из своих работ ж. И. Тэйлор. Если секло симметрично относительно самого узкого поперечного сечения, то при дозвуковых скоростях поле течения в таком сопле также симметрично.
С другой стороны, симметричности ноля течения безусловно не будет, если сопло будет работать именно как сопло Лаваля. Можно было предполагать, что исследование перехода от одного типа сопла к лругому дало бы возможность получить представление об особенностях околозвуковых течений Однако непосредственное исследование сопел не привело к ожидавшемуся результату. а 3 пАРАллельнАя стРуя с кРитическОЙ скОРОстью 93 чающиеся при построении, пересекаются всегда только внутри струи '), каким бы мы малым ни брали расстояние между ними, Для аналитического исследования рассматриваемой задачи следует ввести допущение, что Ф вЂ” — з г(у) ф хз г(г) для плоского случая, (1) для осесимметричного случая уи — 18 (н+ 1) уз = О, (2а) а в случае осесимметричной стру.и — уравнение Уи+ — — 18(х+ 1)(з = О.
(2б) Если Р(:) есть решение дифференциального уравнения изг" — — гтз = О йчз (За) или дифференциального уравнения дзр 1 ар — — + — — — Гз — О, зсмк ~ дС (Зб) причем изР/с(;=О при Ч=О, то искомыми решениями уравнений (2а) и (йб) будут з 1 з =Сз18( 1 п(Сьу) и соответственно 1 з' — Сз Р (С,г).
Путем надлежащего выбора постоянной С, можно сделать так, чтобы решение удовлетворялось при любой ширине струи. Имеютси различные типы функции гт. Для того чтобы получить представление з) Имеется в виду известное свойство характеристик: оии не пересекают прямую звуковую зинин> на участках, свободных от особых точек.— Прим. ред. (Гартлер, Гудерлей 118), см. лиг. 1). Выбор именно этих выражений для потенциала основан на следующем. Возьмем сначала произвольные степени х и сделаем соответствующие подстановки в дифференциальное уравнение околозвукового течения И, 8(1) или П, 8(2), Затем подберем показатели степени при х так, чтобы степени х выпали из уравнений.
Это и приведет нас к формулам (1). Физически возможны и более высокие степени х; они означают, что расширение струи происходит более медленно. Приняв допущение (1), мы получим для определения функции г' в случае плоской струи уравнение 94 гл. гч. точныи ввшвния гвлвнвния потвнцнллл о смысле этих решений, исследуем подробнее плоскую струю. Для нее решением уравнения (За) будет уг ас — 1 - х! Если мы выберем верхний знак, то функция Г будет изменяться от положительного значения, определяемого из уравнения до бесконечности; это означает, что у изменяется от нуля до некоторого конечного значения, Вблизи гс = со полученному решению соответствует течение Мейера около угла, следовательно, там лежит внешняя граница струн.
В этом решении функция гч всегда положительна, поэтому струя движется, как это видно из равенства (1), со сверхзву.ковой скоростью, Если мы выберем нижний знак, то функция Р будет изменяться от отрицательного значения до нуля и далее — до положительной бесконечности. Для нас представляет интерес область отрицательных значений гч. Этой части решения соответствует дозвуковая струя. которая может перейти в струю с критической скоростью.
Для этого достаточно принять одну из линий тока за границу струи. Если использовать всю область отрицательных значений Г до значения г. = О, то на граничной линии тока давление будет, в пределах нашего приближения, постоянным и равным критическому давлению. Тогда полученное решение может быть реализовано в виде свободной струи с критической скоростью. Таким образом, мы показали, что свободная струя с критической скоростью может двигаться на протяжении конечного участка как параллельная струя. Аналогичные соотношения получаются и для осесимметричной струи. На рис.
17 — 20 показаны функции г". и Г' для плоского и осесимметричного течений. В случае сверхзвуковой струи аргументу " = 1 соответствует точка, в которой начинается течение Мейера, в других же случаях этому аргументу соответствует свободная поверхность струи, движушейся с критической скоростью.
Как известно, в дозвуковой области свободная струя может стать параллельной только в бесконечности (см, также конец э 5 гл, )г), Напротив, в сверхзвуковой области всегда возможно, путем придания контуру струи надлежашей формы, получить параллельную струю на конечном расстоянии от отверстия. Последний пример показывает, что всегда можно получить на конечном расстоянии от отверстия точно параллельную струю также при звуковой скорости, даже если внутри струи течение является дозвуковым; для этого необходимо то,лько, й 3 ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ СТРУЯ С КРИТИЧЕСКО!Т СКОРОСТЬЮ 95 зо зо го ГО ог ой оо лг йо аг ог, ао о,т Р но. 17. Функпия Г лл» плоской и асесимметричной сверхзвуковых струй. Значение С 0 соответствует серелине струи, 1=1 в креям струи.
При в=сопа1 фунггпия Г пропорциональна отклопевню составляющей скорости в направлении л от критической скорости. Б уг ог ор оо ог Уо 6 Р и с. 20. Функция Гг для плоской н осесимметрнчной лозвуковых струй. Значение 1=.0 соответствует середине струи, г =!†краям струя. При ж=-сопа1 функпия Г пропорцвовальна составлтяющей скорости, перпенлвкулярной к оги сопла. Р ив. 10. Функция Р для плоской н осесимметричной дозвуковых струй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
