К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Олнако легко видеть, что свойства котангенса исключают возможность такого совпадения при вещественном положительном !». Следовательно, особенность никогда не может быть поглощена звуковой линией и никогда не может здесь самопроизвольно возникнуть. В предыдущих рассужлениях особенности на обеих сторонах характеристики имели в общем случае разные коэффициенты. Эти коэффициенты могут быть определены из поля течения. Для этого следует разложить ф по 1 — Р, например, вдоль линии т) = сопз!.
В соответствии со структурой найденных решений это разложение будет состоять из степенного ряда относительно 1 — 1а, соответствующего выражению !2а) и одинакового на обеих сторонах характеристики, и из другого степенного ряда, умноженного на 41 — са) '" на одной стороне характеристики и на (1а — 1)~Р— на 3 2 ОТРАЖЕНИЕ ОСОБЕННОСТИ ОТ ЗВУКОВОИ ЛИНИИ 347 другой стороне; для этОЙ части разложения т' коэффициенты на обеих сторонах характеристики могут быть различными. Они могут быть найдены из разложения ф вдоль заданной линии плоскости ть 8. Такой способ не приводит к цели, если !А представляет собой целое число или половину целого числа.
так как тогда на обеих сторонах характеристики получаются только степенные ряды относительно 1 — Р, причем некоторые члены этих рядов могут не совпадать друг с другом. Это дает возможность определить только разность коэффициентов тех решений, которые для других значений Й имеют особенности, но не значения самих коэффициентов. Здесь мы встречаемся с наиболее интересным случаем, а именно с распространением вдоль характеристики скачка кривизны линий тока илн производных высшего порядка, характеризующих форму линий тока. Так как третий аргумент в первом из гипергеометрических рядов, входящих, например, в формулу Ч!1, 417), теперь есть отрицательное целое число, то возможность представления решения посредством гипергеометрического ряда в рассматриваемом случае отпадает.
В решение входит второй гипергеометрический ряд, умноженный на !п11 — 1з). Если особенность, распространяющаяся в сторону звуковой линии, характеризуется лишь скачком в одной нз старших производных, но не содержит логарифмического члена, то решение при г(1 и при 1) 1 может быть представлено только с помощью выражений р)~чвчзр! ! +, 7 ь „!+2, ! 1з) причем коэффициенты этих выражений при ч ( 1 и при , ") 1 получаются различными.
Задана только разность этих коэффициентов. Решение все же будет полностью определенным, так как в плоскости течения решение вдоль отраженной характеристики должно смыкаться. Тогда вдоль отраженной характеристики появляются логарифмические члены, следовательно, при отражении возникает перемена характера особенности. Дальнейшие отражения не вносят никаких усложнений. Необходимым условием пригодности таких решений является отрицательный знак их функционального определителя во всем поле течения, включая и характеристику 1=1. Соотношения, выведенные в З 8 гл. Ч!1, дают критерий для знака функционального определителя.
При р '1з функциональный определитель вдоль характеристики ч = — 1 всегда положителен. Такие решения, взятые сами по себе, с физической точки зрения не представляют интереса. Наоборот, Они приобретают интерес, если на них наложить решение при р = "1„, т. е. ф = ть которое в нулевой точке регулярно и играет здесь преобладаю:цую роль по сравнению с решением, имеющим Особенность. 2 2 ОТРАЖЕНИЕ ОСОБЕННОСТИ ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ 349 Определив надлежащим образом постоянные Эа, г!1, па, ..., мы мо- жем представить Ь в следующем виде: Ь =- ба + 21, Д! + ...
+ Д„Д(«+ г(„маа + +12„1д!"+'+ д'„„.1Ы '"" + .. (5) Далее, применив формулу Ч!1, З(9), выразим координату х через д!. Введя новые постоянные х, ен е,, ..., е, ..., е', ..., мы получим х=хо+е,Да+ ... +е„Я'+е„Д(~2+ +е„агда +е„«1М ' + ... (6) Решив зто уравнение относительно йа, мы найдем при «) 1 М =дгдх+ ... +д дх«-+8'дхза+ прн «=О (7а) 1 1 «2 а (76) Равенство (7б) имеет место в том случае, если вблизи 1 = 1 преобладающую роль играет часть решения, обладающая особенностью.
Подставив значения М в уравнение (5), мы получим прн «) 1 Ь = — Ь +12' е',дх+ ... +(2(до'+ г!д)дха«+ ..., (8а) при «=О л«д 2«. о о Ь=Ь,+ —,— —,—.,( —,) + еа еа «, ео,/ (86) прн «=О 2«41 1 ла еа е1 2Р. 2 у =у +Ь х+ — — д~~ — — —,— — гьх 'в +- .... (96) 2 ео ео (еа) 2и+! Величина Ь есть наклон линии тока. Пусть у есть отклонение заданной линии тока от линии у=сопз1.
Тогда мы будем иметь — =Ь. Внеся у в уравнения (8а) и (86), мы получим при «) 1 2, 1.1 у=уо+Ьох+ 2 12181~ах + . +(1~«8,~+а'1Е~) 2 1, .(9а) ГЛ Х. НЕКОТОРЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ В общем случае р есть не целое число. Члены, содержащие Дхте+' и Дх ' показывают, как особенности, имеющиеся в плоскости годографа, влияют на форму линий тока. В области, в которой применимо уравнение (9а), при уменьшении 1А уменьшается также степень Дх, входящая в представление особенности. При р('1, следует пользоваться уравнением (9б); для него с уменьшением р степень выражения, представляющего особенность, увеличивается. При 1А = Чз степень в обоих уравнениях получается одинаковой, и мы имеем скачок в кривизне.
В этом исключительном случае вдоль отраженной характеристики получается, как было упомянуто выше, логарифмический член. Если мы перейдем теперь в плоскость течения, то увидим, что наиболее сильной особенностью, которая там может распространяться вдоль характеристики, является скачок кривизны; следовательно, наличие логарифмической особенности позволяет ожидать, что от звуковой линии отходит скачок уплотнения. Если заранее задать особенность на граничной линии тока, а тем самым и показатель решения с особенностью, то для представления решения в плоскости годографа получится два значения р.
Для того чтобы объяснить эту многозначность, вспомним, как производится построение сверхзвукового течения посредством метода характеристик (9 7 гл. 1). При таком построении вводятся две величины ) и р; величинз ), в рассматриваемом приближении, с точностью до множителя 1801я, равна При малых значениях Дс мы имеем 1,= — — ~1" Дс 2 или, после замены Де его значениями из равенств (7а) и (76), ),= — — фд,дх и соответственно 1 Дх В таком случае плотность волн Маха иа единицу длины линии тока равна Л1 1 Мх 2 о 71Ма. а 3 течение В сАЯОм узкОм попепечном сечении сОплА ллвлля 351 и соответственно ЛА 1 „г,~-па~ 1, Н-з,уз„ гГх 2 е 10) 2Н В непосредственной близости от характеристики, несущей особенность, первое выражение имеет конечное и не равное нулю значение, а в~орое равно нулю, так как в этом случае р г/з. Таким образом, мы пришли к следующему представлению о свойствах поля течения, В свое время мы выяснили, что в сверхзвуковой облзсти, находящейся внутри дозвуковой области, волны Маха, идущие к звуковой линии, представлшот собой волны разрежения, а волны Маха, идущие от звуковой линии, — волны уплотнения Стенка должна иметь такую кривизну, чтобы волны уплотнения, подходящие к ней от звуковой линии, превращались в волны разрежения.
рассмотрим теперь стенку, для которой направление касательной и кривизна хотя и изменяются непрерывно, но в некоторой точке все же имеют разрыв в старших производных. Ограничим этой стенкой различные поля течения, так что в окрестности особой точки плотность волн Маха, приходящих от звуковой линии, будет принимать различные значения. Если плотность подходящих волн сжатия не слишком велика, то плотность волн разрежения, исходящих от стенки, будет отлична от нуля и получится решение, соответствующее значению [А) '/з. Если же плотность подходящих от звуковой линии волн уплотнения велика и притом настолько, что в особой точке плотность отходящих от нее волн разрежения равна нулю, то в этом случае получится решение, соответствующее значению [А('(з.
Наконец, если плотность подходящих волн Маха станет еще больше, то от стенки будут отражаться волны сжатия. Эти волны еше до достижения звуковой линии сливаются и образую~ скачок уплотнения, вследствие чего вблизи звуковой линии решение описанного здесь типа становится невозможным. Как было упомянуто выше, образование предельной линии, а вместе с нею и скачка уплотнения вследствие отражения от звуковой линни возможно уже при особенностях, для которых р ( '~з.
ф 3. Течение в самом узком поперечном сечении сопла Лаваля В 2 2 гл. !Ч мы уже познакомились с течением в самом уаком сечении сопла Лаваля. Там разлозгение скорости вдоль оси сопла начиналось с члена, линейного относительно х. Возникает вопрос, обоснован ли физически такой выбор распределения скорости г) [Гудерлей [3[, см. Лиг.
1). Ограничимся рассмотрением сопел. г) Этот вопрос был поставлен Толмнном. 352 ГЛ Х НЕКОТОРЫЕ ИССЛЕДОВАНИЕ Оимметричных относительно оси к. Тогда функция тока будет антисимметрична относительно Ь = 0 (1 = — со), и член наинизшего порядка относительно р будет представлен в плоскости годографа функцией ф=р-"и"'О" 1а, р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
