К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Что касается коэффициентов (>ь, то онн должны быть выбраны так, чтобы для ф, получились именно те значения, которые были заданы вдоль р=-р, при 0(1(сз. Простой способ для достижения этой цели неизвестен. Можно было бы попытаться выполнить граничные условия в отдельных точках или попробовать подобрать коэффициенты (>л так, чтобы средняя ошибка, получающаяся при выполнении граничных условий, была минимальной. Во всяком случае важно следующее: если коэффициенты сл не равны нулю, то независимо от того.
какими получатся коэффициенты 1>л, решения в нулевой точке стремятся к бесконечности. Доказательство этого утверждения вытекает из таких же соображений, как и в сверхзвуковой краевой задаче. Рассмотренный пример покааывает, чего можно ожидать, если краевая задача поставлена некорректно, т, е. для замкнутого контура в сверхзвуковой области. Между тем при наличии внутри дозвукового течения сверхзвуковой зоны физическая краевая задача принимает именно такой „некорректный" математический вид. В связи с этим изучение такого рода краевых задач приобретает очень большой теоретический интерес, а по мнению двтора †да решающий интерес.
Однако единой точки зрения по этому вопросу пока не существует. Ряд идей, затрагивающих также физическую сторону этого вопроса, имеется в работе Гулерлея (10!. Очень важные соображения высказаны Кэтлин Моравец !1!. На подробностях, ввиду отсутствия места, останавливаться не будем (см. также работу Франкля (21, лиг. 1). Поскольку в рассмотренном примере контур в плоскости токо- графа имеет в нулевой точке бесконечную кривизну, можно было бы считать пример неудачным. Более того, можно было бы даже предполагать, что решения принимают в нулевой точке бесконечно большие значения именно вследствие бесконечной кривизны контура. Поведение частных решений для контура, не обладающего таким свойством.
было исследовано в работе Буземана и Гудерлея, а также в другой работе Гудерлея !1! (см. лиг. 1). Выяснилось, что и в этом случае возникают аналогичные особенности. Однако до- Ю 4 ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Зб1 казательства сходимости, которое только и делает такие исследования законченными. в этих работах не дано. Если мы начнем приближать с, к единице, то можно ожидать. что произойдет переход к задаче Трнкомн такой же, как в примере чисто сверхзвукового течения. Однако детали решении такой задачи трудно проследить, так как решение в области ОВО влияет на дозвуковое течение, а тем самым косвенно и иа решение в области ВОО.
При се=! особенность в нулевой точке больше не возникает, несмотря на то, что частные решения для отрицательных собственных значений стремятся в нулевой точке к бесконечности так же, как и р-'Ач Этот результат вытекает из исследований, проведенных в й 13 гл. К1!. Единственность течения с числом Маха, равным единице, требует, чтобы на решение краевой задачи второго рода было наложено дополнительное условие даже для случая контура такого же типа, как в задаче Трикоми (см. стр. 284). В работе Гудерлея 151 (см.
лиг. 1) сделана попытка выяснить роль этого условия на ряде примеров. Глаза ХУ ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ф 1. Течения с числом Маха, равным единице Часть исследований, выполненных в предыдущих главах для плоских течений, может быть распространена на осесимметричные течения. Это обстоятельство чрезвычайно важно с практической точки зрения: достаточно вспомнить о снарядах и сверхзвуковых самолетах, которые более похожи на тела вращения, чем на плоские тела. Исследование осесимметрнчных течений представляет интерес еще в одном отношении.
Результаты, полученные для плоских течений, часто пытаются переносить на обтекание неплоских тел. Между тем это иногда может приводить к ошибочным выводам. Напомним, что при линеаризованном рассмотрении околозвуковых течений выяснилось, что трудности, специфические для околозвуковых течений, проявляют себя при исследовании осесимметричных течений значительно слабее, чем при исследовании плоских течений.
Следовательно, имея решения для осесимметрнчных течений, даже если эти решения неполные, мы можем предохранить себя от недопустимых заключений по аналогии. Начнем с рассмотрения течений, происходящих при числе Маха, равном единице. Метод годографа, преобразующий для плоских течений нелинейные уравнения в линейные, теряет свои преимущества при исследовании осесимметрнчных течений. Для того чтобы найти для потенциала скоростей выражение, которое описывало бы поведение течения в бесконечности, попытаемся использовать в качестве отправной точки плоское течение, рассмотренное в й 2 гл.
Н111. Там мы получили уравнение ч1И, 2(З). согласно которому линия 1=сопз1 отображается на плоскость течения в виде обобщенной параболы. Вдоль такой параболы у пропорционально р-Ч . На основании уравнений Ч, 7(7) н ЧШ, 2(1) преобразованный потенциал вдоль линии 1 = сопз1 пропорционален р 'д. То же самое имеет место и для потенциала в плоскости течения. Поэтому для етого потенциала можно взять выражение ( х ~ Обобщая это представление, можно искать Ф в виде Ф =у"'7'(~, и), а ь течения с числом мАхА, РАВным единице 363 где х =(х+ 1) У" (Гудерлей и Йосихара (2], см.
лиг, 1). В уравнении (1) т и л суть постоянные, которые. как выясняется в процессе вычислений, связаны между собой соотношением т=ЗЛ вЂ” 2. (1б) Множитель (1+ х) А введен в правую часть равенства (!а) для того, чтобы дифференциальное уравнение, определяющее г", не содержало х. Допущение (1) о виде потенциала пригодно также для осесимметричных течений, если только координату у, т. е. расстояние от оси х, рассматривать как цилиндрическую координату, ранее обозначавшуюся через г. Допущение (1) можно обосновать также непосредствешю, не обращаясь к результатам, полученным для плоских течений. Вполне правдополобно допустить, что при удалении в бесконечность плоскости течения потенциал изменяется пропорционально некоторой степени расстояния.
Однако при этом важную роль играет выбор линии, вдоль которой происходит удаление в бесконечность. ?нетрудно вилеть, что если мы возьмем в качестве таких линий прямые, то получим тривиальные решения. В качестве следующей пробы следует использовать обобщенные параболы. Этот выбор и приводит к допущению (!). Между прочим, течения, рассмотренные в гл. 111, принадлежат именно к этому типу. Допущение (1) можно ввести в уравнение И, 8(2), т.
е. в около- звуковое приближение дифференциального уравнения для потенциала осесимметричного течения. К такому же результату мы придем и в том случае, если введем допущение (1) в точное уравнение потенциала и ограничимся наиболее высокими степенями у. Для того чтобы для определения функции у получидось обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо выполнение условия (!6).
В осесимметричном случае мы будем иметь ()" — аа"а)У'"+(би — 4) и(г"' — (За — 2)а г" = О. (2) При заданном а решения этого уравнения могут быть найдены посредством численного интегрирования. Однако прежде чем перейти к решению уравнения (2), попытаемся получить общее представление о совокупности его решений. Это тем более необходимо потому, что уравнение (2) содержит нелинейный член, вследствие чего нельзя заранее выявить особенности его решения.
Соображения размерности показывают, что если умножить масштаб переменной на С, а масштаб функции у' на Сэ, то уравнение (2) перейдет само в себя, Это показывает, что при преобразовании поля течения на основе закона подобия в сочетании с изменением масштаба 364 ГЛ Х!. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ плоскости течения поле течения переходит само в себя. Следовательно, если функция т = л(".) представляет собой решение дифференциального уравнения (2), то функция у = Саа(".С) (3) также будет решением этого уравнения.
Если решение дифференциального уравнения обладает таким свойством, называемым групповым свойством, то порядок уравнения может быть понижен на единицу. Это понижение выполняется путем введения таких новых переменных, чтобы постоянная С выпала '). Итак, введем новые переменные з =Г~г", а г'С (4а) (4б) следовательно, — „„= — 2( 'У'+' '~"=. "'( — М+Г. '~"), — "' = — З~-'У+~-зУ =".-'р — 3 ). и'ь (5а) (5б) Отсюда мы найдем уп=. "~ — (т — Зг)+2~~, (6) 1) Постоянную С в равенстве (3) можно понимать как постоянную интегрирования, появляющуюся в результате решения уравнения (2). Так как после перехода к новым переменным зта постоянная интегрирования выпадает, го следует ожидать, что интегрирование преобразованного дифференциального уравнения даст иа одну постоянную интегрирования меньше, а зто означает, что в результате преобразования его порядок понизился иа единицу.
и уравнение (2) примет вид ЛГ 2тз+(Зп — 4) пт — (Зп --2)т а пз (и'-- Г) (à — Зз) Величина 1 вычисляется из уравнения (5б). Для чнслеьшого исследования рассматриваемой задачи уравнение (6) не представляет каких-либо преимушеств по сравнению с уравнением (2); наоборот, выражаемая им связь между переменными г и 1. с одной стороны, и интересуюшими нас физическими величинами, с другой стороны, менее ясна, чем в уравнении (2). Но зато уравнение (6), поскольку оно является уравнением первого порядка, позволяет получить простое представление о виде интегральных кривых. Эти кривые получа|отся в плоскости з, Г из поля направлений дифференциального уравнения (6). Для того чтобы охватить также бесконечность плоскости з, ~, спроектируем 6 т 365 эту плоскость на полусферу, причем центр проекций поместим в центре сферы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
