К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 66
Текст из файла (страница 66)
11(11). выведенного в 9 11 гл. Ч в связи с рассмотрением краевой задачи второго рода. Задать вдоль линии р = ро произвольно и значение ф н значение фр нельзя. Правда, можно было бы предположить, что решение имеет внд ф= ~и (аьр и~и)ь "ь+Ьлр ЕА) ь) бь(1) Л-1 и затем фоРмально вычислить коэффициенты ал и еал. Однако частные решения - ад-~ ь Р Р и с, 10а.
Красава палаев вля уравиеиия Тривоии при сверлввуковоа скоросаи (па Гулерлею 1З)). ф=у'16) ф)=Ув(1) и, кроме того, вдоль линий 1=с, и (=с задано либо значение ф = О, либо значение фа = О. Й здесь мы приходим к классической задаче на собственные значения для функций (л, образующих полную ортогональную систему.
Согласно сказанному в 9 9 гл. ЧП, теперь )е(1/11. Приняв, что решение имеет вид ф=р ч ~~~~~[пасов()у — Лв1пр)+Ьлз)п()у — Лл)цр)10 1,(1), (2) Л 1 мы используем полную систему частных решений, которые могут быть, составлены из собственных функций. Так как эти функции при приближении к нулевой точке стремятся к бесконечности и притом тем быстрее. чем больше ),л, поэтому указанный ряд будет сходиться только в том случае, если его коэффициенты достаточно быстро вл , е убывают. В общем случае этого нельзя со ожидать (см. стр.
34). Перейдем к гиперболической краевой ч ое задаче (О(с,(си к 1, рис. 108). Такая краевая задача считается поставленной корректно, если она допускает решение посредством метода характеристик. В расслаатриваемом случае такое решение возможно, если вдоль линии р = ро у заданы как ф, так и ф„т. е. а 4 исследоВАние специАльных кРАеэых ВАдлч 357 вдоль линии 5 = сопз1 представляют собой с точностью до множителя р-'Ач тригонометрические функции от 1пр, то трудности, связанные с обеспечением сходимости, теперь, в отличие от дозвуковой краевой задачи, не возникают. Коэффициенты аь и ЬА могут быть бев особого труда вычислены с помощью соотношений ортогональности. В решении (2) примечательным является присутствие множителя р-ч, входящего в каждое отдельное частное решение.
Это приводит к тому, что все частные решения в нулевой точке стремятся к бесконечности. Возникает вопрос, не происходит ли то же самое с полным решением. Для частного случая, когда сумма в уравнении (2) содержит только конечное число членов, это предположение подтверждается сразу, так как отдельные выражения в правой части уравнения (2) вследствие ортогональности не могут взаимно уничтожаться. В правильности сделанного предположения в более общих случаях можно убедиться следующим образом. Вдоль каждой линии р = сопз1 заданное решение ф может быть представлено в виде наложения собственных функций. Коэффициенты при этих функциях определяются с помощью соотношений ортогональности в виде интегралов, содергкаших значения ф вдоль рассматриваемой линии р = сопз1 и по одной из функций О. Если функция ф ограничена, а се с.
1, то эти интегРалы также огРаничены, следовательно, огРаничены и коэффициенты собственных функций. Ио уравнение (2), которое можно рассматривать как разложение функции ф по О вдоль любой линии р = сопв1, показывает, что коэффициенты при О в окрестности р = 0 не ограничены. Отсюда следует, что первоначальное предположение об ограниченности функции ф вблизи нулевой точки неверно. При этом доказательстве мы сделали предположение, что с меньше единицы. Случай с, = 1 является исключительным, поскольку для него при построении посредством метода характеристик было бы неправильным задавать граничное условие вдоль 1 = св = 1. Для более глубокого понимания предельного перехода са -+ 1 рассмотрим пример, изображенный на рис. 109. Пусть вдоль звуковой линии задано значение ф = 0; далее пусть ф задано вдоль характеристики АС.
Имея эти граничные значения, мы можем определить посредством метода характеристик решение в области АСО. Если граничные значения ф в точке С не имеют особенности, то решение в точке Е) так>хе не имеет особенности, так как точка С ничем не выделяется среди остальных точек характеристики АС. Примем теперь для простоты, что ф имеет в точке С значение, равное нулю. Тогда решение может быть получено также путем следующего расчета.
Выберем на звуковой линии (рис. 110) ниже точки 4'4 нулевую точку системы ть 0 и проведем через точку С линию 1=сопз1, а через точку А — линию р=сопзй Вдоль гл. х.нзкоторыи нсслздовдния линии ОСВ аададим для ф значение ф = О. В области АВС мы можем построить функцию, удовлетворяющую уравнению Трикоми и принимающую вдоль АС заданные аначения ф. а вдоль С — значение ф=О. Эта функция и ее проиаводная по р принимают вдоль АВ определенные зкачения.
которые обозначим через уд(1) и уд(с). Поступим теперь наоборот, а именно способом, указанным в предыдущем примере, построим решение, которое вдоль АВ дает значения ф=уд(1) и фр —— гд(1) и удовлетворяет вдоль АО и ОВ граничному условию ф =О. Такое решение, вследствие единственности решения рассматриваемой краевой задачи, совпадает в области АВС с решением, полученным выше посредством метода характеристик. Р.и с.
110. К попснеииев предельного переходе гв.п Ь Р и с. Гсз. К поеспенипв предельного переходе .ег -е Ь Следовательно, вдоль АС оно принимает первоначально заданные значения ф, а вдоль ."=О оно уловлетворяет первоначальному граничному условию ф = О. Таким образом, оно представляет собой в области АОС именно то решение, которое определяется условиями, заданными вдоль АО и АС. Это решение, безусловно, не равно тождественно нулю вдоль ВС, так как иначе, вследствие заданного вдоль АО граничного условия ф = О, оно было бы тождественно равно нулю зо всей области АСО. Ничего не изменится, если мы начнем приближать нулевую точку к точке О; в частности, решение в области АСО будет оставаться неизменным. В любом случае значение ф вблизи нулевой точки будет неограниченно возрастать.
Далее в треугольнике ОСО будет происходить уменьшение ф от его значений вдоль ОС до нулевого значения вдоль ОС. Наконец, когда нулевая точна совпадет с точкой О. произойдет скачкообразное изменение ф, которое можно толковать как потерянное решение Я 10 гл. 7). Таким образом, граничные значения, ааданные вдоль 1 = сд, не влияют в предельном случае с -+ 1 иа решение.
Действительный характер решения выясняется из преобразований. рассмотренных в й 13 гл, Ч!!. После всех этих подготовительных рассуждений мы можем при ступить к рассмотрению смешанной краевой задачи. Особенныр 3 4. ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 359 интерес представляет случай, когда в противоположность задаче Трикоми контур в сверхзвуковой области замкнут. Пусть в дозвуковой области контур задан линией р = сопз] = ра и линией = с, = — оо (рис. 111), а в сверхзвуковой области — линией 1 = с и одной из характеристик, проходящих через точку пересечения линии р = ра со звуковой линией. Пусть вдоль линий 1 = с, = — со н 1 = с, задано значение ф = О. Далее, пусть заданы значения ф) вдоль линии АВС. Рассуждения ]э остаются почти во всех В деталях такими же, как таааашараалаиаа для краевой задачи второго рода.
Однако формулировка нашей краевой задачи отли- л=а чается от формулировки задачи Трикоми, так как А теперь контур, ограничи- Р и е. 111, Сиешаанан нраеваа аалача )на Гуаервающий рассматриваемую леш 15] ). область, замкнут, в то время как в задаче Трикоми он обязательно разомкнут. Можно ожидать, что поставленная задача имеет решение только в том случае, если пренебречь некоторыми условиями, налагаемыми на решения Трикоми. Ниже мы увидим, что необходимо ввести допущение о существовэнии у решения некоторой особенности в одной из точек пересечения контура со звуковой линией.
Для того чтобы получить краевую задачу с контуром, состоящим только из линий 1 = сопз1 и р = сопэ1, продолжим линию р = ра в сверхзвуковую область до пересечения с линией с = с,. Примем, что в точке С функция ф равна нулю, а вдоль Сй зададим для нее значение ф= О.
Тогда таким же способом, как и в предыдущем примере, мы сумеем построить в области ВСО функцию ф по ее значениям, заданным вдоль характеристики ВС и вдоль линии СО. Граничное условие вдоль характеристики ВС можно заменить значениями ф и фр вдоль Во, получающимися при этом построении, и условием ф = О вдоль СВ. Допустим, что решение можно взять в виде -Ш а)+~~а ф = ~ аь ~ — ) ОА (с) + А-1 + )~,( р ) ~дьэ!п(3/ — л„1п р )+сьсоз~~ — лл1п р ЯО А(с). (3) А-1 Такое решение содержит в себе все частные решения, получающиеся для отрицательных собственных значений, и те частные решения для положительных собственных значений, которые в нулевой точке стремятся к нул)о. Если вообще существует такое решение гл х.некотовь>е исследовлния рассматриваемой краевой задачи, которое в нулевой точке приближается к бесконечности не быстрее, чем р-у, то на основании сказанного в й 10 гл.
И1 оно должно иметь именно вид (3). В самом деле, частные решения ( ~ ) ьсгь(!) и ~ ~ ) сов(~> — )л1п — ~ — )сг ь(1) при р= уз становятся равными Оь(!) и О ь(',); следовательно, для выполнения граничных условий, заданных для >!> при р=ра, мы располагаем полной ортогональной системой функций. С помощью соотношений ортогональности тг!1, 9(7а) можно найти явные выражения для коэффициентов аь и сь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
