К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Если С близко к елинице, то разность обоих решений представляет собой то возмущение начального поля течения, которое описывается уравнением (2). Для получения решения уравнения (2) следует продифференцировать разность решений (16) по С и затем положить С равным единице. Мы получим Ф у а — ~(3п — 2)У'+(1 — п)(Уэ). Сравнив это уравнение с уравнением (3) и положив и =2~И мы найдем 2 ч= — —, 7 ' 7~+7 (16б) В качестве второго решения возьмем ( (а+1) 'д(х+ С) ф = у — М)' у ' Выбор такого решения означает смещение особой точки вдоль оси х. Повторив такие же рассуждения, как и в предыдущем случае, и продифференцировав по С, мы получим б ч=- — —, д= — 7 ().
7' ') Хотя значение л =212 было найдено также путем численного расчета, но оно нолучено с такой точностью, что не остается никакого сомнения в возможности выразить его именно этой дробью Это обстоятельство наводит на предположение, что только что 'указанные значения 2 также являются точнымя н что существует общей закон распределения значений ч, соответствующих естественным частным решениям. Следующие два естественных частных решения получаются, согласно расчетам Гудерлея (4! (см.
лиг, 1), при ч= — эг' и 2= — '2! (таблица 1). Эти значения у найдены путем численного расчета и поэтому не обязательно должны быть точными значениями'). ГЛ Х! ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ 376 Таблица 7 Значения функции й' и ее производной при ч = — а/ч и ч = — ин! ч=-м5 л ( л' Решение, получающееся при ч = — га(т, представляет собой не только естественное частное решение, но — в пределах точности расчета — также первое частное решение, определяемое задачей на собственные значения ').
Соответствующее положительное собствен- !) Это обстоятельство весьма примечательно, так как оба вида частных решений могут совпадать друг с другом при отрицательных ч только прн значении, определяемом равенством (13). В плоской задаче такого совпадения не получается. 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 — 0,1 — 0,2 — 0,3 — 0,4 — 0,5 — 0,6 — 0,7 — 0,8 — 09 — 1,0 — 1,2 — 1,4 — 1,6 — 1,8 — 2,0 — 2,2 - — 2,4 1,0000 1,3973 1,6038 1,6519 1,5738 1,3990 1,1542 0,8634 0,5476 0,2252 — 0,0886 — 0,3815 — 1,6439 — 1,8692 — 1,0536 — 1,1955 — 1,2956 — 1,3567 — 1,3828 — 1,3789 — 1,3507 — 1,2459 — 1,1047 -- 0,9559 — 0,8164 — 0,6939 — 0,5899 — 0,5035 — 5,0624 — 2,9404 — 1,1887 1,2272 1,3352 2,1818 2,7347 3,0821 3,2328 3,2159 3,0606 2,7963 2,4519 2,0549 1,63 !5 1,2054 0,79724 0,42380 0,09733 — 0,17470 — 0,38945 — 0,65869 — 0,75307 — 0,75494 — 0,65987 — 0,56576 — 0,47335 — 0,39158 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 — 0,1 — 0,2 — 0,3 — 0,4 — 0,5 — 0,6 — 0,7 — 0,8 — 0,9 — 1,0 -- 1,2 — 1,4 — -1,6 — 1,8 — 2,0 — 2,2 — 2,4 0 — 0,1497 — 0,2165 — 0 2269 — О, 1957 — 0,1403 — 0,0727 0,0036 0,0597 0,1120 0,1505 О,!739 0,1827 0,1787 0,1642 0,1422 О 1!58 0,08775 0,06052 0,03592 0,01510 — 0,01380 — 0,02782 — 0,03147 — 0,02957 — 0,02505 — 0,02034 — 0,01618 0 0,00825 0,027!3 0,04930 0,07043 0,08722 0,09787 0,10169 0,09888 0,09029 0,07714 0,06095 0,04312 0,02595 0,00790 — 0,00742 — 0.02032 — 0,03030 — 0,03791 — 0,04273 — 0,04528 — 0 04554 — 0,04140 — 0,03549 — 0,02939 — 0,02393 — 0,01939 — - 0,01574 а 3 пРилОжения ЗТТ ное значение равно и = а/,.
График собственной функции 6 для этих значений ч изображен на рис. 115, Включив в уравнение (2) член Ф„„/у', мы сумеем распространить выполненное исслелование на общий пространственный случай. Указанный член войдет также в линеарнзованное уравнение, определяющее возмущение. Вместо допущения (3) о виде решения теперь следует взять допущение Ф =уд(:, и, т) сов та, (17) причем т обычно есть целое число'). Лля опрелеления функции й' мы получим дифференциальное уравнение (~' — печа) де+(~и+ 2ич — па ) д' — (ча — те) О'= О.
(18) Все остальные преобразования выполняются так же, как и выше. В частности, можно опять найти 1 ортогональную систему функций. С помощью полученной системы частных решений можно представить, по крайней мере О 1 в принципе, любые небольшие отклонения от решения, рассмо- -о5 тренного в прелыдущем параграфе, причем безразлично, возникают ли эти отклонения из-за -д5 -до -б5 -го -о5 о о5 со изменения формы тела или из-за установки тела под ненулевым р „, и , „„„„„ ., „„,„ О углом атаки. е= — '*/е иии ч='/, (ссесиммеегичиее сече- Конечно, ценность полученных решений ограничена тем, что они основаны на линеаризации в окрестности Фь. Вблизи обтекаемого тела такая линеаризация безусловно недопустима.
ф 3. Приложения Гудерлей и Йосихара 121 (см, лиг. 1) ввели частные решения, рассмотренные в предыдущем параграфе, прежде всего для того, чтобы таким путем рассчитать первый пример обтекания тела вращения при числе Маха, равном единице в бесконечности. Они наложили на решение Фз выражение Ф, соответствующее значению и затем определили форму тела, получающуюся в результате такого наложения. При этом они сделали лопущение, что линеаризация. выполненная лля уравнения (2), допустима даже вблизи тела. Конечно, было бы правильнее испольэовать такое представление течения только на большом расстоянии от обтекаемого тела, г) Решение задачи обтекания тела, ограниченного в направлении у, должно быть периодической функцией и с периодом 2и †Пр.
лед. 378 Гл х! осесимметгичные твчения в области же, в которой линеаризация недопустима, определять поле течения путем аналитического продолжения на основе применения полного дифференциального уравнения П, 8(2). Однако до настоящего времени такого рода расчеты не проведены. Частные решения, выведенные в предыдущем параграфе, дают возможность исследовать осесимметричные поля течения с числом Маха, мало отличающимся от единицы в бесконечности (Гудерлей [51, см. лит.
1). Путь исследования примерно такой же, как и в случае плоского течения. Однако нелинейность дифференциального уравнения влечет за собой некоторое усложнение выводов. Возьмем за основу течение с числом Маха, равным единице. Необходимо допустить, что изменение граничных условий, наложенных на большом расстоянии от обтекаемого тела, влечет за собой лишь небольшое изменение поля течения вблизи тела даже в том случае, если вблизи места возникновения возмущений получаются большие изменения. При таком допущении изменения вблизи тела могут быть учтены путем линеаризации.
В применении к телу вращения, находящемуся в блокированной аэродинамической трубе, сказанное означает, что лияеаризация поля течения с числом Маха, равным единице, допустима вблизи тела, но недопустима вблизи стенок. При увеличении ширины трубы область, в которой допустима линеаризация, становится больше. Область, в которой применяется линеаризация, нуждается в дальнейшем разграничении. Вблизи тела исходное течение довольно сложно и, конечно, не может быть описано одной только функцией Фв(х, у). Однако на большом расстоянии от тела, но все еше в области, в которой при надлежащих условиях допустима линеаризация, выражение Фв дает хорошее представление исходного течения. Там для представления возмущенного поля течения может быть использована система частных решений, найденная в предыдущем параграфе. Составим в области, допускающей линеаризацню, частные решения, оставляющие форму тела неизменной.
Такие частные решения па большом расстоянии от тела, безусловно, не могут быть малыми по сравнению с решением Фз(х, у), так как в противном случае наложение решений можно было бы распространить до бесконечности, и тогда течение с числом Маха, равным единице, было бы не единственным. Поэтому среди частных решений, оставляющих форму тела неизменной, должно содержаться по крайней мере одно из частных решений Х1, 2(3) с положительными показателями. Следовательно, в области, в которой возможно представление течения посредством такого частного решения, решения, оставляющие форму тела неизменной, имеют в принципе вид Ф = у" ад ('., ть) + зь.
(1) Здесь т„есть положительное значение ч, соответствуюцгее собственному значению ),ь, а уь есть решение линеаризованного уравнения, 63 ПРИЛОЖЕНИЯ имеющее в бесконечности порядок, не превышающий порядка величины Ф, т. е, 0(у-М). Изменение поля течения, вызванное граничными условиями, наложенными на большом расстоянии от тела, учитывается путем наложения выражений вида (1). Чем меньше возмущение, возникающее на большом расстоянии от тела, т. е.
чем меньше отклонение рассматриваемого течения от течения с числом Маха, равным единице, тем меньше коэффициенты, па которые надо умножить выражения вида (1) при их наложении на решение Фе; но зато тем больше становится расстояние от тела, на котором отклонения рассматриваемого течения от течения с числом Маха, равным единице, могут быть представлены путем наложения выражений (1). На большом расстоянии от тела преобладающую роль в выражениях (1) играют их первые члены; следовательно, течение в целом, т. е. включая Фщ может быть представлено потенциалом Ф = Фо+.~~ пг у""К ("- чь).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
