К.Г. Гудерлей - Теория околозвуковых течений (1161632), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Йосихара [3[ (см. лиг. 1) рассмотрел также пример течения с большой дозвуковой скоростью. Далее, Винченти, Вагонер и Фишер (см. лиг. 1) исследовали течение около пластинки, поставленной под углом атаки, при числе Маха, равном единице, использовав для этого точное уравнение годографа. Такое исследование позволило выяснить влияние неточностей, возникающих вследствие применения уравнения Трикоми вместо точного уравнения годографа.
Результаты показаны на рис. 30. Можно предполагать, что обтекание крыльев с большим относительным размахом допустимо рассматривать приближенно как плоское течение В работе Гудерлея [15[ (см. лиг. 1) исследован вопрос, как распределение давления в сечении крыла прибли>кается с увеличением относительного размаха к распределению давления в плоском течении. Исследование показало, что отклонения от распределения давления в плоском течении пропорциональны относительному размаху в степени — 1,2.
Эти отклонения можно рассматривать как сумму отклонений, вызванных изменением числа Маха, изменением давления и — для наклоненной пластинки — изменением угла атаки. Вследствие недостатка места мы не будем останавливаться на подробностях этого исследования. Глава Х НЕКОТОРЪ|Е ИССЛЕДОВАНИЯ, ИСПОЛЪЗУЮ|ЦИЕ ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ ВИДА ЧП> 3(З) ф 1.
Решение в невырожденной точке звуковой лннии в плоскости годографа Частные решения вида ЧП, 3(3) иногда могут быть с успехом использованы для исследования специальных задач, например для выяснения аналитических свойств смешанных до- и сверхзвуковых течений в конкретных частных случаях. Такая возможность представляет значительный интерес, так как не всегда имеется математическая теория, позволяющая дать прямой ответ на интересующий вопрос. Эту главу мы посвятим такого рода исследованиям. Начнем с рассмотрения решения в плоскости годографа для иевырожденной точки звуковой линии. К невырожденной точке звуковой линии предъявляются следующие требования; в ее окрестности плоскость годографа не должна быть многократно перекрыта, а вдоль характеристики, подходящей к этой точке, не должны распространяться особенности. Выясним, в каком виде получается разложение решения в плоскости годографа вблизи невырожденной точки.
Пусть рассматриваемая невырожденная точка является нулевой точкой плоскости т|, 6. В 9 9 гл. ЧП мы поставили задачу отыскания таких частных решений, которые вдоль характеристик, проходящих через нулевую точку, не имеют никаких особенностей. В результате мы пришли к естественным частным решениям Еюз(А=0,1, ...). Из ннх решения Чь, и ЧР, „, представляют собой полиномы относительно т| и 3 (си. стр. 210), Конечно, эти решения допускают гладкое продолжение в область, лежащую на рис. 69 между характеристиками ЕО и НО.
В то же время эти решения являются единственными частными решениями, для которых такая возможность существует. В этом нетрудно убедиться на основании следующих соображений. Выражения ф„а либо симметричны, либо антисимметричны относительно оси т). То же самое относится и к продолжениям этих выражений в область, лежащую между характеристиками АО и ОВ. От этих продолжений необходимо потребовать, чтобы вдоль характеристики 1 = 1 они совпадали с решениями ф (в отношении ыз значений самих функций). Вернувшись теперь к формулам ЧП, 4(7) н Ч11, 4(9), мы увидии, что решения, которые на положительной оси т) либо симметричны, либо антисимметричиы, для значений р = '~, + А/2 всегда получаются как наложение обоих частных решений, возможных вдоль 1 = 1. Но одно из этих решений всегда 344 ГЛ Х.
НЕКОТОРЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ имеет особенность. Согласно результатам, полученным в й 13 гл. И1, каждое решение в области, лежащей внутри кривой С' на рис. 69, может быть представлено в виде наложения выражений фа (й = О, 1, 2, ...), если только нулевая точка не является особой и если вдоль характеристик ВО и 00 не распространяются особенности. Дополнительное требование о том, чтобы в области между этими характеристиками решение смыкалось, но при этом вдоль характеристик не происходило распространения особенностей, исключает выражения фб ! „ , и в результате единственно возможными выражениями остаются фьз и фе Среди этих частных решений всегда должно иметься решение ф, а Все остальные решения, взятые сами по себе, отображают плоскость годографа более чем на один лист плоскости течения.
В самом деле, для них у при обходе нулевой точки становится равным нулю более одного раза. Вблизи нулевой точки преобладающую роль играет решение с наинизшей степенью р, следовательно, оно определяет здесь структуру поля течения. ф 2. Отражение особенности от звуковой линии Как известно, в сверхзвуковом течении особенности, имеющиеся в производных высшего порядка функции ф, распространяются вдоль характеристик. Выясним, что получается, если какая-либо иа таких характеристик достигает звуковой линии. Мы увидим, что особенность после достижения звуковой линии отражается от нее иногда по довольно сложному закону, но при этом сохраняет свой характер. Кроме того, никакая особенность не исчезает на звуковой линии.
Отсюда неизбежно вытекает, что звуковая линия ие может быть и местом возникновения особенностей (см. Гудерлей 131, лиг. 1). В предыдущем параграфе мы исследовали точки звуковой линии, в которых не возникают особенности. Нельзя ожидать, что появление особенности в точке звуковой линии должно повлечь за собой существенное изменение структуры плоскости годографа. Отсюда вытекает следующий вывод: в том случае, когда в точке звуковой линии допускается особенность, необходимо найти по-прежнему решение, один раз полностью покрывающее плоскость ть б в окрестности точки, в которой характеристика достигает звуковой линии.
Вдоль линии 1= 1 каждое решение О 1"„р) может быть представлено как наложение выражений г! ~з)(~н 'р! — р — — 1ь, 1 — 2)ь, 1 — са) (1а) Т!2 ' 12 (1 — 1з)елоэ'Р( — +р, — +р, 1+2р„1 — 1з). (1б) а 3 ОтРАжение ОсОБеннОсти От зВукОВой линии 345 Такое представление решений пригодно как при Рс. 1, так и при ! ) 1, если переменить знак множителя, стоящего перед гнпергеометрическими рядами. Тогда соответствующие частные решения ( — ч )-н О(4 булут состоять в основном из уже известных выражений ЧП, 9(1), а именно нз вырзжений (т ) ' р(1 !4) (2ау (5) (1 з)зз р(1 (з) (26)4 В каждой точке линии ! = 1, за исключением начала координат, первое. выражение регулярно, в то время как второе вследствие наличия множителя (1 — (4)~" имеет особенность (значения !4, равные целому числу или половине целого числа, сначала мы исключим нз рассмотрения).
Следовательно, распространение особенности опрелеляется| вырам<ением (26). Если р отрицательно, то второй множитель стремится к бесконечности, а исследуемая характеристика отображаетсж в бесконечность. Этот случай, конечно, не представляет интереса При положительном 14 вклад, вносимый выражением (26) в значения х н у, как нетрудно видеть из формул ЧП, 3(7) и ЧП, 3(8), равегя нулю. Для того чтобы в плоскости течения решение, получаемоедля области Е7)ГОН на рнс. 69, примыкало без разрывов к решению для области ЕОН, достаточно, чтобы рассматриваемые частные- решения совпадали в обеих областях только в отношении выражения (2а), коэффициенты же выражения (26) могут быть произвольными н прн .
"ч 1 и ! „Р 1 могут не совпадать. Для расчета отражения особенностей от звуковой линии воспользуемся возможностью разложения каждого решения на симметричную и антисимметричную части. Симметричные н антисимметричные решения для областей — со с,! ч" 1 и 1 ( ; "( со были указаньг в 9 4 гл. ЧП (формулы ЧП, 4(6) — УП, 4(17)!. Для отыскания выражений, определенных по всей области, необходимо тольке что указанные решения привести в совпадение при (=1. (Конечно,.
симметричные и антисимметричные частные решения следует рассматривать отдельно.) На основании сказанного выше лля такого совпадения достаточно, чтобы коэффициенты тех составляюши4с каждого решения, которые при $ = 1 регулярны, были одинаковыми в обеих областях. Тогда в области 1 ч. ч ч" .со решением, примыкаюшим к заданному при — со ( ! < 1 решению О('1, будет решение ЧП, 4(9), умноженное на 2з!п(п(!4+'/4)). В самом деле, после такого умножений Гт!. Х НЕКОТОРЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ коэффициент первого члена формулы Ч!1, 4 !9) совпадет с коэффициентом первого члена формулы тг!1, 4 !!уг).
Аналогичным образом, продолжением в области 1 ( с ( ОО решения Ой!, определенного при — со ( ! ( 1, будет решение Ч!1, 4(7), умноженное на 2 51п 1тг !!а+а/ч)!. Пусть коэффициент частного решения, имеющего особенность вдоль 5=1, равен а в области ! (1 и равен р в области с) 1. Отношением этих коэффициентов для антнсилгметричных частных решений будет !За) л для симметричных частных решений' ) — — — с!д ~к!!ь — — )~, !Зб) 1) Точнее говоря, выражение !За) будет справедливо в том случае когда особенность имеется только в антнснмметрнчном ренгеннн, а выра жение !Зб) — когда особенность имеется только в симметричном решенвн.— Лрим.
рад. Любой лругой случай может быть представлен в виде линейной комбинации только что указанных выражений. Ту характеристику, вдоль которой происходит приближение к звуковой линии в направлении, совпадающем с направлением течения, будем рассматривать как носителя особенности, движущейся к звуковой линии. Тогда другая характеристика будет носителем „отраженной" особенности. Можно было бы попытаться так подобрать особенность, приближающуюся к звуковой линии, чтобы отраженная особенность исчезла, Для тако~о исчезновения, очевидно, необходимо, чтобы составляющие симметричных и антисимметричных частных решений, имеющих особенности, взаимно уничтожались, или, другими словами, чтобы оба отношения (За) и !Зб) для симметричных и антисимметричных частных решений совпадали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
