К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Очевидно. что функция ф в нулевой точке должна быть конечной, т. е. должно быть р > '!,з. Поведение такого решения вдоль оси х определятся уравнением 1= сопз! . (Ьх)'Л""ЕР1. Решение вдоль характеристики с = 1 определяется формулой Ч!1, 4 (17). Применение критерия Ч!1, 8(бг) показывает, что при р > Чз решения невозможны. При !ь=~(, получается решение, с которым мы в свое время познакомились. При р('/з решения также возможны. однако для них волны Маха, достигающие звуковой линии иа оси сопла, являются носителями особенности в одной из старших производных. Эти результаты могут быть объяснены следующим образом. При !а>г7, давление вдоль оси сопла падало бы быстрее, чем по линейному закону, т.
е. в точке пересечения оси сопла со звуковой ллнней распределение скоростей имело бы вертикальную касательную. Для того чтобы вызвать такое падение давления, необходимо Обеспечить очень сильное расширение течения. Само по себе искривление стенок, каким бы сильным оно не было, для этого недостаточно. Единственной возможностью было бы образование расходящихся волн расширения внутри самого течения, В расчете образование таких волн выражается появлением предельной линии. О подобном толковании предельной линии уже было сказано в 2 3 гл. Ч. Конечно, такие поля течения физически невозможны. Наоборот, если падение давления вдоль оси сопла происходило бы медленнее, чем по линейному закону, т. е.
если бы в точке пересечения оси сопла со звуковой линией распределение скоростей имело горизонтальную касательную, то плотность волн расширения, идущих к звуковой линии, по мере приближения к предельной характеристике должна была бы стремиться к нулю.
Для обеспечения такой возможности необходимо было бы придать стенкам сопла специальную форму. Таким образом, линейное изменение давления вблизи предельной характеристики является единственным распределением, которое устанавливается само собой, без каких-либо искуссгвеиных приемов. Конечно, на частные решения фд, получающиеся, на основании сказанного, как бы естественным путем, могут быть наложены частные РешениЯ Ч!ч,,!ьз. В том слУчае, когда вдоль пРедельной (чй-ь !л!з1 характеристики не распространяются никакие особенности, такое наложение приводит, в соответствии с изложенным в й 13 гл. Ч!!. $4 ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕЦИАЛЬНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Зба к полному представлению решения в плоскости годографа вблизи нулевой точки.
Для учета особенностей следует использовать дальнейшие частные решения фш1. Если расчет сопла Лаваля выполняется в плоскости течения на основе полного уравнения для потенциала (например, посредством его разложения в ряд), то обычно начинают с линейного распределения скоростей вдоль оси. В результате получается решение для поля течения, соответствующее решению фд в плоскости годографа. При таком расчете выясняется, что другие параметры, а именно коэффициенты разложения скорости вдоль оси в ряд Тэйлора, допускают свободу выбора. Аналогами этих параметров в плоскости годографа являются коэффициенты частных решений фб „, От( А1э(ь>з1 сюда становится понятным, как в плоскости течения должно производиться выполнение других граничных условий, заданных выше по течению относительно самого узкого поперечного сечения сопла.
Далее становится понятным, что разложение потенциала в ряд, получаемое на основе предположения о линейном изменении скорости вдоль оси сопла, приводит к решению, действительно пригодному вблизи самого узкого поперечного сечения. В приведенных рассуждениях мы намеренно не касались области, расположенной вниз по течению относительно предельной характеристики, так как там расчет течения выполняется автоматически посредством метода характеристик, Конечно, для выполнения этого расчета необходимо знать контур сопла ниже по течению.
Если этот контур является аналитическим продолжением части контура, расположенной вверх по течению относительно предельной характеристики, то в плоскости годографз можно просто использовать продолжение чзстных решений фе „ по другую сторону предельной характеристики 4 = 1. Тогда, вследствие свойств частных решений ф, 1 „„, мы автоматически получим ожидаемое трехкратное 4 >1э1А>41 перекрытие плоскости годографа. Исследования подобного рода могут быть выполнены также для других особенностей, возникающих на звуковой линии. Напомним хотя бы о точках В и С на рис. 48. ф 4. Исследование специальных краевых задач для уравнения Трикоми Общая теория краевых задач для уравнения Трикоми разработана пока еще не в такой мере, как это было бы желательно с точки зрения приложений.
Однако специальные краевые задачи допускают исследование путем использования частных решений. Этим же путем можно исследовать условия разрешимости, а также свойства решений таких задач (Гудерлей 151, см. лит. 1). Конечно, такого рода 23 Зек. З34 К Г. Гулерлеа гл. х.изкоторыв исследования 354 9у 5в)ч фу+ оч лая фе и уе(1 се) 7а Р + д (1) а% (1 — Р)ад ] где через аое обозначена правая часть уравнения Ч, 11(12). [Левая часть уравнения (1) получается из уравнения И1, З(ба) путем такого же интегрирования, какое было выполнено при выводе уравнения Ч, 11 (! 1)]. Согласно уравнению (1), граничные условия второго рода пред- писывают значение фа вдоль линии 5 = сопз1 и значение ф вдоль линии р = сопз1.
Граничные значения вдоль линий с = с, и с = сз могут не быть равны нулю, и л Ф" это не внесет никаких принци- р-сопяе пиальных затруднений. Однако здесь для простоты мы будем А а': с принимать эти значения всегда равными нулю, Э=па Если с, и га лежат в дозвуковой области (с, ( с, < О, о рис. 107), то получается чисто у эллиптическая краевая задача. В зависимости от того, ааданы ли на линиях 1 = с, и с = се граничные условия первого или второго рода, там принимают либо 0 = О, либо 0' = О.
Следовательно, определение системы функции 0 приводится к задаче на собственные значения. Так как в рассматри- ваемом случае знак коэффициента цри 0 в уравнении 1/П, 3(бб) всегда отрицателен, то получаются только положительные собствен- ные значения рв. Вдоль линии р =сопз1. образуюшей часть границы области, можно задать либо значения ф, либо значения ф,. Пусть на линии р =ро либо Р и с. 707. Краевая веласа лая уравиеииа Трикони при лоавуковои скорости 1по Гулерлею 151 ). ф=,7а(с), метод не может заменить доказательств сушествовання решений и нх единственности. Области, для которых с успехом могут быть использованы рассмотренные в предыдуших главах частные решения, имеют границы, образованные линиями " = сопз1 и р = сопзй В частности, эти области могут иметь вид треугольников, ограниченных одной линией р = сопз1 =ро и двумя линиями 5 = совз1 = с, и с = сопз1 = с,. Граничные условия могут быть либо условиями первого, либо условиями второго рода.
Граничные условия первого рода предписывают вдоль контура значения ф. Преобразовав граничные условия второго рода ]уравнение Ч, 11(12)] к переменным р и 5, мы получим % 4 исследовании специальных ивлевых 355 либо Ф, =Л(1). Использовав обозначения 9 9 гл. Ч!1, мы можем представить решение в следующем виде: ОЭ ф = .'5', аьр-(чы+т'лл0 (1) л-г Граничные условия вдоль линии р=рз дают либо ~~~~ аьра 1ч 1" 'ьба(1) у (г) ь1 либо ~~~>лл( — 12+У)ь)Р, '"' "0л(1)=Л(1) к-г Применим к этим равенствам соотношения ортогональности ЧИ, 9(7а) и Ч11, 9 (8), которые остаются верными также после замены нижнего предела интеграла на с, вместо — оо.
Мы получим е, ..=[1 ',, лба„д,л~1с„„-«"".] ', е, Функции 0ь будут, конечно, различными в зависимости от того, какие граничные условия заданы вдоль линий (=с, и 1=се. Если вдоль этих линий задано граничное условие Н0(г11 = О, то одним из собственных значений будет р' ),= '~,а и соответствующей собственной функцией будет 0=1. Соответствующими частными решениями будут ф = 1 ф — р-'/<, Если вдоль линии р = рз задано значение ф, то никаких трудностей не возникает. Напротив, если задано значение ф . то частное решеиие ф = 1, регулярное в нулевой точке, не дает никакого вклада в значение ф, Следовательно, в этом случае для выполнения условий, заданных вдоль линии р = йм имеется уже не вся ортогональная система функций в не достает функции 0 = 1. В связи с этиаг граничные условия второго рода могут быть выполнены только 356 ГЛ Х НЕКОТОРЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ в том случае, если соблюдается равенство св ~'У,(1) ',, )1=0. с, Это равенство представляет собой другую форму условия Ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
