К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В результате вся плоскость у, г изобразится на северной полусфере, а бесконечность плоскости г, г — на экваторе. Затем спроектируем полусферу на внутренность круга. Таким путем получается картина, изображенная на рис. 112. Для нас представляет интерес только качественное поведение интегральных кривых. Как показыва)от равенства (4б) и (1), звуковая линия в плоскости г, 1 определяется уравнением 1=0. Далее важную роль в плоскости з, г играет линия у =и'.
На ней коэффициент при уп Р нс. )та. Расположение ннтегралвнмх крнвмх уравневик (6) в плоскости л,т при п=уп Стрелки укаамвают направление, в котором ) ( ( возрастает (но Гулерлею и йосихлре 121 ). в уравнении (2) обращается в нуль. Из уравнения (6) в сочетании с равенством 15б) следует, что С имеет экстремум, когда интегральная кривая пересекает линию г=в'. Если мы будем передвигаться вдоль интегральной кривой в подходящем направлении, то ч будет уменьшаться до тех пор, пока интегральная кривая не достигнет линии г = лт( начиная отсюда, " начнет увеличиваться.
Следовательно, линии г = сопз1 ометают сначала часть плоскости течения до экстремального значения г, а затем перекрывают эту же область вторично. Здесь мы сталкиваемся с примером возникновения предельной линии в осесимметричном течении. В зависимости от того, какой знак имеет иаменение давления на предельной линии, послелняя представляет собой либо результат слияния волн уплотнения, Гл. хь осесимметгичные течения лз 5п — 4 (Зл — 2)2 ' а= — „, 2 2 3 ' для точки С: для точки В: Для выяснения характера решений вблизи этих точек линеарнзуем в правой части уравнения (6) числитель и знаменатель в окрестности каждой из этих точек.
В окрестности, например точки С, мы получим г72 (Зл — 2)2 (Д2 (7пя — 4л) — Ьз (Зл — 2)2] лз Дг (6л" — 4лз) где 5л — 4 ла (Зл 2)2 Так как это уравнение получено путем линеаризации, то оно однородное (следовательно, обладает групповым свойством) и поэтому может быть проннтегрирозано. Таким путем можно найти интегральные кривые в непосредственной близости особых точек. На подробностях мы не будем останавливаться.
Через точку С проходят только две интегральные кривые, остальные же кривые располагаются вблизи точки С наподобие гипербол. Направления подхода к точке С обеих проходящих через нее интегральных кривых определяются либо путем вычислений, либо непосредственно из равенства ~й дг ч'З дз Из равенства (4б) следует, что при 1=из (' — л2~2 Далее из равенств (1) и (1а) мы имеем ф =(2+1) 'У'" У'(") (7) Внеся сюда вместо ~' только что найденное его значение, мы по- лучим ф =(2+1) 7'у'" ~ла(г (8) обусловленных граничными условиями задачи, либо результат расхождения волн разрежения. В первом случае возникает скачок уплотнения, второй случай физически неосуществим.
Далее, важную роль играют те особые точки поля направлений дифференциального уравнения (6), в которых производная са/Л становится неопределенной. В таких точках числитель и знаменатель правой части уравнения (6) одновременно равны пулю. В конечной области плоскости з, ~ таких точек три, их координаты равны для точки А: 2=0, 1=0; $ ь течения с числОм мАхА, РАВным единице Збт Наклон линии ч=сопз1 в общем случае равен лг(х+1) ~у а при 1=из равен — = (х+ 1) А к' Фм . лу На основании равенства 1, 6(10) это есть наклон характеристики, т.
е. все линии ' = соней соответствующие какой-либо точке линии г=и', имеют наклон характеристики. Второе условие Зл — 4 а=из (Зп — 2)з (9) для особой точки С представляет собой не что иное, как условие совместности 1, 6(11) для характеристик, а именно лх лч1 + гпэв +. д 0 у лу ь~ Для того чтобы убедиться в этом, используем равенства (7) и (8), а также равенство Фя = у [(Зл — 2) 7' — агу'1. При ч=сопз1 мы найдем — = (2п — 2) у " ~7' (",) (х + 1) -Ф =(ЗВ З)у зизп — 2)7 — КП, Лу (10) Тогда мы найдем Зл — 2 Внеся этн значения в уравнение (10) и учтя равенства (4), мы получим условие (9). Таким образом, линия ( = сопз1, соответствующая точке С, представляет собой характеристику, причем предельную характеристику, с которой мы уже познакомились при изучении плоских течений.
Так как точки С достигают только специальные интегральные кривые, то при интегрировании дифференциального уравнения (6), а также уравнения (2) целесообразно начать с предельной характеристики. Для определения направления подхода интегральных кривых к точке г=О, в=О положим ГЛ Х! ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ Отсюда следует, что для определения интегральных кривых вблизи точки Л целесообразно ввести новую переменную Зп — 2 и=1 — 5, и откуда ~= и+- — г Зп — 2 п (11) йг д)и Зп — 2 — = — -[- дг5 ддз и Тогда, ограничившись в числителе и знаменателе уравнения (6) только величинами первого порядка, мы получим дди 2и ддз 25 — ип ' откуда найдем 5 = — — и! и (С,и) и (12) и и=О, (12а) где С, есть постоянная интегрирования.
Из уравнения (бб) мы имеем д)5 и !.й[и1»(Си)] и р и[и!п(Си)] .] à — Зз 2 ] 2 2.! и+и!в(Сди) ' и — — 5 откуда ь = сопз! ° и-"", (13) Далее мы получаем Ф =уз» '[(Зп — 2) д' — и".у']= уЗ»-З(З [(ЗП вЂ” 2) 5 — П~] ув»-Згвгди (14) Внеся сюда вместо и его значение из равенства (13), мы найдем Ф = сопз! ° уз" — '7-[з)»). У— Наконец, заменив ".
его значением (1а), мы окончательно получим Ф вЂ” сопз! . у-дхз-!з/») У— т. е. для этого решения вся ось х состоит из особых точек. Аналогичным образом вычисляется и Ф . Интегральная кривая (12а) является исключительной среди всех других интегральных кривых; она представляет собой физически особенно интересный случай, в котором ось л не имеет особых точек. В самом деле, из равенств (12а) и (14) мы имеем Ф„=О; й!. течения с числОм ИАхА, РАВным единице 369 Для полного исследования интегральных кривых необходимо выяснить их поведение также в бесконечности.
За этими подробностями отсылаем к работе ! у>терлея и Йосихары [2[ (см. лит. 1). Здесь упомянем лишь, что бесконечно удаленная прямая (экватор при проектировании на полусферу) представляет собой интегральную кривую, вдоль которой также расположено несколько особых точек. Точки экватора, лежащие на одном и том же диаметре, следует считать тождественными, следовательно, точки В и В' являются эквивалентными, Они представляют собой изображение оси у плоскости течения. В плоскости течения ось у не играет какой-либо привилегированной роли, То обстоятельство.
что соответствующая точка О в плоскости г, 1 является особой, обусловливается выбором переменных г и 1. г=пл Если мы выразим Е через Ф, х и у, то увилим, что 1 принимает в точке В значение, равное нулю. Как ведет себя интегральная кривая в пло- й скости г, 1 при прохождении через точку В, можно видеть из равенств (4) в сочетании с равенством (1а), Вели- Я чины Ф и Ф в этой точке, как и р г>г в любой другой, непрерывны, поэтому Р:й в точке В происходит только перемена знака у г.
Р и е. ИЗ. Пояснение рлеиоложения иитетрвльных нОнвых вбливн точки В Структура семейства интегральных в' р е. Цк кривых вблизи точки В обьясняется тем, что в плоскости течения некоторые решения достигают предельной линии (Г.= пв) раньше, чем область существования решения, ометаемая кривыми "=сопзй доходит до оси у. Такие решения не достигают точки В. Для других решений ось у входит в область существования решения и притом дважды; поэтому и точка В появляется на соответствующей интегральной кривой два раза.
Для пояснения рассмотрим семейство кривых, изображенное в верхней части рис. 113. Для кривых этого семейства величина г вдоль прямой, соответствующей линии 1=ив, имеет максимум. В определенном месте, которому на рис. 112 отвечает точка В или В', сожмем это семейство кривых, не изменяя при этом взаимного расположения кривых. В результате мы получим картину, изображенную в нижней части рис. 113.
Поведение интегральных кривых вблизи точек В и В' в точности соответствует этой схеме. Поле слева от сужения на рис. 113 отвечает полю около точки В, а поле справа от сужения — полю около точки В'. Следовательно, структура семейства интегральных кривых вблизи точки В совсем не такая „странная", как могло бы показаться на первый взгляд.
24 Злн 534. К. г. гулерлеб 376 гл. х! Осесимметяичные течения Теперь мы можем описать в общем виде искомое решение лля течения с числом Маха, равным единице. Точка А соответствует оси х. Вверх по течению относительно обтекаемого тела следует ожидать дозвуковой скорости. Источники вдоль оси х не должны возникать. Поэтому в точке А следует испольэовать интеградьную кривую, направленную в сторону огрицательных значений ~; начальная точка этой интегральной кривой опрелеляется равенством (12а). Дальнейшее поведение решения зависит от значения п. Все решения рано или поздно переходят через звуковую линию, а определенный класс этих решений достигает линии 1 = а', т. е.
для них возникает предельная линия. Такие решения непригодны. Для другого класса решений, т. е. для других значений и, линия 1 = 4га никогда не достигается; интегральные кривые на рис. 112 проходят мимо точки С и оканчива4отся в точке А, подхоля к ней со сверхавуковой стороны. Решения это~о рода перекрывают всю плоскость течения от отрицательной до положительной оси.На положительной оси распределяются источники; следовательно, получается течение около полутела (аналогичное поле течения лля плоского случая было рассмотрено в 35 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
