К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 69
Текст из файла (страница 69)
тгП!). Переход от олного класса решений к другому происходит при определенном значении д, для которого интегральная кривая проходит через точку С. Это значение и и дает искомое решение, обладающее предельной характеристикой. Для того чтобы найти это решение, необходимо для различных значений и вычислить решения, начиная как от точки А, так и от точки С. Как уже было упомянуто, вычисления необходимо вести пользуясь уравнением (2). Один раа следует решить это урзвнение исходя от оси х, затем еще раз — исходя от предельной характеристики. Если при обоих расчетах постоянная С, входящая в уравнение (3), совпадет, то это будет, конечно, случайностью.
Для того чтобы проверить, приводят ли оба хода решения к совпадению,' лучше всего освободиться от постоянной С, перейдя для этого к переменным г и ~, и затем выяснить, при каком значении л оба решения при задзнных з и 1 совпадают. Эти исследования были выполнены Гудерлеем и Иосихарой (2) (см. лит. 1) и недавно очень тщательно проверены Гертрудой Бланш. Для д получилось с большой точностью значение п = 4/,. Результаты вычислений даны в таблице 2 (стр. 387) и изображены на рис. 119 (стр. 386). Эти результаты описывают течение в бесконечности при числе Маха, равном единице, с точностью до масштаба, который, конечно, зависит от размеров тела.
На рис. 119 показано такгке изменение некоторых других величин, характерных для течения; о них булет сказано в 3 5 настоящей главы. Для предельной характеристики всегда можно выбрать значение г.= 1. Тогда первыми членами разложения функции 7 в точке ". = 1 при и.=.- 41, булут 49 49( )+49( ) + 126 16 36 5 2 уточненное исследОВАние Решения В ВсскОнечнОсти 37! Выявление поведения решения в бесконечности является ~олько первым шагом на пути определения действительного поля течения').
Для получения результатов, которые хотя бы сколько-нибудь соответствовзли практической постановке вопроса, необходимо рассмотреть поле течения около телз. Задано ли это тело или же оно получается только в процессе расчета — особой важности не имеет. Для тела вращения задача получается очень трудной, потому что дифференциальное уравнение течения нелинейно и не может быть линеаризовано подобно тому, как это было сделано в плоском случае посредством перехода к плоскости годографа. г)осихара [21 (см.
лиг. 1), использовав метод релаксации, рассчитал течение около тела, состоящего из комбинации конуса и цилиндра. В 2. Уточненное исследование решения в бесконечности В предыдущем параграфе тело, для обтекания которого мы нашли решение, было представлено только особенностью на оси х. Если имеется тело с неисчезающими размерами, то на полученное решение необходимо наложить, как и в плоском случае, дополнительные решения, учитывающие изменение первоначального решения, возника|ощее вследствие влияния конечных размеров тела. Настоящий параграф мы посвятим исследованию этих дополнительных решений (Гудерлей 14), см. лиг.
1). Будем считать, что отклонение действительного решения от решения, полученного в предыдущем параграфе, мало, и поэтому отбросим в дифференциальном уравнении течения более высокие степени этого отклонения. Примем, что потенциал равен Ф = Фо(х, у)+ Ф (х, у), где Ф,(х, у) совпадает с потенциалом, определяемым равенством Х!, 1(1), а Ф (х, у) есть отклонение от действительного решения, обусловленное конечными' размерами тела.
Внесем это выражение Ф в дифференциальное уравнение околозвуковых течений. Отбросив члены более высоких порядков, мы получим для определения Ф линейное дифференциальное уравнение ("+1)(ФохФхх+ФоххФх) +Фин+ "=В (2) т) В то же время зтот шаг является очень важным. На стр. 67 было показано, что трудности линейной теории, а именно возникновение бесконечно болыннх значений давления на теле, связаны с поведением течения в бесконечности. 372 ГЛ Х! ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ Для отыскания частных решений этого уравнения примем, что они имеют вид ф=Уа-(С, ). (з) Это допущение приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению ((г — ~Р~) гам+ [ум+(2чл — пз) с) йл — йд =О. (4) Так же как и в случае плоской задачи, возникает вопрос о полноте системы таких частных решений. К счастью, дифференциальное урав- Р и с.
И4. Система линий р =сопл! и !=сопл! е плоскости л, у лли осесггмметричиого те екиа гпо Гулерлею !4] Ь д'(", ч) = й (") 0 ("., ч), (б) где л определяется дифференциальным уравнением л' Л у' — лтче ' (6) мы получим для определения функций сг дифференциальное уравнение (7 — па~а) йм+(ум — пй".) ~ — ),, ц — О, у' — лтчт (7) причем Л = чй +пч, (7а) Самосопряженной формой уравнения (7) будет лгг ( Л" ) лм (у' — ле(е) (8) нение (4) также может быть приведено к виду, соответствующему задаче на собственные значения, и поэтому к нему применимы такие же рассуждения, как и для плоской задачи.
В самом деле, введя функцию 52 УТОЧНЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ РЕШЕНИЯ В БЕСКОНЕЧНОСТИ Этз Использовав равенство (5), мы сможем представить допущение (3) в виде Ф = Р"0 ("„, У), (9) где р =з'Ь6). (9а) 'Геперь можно отнести эти частные решения к системе координат о, ' (рис. 114). Особыми точками уравнения (8) являются б = + со (ось х) и значения ь, для которых у' — па:2 = 0 (предельная характеристика). Можно принять, что для предельной характеристики 2=1.
Определим теперь решения 0 в точке ".= — 1. Для этого разложим в уравнении (7) коэффициенты при 0', 0" и 0 по с — 1, ограничившись в каждом из них только первым членом; тогда мы получим (~ — 1) [Уп (1) — 2па[ 0" -[ — [7У (1) — па[0' — л „--. — - - 0=0, [уп (1) — 2па! (ь — 1) где 7'(1) и уп(1) суть значения ~' и уп при .=1. Огшода в качестве первых членов разложения 0 в точке ".=1 мы найдем 0 (г 1)г" о)-опт[ а "Г "а " ) р(г (10) Соответствующие разложения для функции д, определяемой уравнением (4), будут иметь вид а $/йа ,Й/ --эл А = — Р(с — 1) и д =(" — 1) РИ)-а"' ' ' Р(". — 1).
(10а) Учтя равенства Х[, 1(1б) и (7а), мы получила вместо уравнения (10) следующее: 0 — (б 1) а - ао 1" "т ) р (г (11) или 0 ( 1)ао р(~ (11б) 0 (г 1) о ао р(г Аналогично вместо уравнений (1Оа) мы получим (12а) (126) е =(" — 1) "' Р(с — 1). Следовательно, одно из решений вблизи ч = 1 регулярно, в то время как второе дает при отрицательных а распространение особенности ГЛ Х! ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 374 вдоль предельной характеристики.
При ч ) — а1, решение стремится к бесконечности, что противоречит допущению о малой величине возмущений. При отрицательных э решение (12б) может быть регулярным, а именно при целочисленных показателях, т. е. при значениях ч= — — — — 7г (л= — 1, 2, ...). 2 5 7 7 (13) л ~ лэ э= — — +1/ )+ —. 2 У 4' (14) Собственные значения 1) — л'14 дают частные решения —. =,--.-' "-6(:,). (15а) собственным же значениям ). С вЂ” л'(4 соответствуют частные решения „лсозГ / ля Ф = р ~ ~' — ). — — 1п р~ б (;, ч). з1п 4 (156) Форма уравнения (8) и граничные условия позволяют найти соотношения ортогональности.
Посредством таких же соображений, как и в й !О гл. ЧИ, можно показать, что каждое решение линеаризованного дифференциального уравнения (2), удовлетворяющего граничным условиям, заданным вдоль "= — со и вдоль "=- с„может быть представлено в виде наложения частных решений (15). Граничное условие, заданное вдоль линии с =- с,, перестает играть какую-либо роль, если эта линия совпадает с предельной характеристикой. И здесь следует иметь в виду разницу между частными решениями, получаемыми в результате решения задачи на собственные значения, и естественными частными решениями, определяемыми требованием ограниченности всех производных вдоль предельной характеристики (см. стр.
222). Связь между обоими этими типами В этом случае в другое решение входит логарифмический член, а вместе с ним и особенность при Г, = 1, по крайней мере в одной из производных. Нижней границей интервала, поллежащего рассмотрению, является, конечно, ось х. Здесь необходимо потребовать, чтобы составляющая дополнительной скорости вдоль оси у была равна нулю. При определении частных решений посредством задачи на собственные значения за верхнюю границу интервала следует взять линию ч = с, ( 1, лежащую в сверхзвуковой области, а затем совершить предельный переход с, †« 1. Получающаяся таким путем система частных решений опять имеет положительные и отрицательные собственные значения ).. Соответствующими значениями ч будут а 2 утОчненнОе исследование Решения В БескОнечнОсти 375 частных решений можно установить, по-видимому, посредством метода, изложенного в й 13 гл.
2111. Первые естественные частные решения можно найти на основании простых соображений общего характера. Можно, например, использовать то обстоятельство, что как ф — у За — эу' (~' ) р аа — 2 эа 2 (Сг — аг) так и (16) представляют собой решения уравнения для потенциала околозвуковых течений. Вторая форл2а решения получается из первой после умножения координат х и у на множятель С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
