К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 72
Текст из файла (страница 72)
В диаграмме г,б (рис. 112). имеется два продолжения интегральной кривой, проходящей через точку С, а именно СО и СА. Оба продолжения физически возможны и оба они ведут к положительной оси х. Как показывают более точные расчеты, кривая СА подходит к точке А таким образом, что вдоль положительной оси получается распределение источников.
Следовательно, это решение соответствует полутелу, простирающемуся в бесконечность и обладающему такой кривизной (выпуклостью). ГЛ Х1. ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ что волны, подходящие к нему от звуковой линии, после отрзжепия ие образуют скачка уплотнения. Решение, соответствующее кривой СО, представляет собой аиалитическое продолжение того решения, которое имеет место вверх по течению относительно предельной характеристики. Можно было бы предполо>кить, что это и есть правильное решение. В самом деле, предельная характеристика выделяется среди других характеристик только своим поведением в бесконечности, ио ие внутри поля течения, и поэтому было бы неожиданным, если бы на предельной характеристике менялся характер решения.
Однако и это решение пе удовлетворяет условию, которое должно быть выполнено иа поло>кительной оси х, а именно условию, что здесь составляющзя скорости в направлении оси у обращается в нуль. Наоборот, в точке лу обе составляющие скорости (и з направлении х и в иаправлеиии у) стремятся к бесконечности, так так алесь ". становится бесконечно большим.
Для того чтобы в этом убедиться, требуется несколько более подробиое исследование. гу у г Р и с. 11>. Диаграмма и, 1 и опрелеление положении сиэчиэ уплотнения ллн осесимметричнаго течения ори М=! (по Беришу и Гулерлемю Так как интегральная кривая СО лежит выше линии э =ла, то в этой части течения может возникнуть скачок уплотнения, распространяющийся вдоль линии ' = сопз1. Вдоль оси х ниже по течению относительно скачка уплотнения составляющая скорости в иаправлеиии у должиа быть равна нулю. Это условие требует, чтобы соответствующая интегральная кривая определялась в точке А уравиеиием Х1, 1(12а). Следовательно, полю течения после скачка уплотнения соответствует заранее определенная кривая в диаграмме з, г.
Состояние до скачка уплотнения определяется кривой С1у. Зеркально отразив эту кривую относительно линии у = иа, мы получим геометрическое место состояний, возможных после скачка уплотнения. Точка пересечеиия этой кривой с СА дает положение скачка уплотиеиия. На рис. 117 такое построение выполнено для осесимметричиого случая. 65 ПРИЛОЖЕНИЯ 385 Таким образом, в том месте, где возникает скачок уплотнения, следует сомкнуть два поля течения, каждое из которых получается в результате отдельного расчета.
При таком смыкании постоянная С, входящая в формулу Х1, 1 13), должна быть определена для одного из полей так, чтобы для обоих полей в том месте, где возникает скачок, получились одинаковые значения .. Д.чя определения формы линии тока, т. е. отклонения линии тока от линии у = — сопз1, необходимо проинтегрировать наклон линии тока вдоль линии у =- сопз1 =у,, следовательно, необходимо вычислить интеграл у — ~ 9(уо, х)г1х. Однако проше воспользоваться уравнением неразрывности так, как мь| это сделали в й 8 гл.
П. Остановимся сначала на случае плоского течения. Рассмотрим для произвольной области такого течения равенство ~ [ — (х+ 1) ФмФ„„+ Ф )г1х г1у = О и выразим интеграл по поверхности через криволинейный интеграл. Мы получим Ф~~ — (к+ 1) — ду — Фв с~х = О, причем интегрирование следует выполнить вдоль контура в направлении, обратном направлению движения часовой стрелки. Если мы выберем в качестве границы рассматриваемой области линии у = О, у = у, х =-- — ОО и г = — сопз1 = бо, то после упрошений найдем У= ~ Фаях=~ ) [к, Ф*+Фв — ~г1У) 1о Применив уравнение Х1, 1 (1) и приняв и =о~о, мы получим у=у,"( + 1)" у, причем у = — у' + — ч ( у — - 2".
у') . Для осесимметричной задачи аналогичным образом мы найдем у уо (х+ 1) у* 386 ГЛ. Х! ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ причем у = — 7' — — ч У.+ 2:У'). 7,1 4 Результаты расчета по этим формулам даны в таблицах 2 и 3 и изображены в виде графиков на рис. 118 и 119. В обеих таблицах -,у -г -у су у г г Ф г Р и с. 118. Функнии б ут и у для илоското течения (по Беришу и Гудерлею).
-1 -г -г -1 г 1 г г С Р и с. !19. Функции у, ул и у для осесимметричиото течения (иа Бернау и Гудерлею). обращают на себя внимание некруглые значения координаты ч ниже по течению относительно скачка уплотнения. Причина заключается в том, что эти значения " были определены только после того, как были выполнены условия на скачке. Примечательным, но отнюдь не неожиданным является следующее явление: в плоском случзе при неограниченном увеличении у Таблица 2 Значения функции у(к) и ее производной для осесимметричного течения выше и ниже по течению относительно скачка уплотнения Таблица 3 Значения функции,К(~) и ее производной для плоского течения выше и ниже по течению относительно скачка уплотненкя Скечок уп»о»пеняя 2,24 2,274 '2,366 2,554 2,774 3,113 3,795 — 0,712 — 0,710 — 0,691 — 0,669 — 0,641 — 0,605 — 0,547 0,1528 0,1516 0,1390 0,1253 0,1099 0,0916 0,06!5 Скачок уп»отненн» 1,361 0,933 0,732 2,03 3,1 67 4,749 4,208 5,504 6,802 — 2,4 — 2,2 — 2,0 — 1,8 — 1,6 — 1,4 — 1,2 — 1,0 — 0,8 — О,б — 0,4 — 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,24 — 1,261 — 1,314 — 1,373 — 1,439 — 1,514 — 1,588 — 1,693 — 1,797 — 1,911 — 2,033 — 2,159 — 2,283 — 2,401 — 2,505 — 2,587 — 2,639 — 2,650 — 2,613 — 2,517 — 2,352 — 2,109 — 1,777 — 1,346 — 0,849 — 0,7!2 — 0,2493 — 0,2785 — 0,3!26 — 0 3519 — 0,3965 — 0,4457 — 0,4975 — 0,5480 — 0,5917 — 0,6218 — 0,6311 — 0,6128 — 0,5612 — 0,4715 — 0,3403 — 0,1648 0,0570 0,3265 0,6451 1,016 1,435 1,906 2,428 3,001 3,119 — 3,4 — 3,2 — 3,0 — 2,8 — 2,6 — 2,4 — 2,2 — 2,0 — 1,8 — 1,6 — 1,4 — 1,2 — 1,0 — 0,8 — 0,6 — 0,4 — 0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,03 5,531 5,373 5,211 5,044 4,873 4,696 4,5!5 4,328 4,136 3,939 3,736 3,529 3,3!9 3,108 2,899 2,697 2,507 2,336 2,194 2,091 2,038 2,048 2,133 2,308 2,587 2,958 3,516 4,196 4,208 — 0,7801 — 0,8002 — 0,8216 — 0,8442 — 0,8681 — 0,8933 — 0,9195 — 0,9465 — 0,9736 — 0,9999 — 1,0238 — 1,0430 — 1,0540 — 1,0524 — 1,0322 — 0,9866 — 0,9079 — 0,7886 — 0,6214 — 0,3999 — 0,1886 0,2269 0,6400 1,122 1,678 2,308 3,013 3,795 3,807 388 ГЛ Х! ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ деформация линий тока не стремится к нулю, в осесимметричном же случае она, наоборот, стремится к нулю.
Укажем еще на одно применение приведенных соображений. Если тело обтекается с большой дозвуковой скоростью, то возникает местная сверхзвуковая зона, часто заканчивающаяся скачком звуксвая ливия сверхзвука аеласт эвчкавая Лйкия — ' валк сжат свеахэву аелас тачка сли с~очка улла и эеукаваб л .характери- стика ел ач улла п> скачак у>>аппп екия Р и с, 1ЗО Гипотетическая кар. типа слияния скачка упло>пения и звуковой линии.
Решение тзкого вила не улается найти. Р и с. 121. Возможная картина повеления скачка уплотнения «близи евуковоа линии. Скачок уплотнения начинается в сверхзвуковов области в результате слив >ия воли уплотнения. Попытка полмскать по- лобного рола пример, лопускзюшип аналвтическия расчет, ло сих пор ке предпринималась. уплот~~~и~. Меж~о предполагать, что этот скачок начинается на внуковой линии, в связи с чем возникает вопрос: можно ли применять решения указанного здесь вида к окрестности точки, в которой начинается скачок уплотнения (рис. 120)? Единственным допущением, лежащим в основе этих решений, явлнется следующее: в окрестности точки звуковой линии, в которой начинается скачок уплотнения, потенциал изменяется †п перемещении вдоль некоторой обобщенной параболы — в первом приближении пропорционально некоторой степени расстояния от только что указанной точки.
Исследование, выполненное Вальтером Людвигом путем построения годографа, показало, что на поставленный вопрос следует ответить отрицательно '). По-видимому, поле течения в окрестности подобного рода точки значительно сложнее. Возможная структура этой час~и поля течения показана на рис. 121. Конечно, было бь> желательно выполнить аналитическое исследование какого-нибудь подходящего примера '). ') Поскольку результат получился отрицательным, работа Людвига не была опубликована.
е) По этому вопросу см. работы Ф. И. Франкля(Прикл. машем. и мех, т. 19, вып. 4, 1955 и т. 21, вып. 1, 1957) и И. Бийбосунова (Прпкл, малтем. и мех., т. 22, вып., 3,!958) — Прим. рет> З з, описании ползи ткчкния пни м, влизком к вдиницн Зяч ф 6. Описание полей течения при М , близком к единице Результаты, изложенные в предыдущем параграфе, позволили прийти к более точному представлению поля течения при числе Маха, равном в бесконечности единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
