А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Мы предполагаем, что процесс истечеиил будет одномерным. В частности, это означает, что граница гааа с вакуумом оудет оставатьсл плоскостью во все момеаты времени (ее координата х,(1)); кроме того, траектории всех частиц — прлмые, параллельные оси х.
Рассмотрим поведеаие газа в едиппчпок параллелепипеде хв ~ х <х,(1) (см. рис. 1.9, а, б, а также $1). Заметим, что хотя 3" 35 объем этого параллелепипеда ивменяется со временем, частицы газа не покидают его и не приходят иване, так что масса газа в параллелепипеде остается неизмепной. Обозначим ее через М. Проведем в начальный момент в параллелепипеде сечение некоторой плоскостью А, параллельной его основаниям.
Очевидно, все частицы газа, находившиеся в этом сечении в аачальный момент, будут двигаться одиааково и образовывать в любой момент 8~0 плоское сечение (его моя<но наавать вжидким сечением»). Эйлерова коордиаата этого сечения х*(1) иаменяется со временем в соответствии с законом движения частиц газа. Частицы среды, находившиеся в параллелепипеде левее жидкого сечения А, в процессе движения не могут окаааться прае< о ого, таи иак н противном случае в газе началось бы перемешнванве и нарушилась бы одномерность течения. Поэтому масса вещества, находящаяся в параллелепипеде слева от сечения А, в течение всего процесса будет оставаться постояаной и равной ее начальному количеству: Хя( () «л(0) »О= ~ Р(У ()1 !<1У = ) Р(У,О)1 1<(У.
(3,15) ХО ХО Произведение единиц вдесь, как и в Я 1, соответствует едаоичаой площади поперечного сечения параллелепипеда. В дальнейшем мы также опустим в формулах это произведение. Чтобь) при этом не возникло недоразумений с размерпостями, будем считать, что в задачах с плоской симметрией г выражает массу, приходящуюся на единицу площади поперечного сечения, н имеет раамераость г/сз<».
Рассмотрим общее выражеаие а- ) р(у 1)йу устанавливающее соответствие между величинами х и ю Когда х изменяется от хе до х„(1), а пробегает значения от 0 до М. Если в (ЗА6) вафиксировать верхний предел интегрирования х, то определенпая таким образом функция а(() будет выражать масоу, паходящуюся в одипичном параллелепипеде левее сечения х = сопзи Если же зафиксировать н (3.16) впачепве а(0 < а - М), то верхний предел будет фуапциой вромепи х(г), причем полученная аависимость соответствует траектории движения частиц, левее которых в единичном параллелепипеде заключена масса з. Итак, величина а обладает характерным свойством — для каждой частицы среды в рассматриваемом одномерном течении она имеет свое зпа)свпо, по изменяющееся в процессе д)ппкепия. Поэтому вели щпа а может быть выбрана в качестве переменной Лаграп)ка.
Учитывая, что а вмжт размерность массы, такую переменную называют лаеранжсеой массовой координатой. 36 Равенство (3.16) устанавливает взаимно одаоааачаую свяйр между лаграажевой массовой координатой и перемеиаыми Эйлера х, <. Очевидно, одаой такой связи недостаточно для того, чтобы выполнить замену переменных.
Необходимо еще определить вторую перемеааую Лагранжа — время. Это делается посредствоы равенства <л д (3.17) которое выран<ает тот факт, что в лаграая<евых и вйлеровых координатах время течет одиааково. <!тобы избен<ать путааицы, хг .г~ /У! хт 7 7! Х л<тлууг< х«'г! ху !<! х Рае.
<.9 в формулах етого параграфа мы будем помечать время в перемеааых Лаграаи<а буквой г с иадексом л; буквой г беа иадекса ебоааачается время в системе переменаых Эйлера. 4. Уравнения газодинамики в лаграижевых массовых яеремеииых, Формулы (3.16) и (3.17) реализуют переход от переменный Эйлера к лаграажевым массовым коордииатам, Преобраауем уравнения (3.14) в соответствии с атими формулами от перемеаиых Эйлера х, г к переменным Лагранжа г, 1,. Выведем предварительно соотношения для преобразования производных. Как и при всякой вамене переменных, имеем д д дл д д1л — = — — + —.
ас а. дг м„ас' д д дл д дгл — = — — + — †. (3.18) дл дл дл д1л дл Ив (3 17)' следует а нв (3 16)— д1л/д1 = 1, дЬ/дх = О, (3 19) дг/дх= р(х, й). (3.20) Несколько слои1нее вычисляется производная рл!Ок дФ .) дГ л,) ду (~ (л' дл ( др(у, О ( д "а лО = — [р(х, Х) и(х, Р) — р(х„1) у(хгд Р)).
(3.21) Здесь проиаводная др/дг ааменена с помощью уравнения неразрывности из (3 14). Так как в рассматоивасмой нами задаче левая граница неподвижна: и(хс, С) = О, то дг/дг= — р(х, г) г(х, 1). Если же левая граница движется по некоторому заданному закову хо=хе(1), то вместо (316) имеем г(х, /) = ~ р(у, У)с)у. х (о При вычислении дг/д1 в преобразовании, аналогичном (3.21), необходимо провести дифференцироваппс по переменному нижнему пределу интегрирования, В ревультатс вновь приходим к формуле (3.22).
Подставляя (3.19), (3.20) и (3.22) в (3.18), получим д д д д д — = — — рт —, — =р —. (3.23) а1 а1л ал ' дх дл Возвратимся к прежнему обоаначению для лаграпжевой производной по времени д/дг,=ЩИ и перепишем (3.23) и несколько иной форме: д а д д 1 а — =- — + Р— (3.24) ж д8 дл ' дл р дл ' Первая из формул (3.24) совпадает с определением субстациональпой производной, которое было получено в 5 1 для случая, когда лагранжевыми переменными являются координаты начального положения частицы.
Это можно было предвидеть заранее, если учесть, что функция г также характеризует начальное полон~епие частицы. Особенно наглядна зта связь между гиначальной координатой частицы хз в случае, когда исходная плотность газа постоянна; р(х, 0) = рз = сопзг, и хс = О. Действительно, лл для фиксированной частицы имеем х ~Ю г = ~ р (у, Г) ду = ~ р, Ну = р хэ.
К трем законам сохранения и уравнениям состояния здесь добавлено уравнение для нахождения траектории частицы х(~). Прямые производные по времени в (3.25) означают, что здесь дифференцирование ведется вдоль траектории частицы (субстацио- нальная производная). Однако с точки зрения лагранжевых пере- менных г и 7 = Ԅ— вто обычные частные производные по времени. Имея в виду сделанное замечание, в дальнейшем при записи уравнений газодинамики в лагранжевых массовых координатах мы будем испольэовать там, где это не вызовет недоразумений, частные производные по времени: д / 1 1 дэ аи др дэ ж ~ р ) дэ эг ээ ж д! э) д дп~ — (э + —,) = — — (рэ) — —, ж ~ Э/ дг дэ' р=р(р, Т), е=е(р, Т).
5. Особенности постановки задач газовой динамики в лаграпже- вых массовых переменных. Выпю мы подробно паэбирали особен- ности подхода .'(аграпжа к кзучсни|о движения газа, свойства лаграп;новых перси~ ппых. Гстсствшшо, возникает вопрос, в чем заключаютгэ нрснмугцсстпа переменных Лагранжа, когда опэ проявляются и в каких случаях ими следует польаоваться нв практике, Отметим прежде всего, что система уравнений газоди- намики для одномерного негтационарного случая в лагранжевых массовых координатах (3.25) выглядит более просто и компактно, 39 (3.25') Прсобраауем теперь уравнения (3.14) с помощью (3.24); прн этом будем считать, что все величины являются функциями л и б Рассмотрим для примера уравнения неразрывности: др д / йр ар ~ дэ с1~ з Ээ' — + — (рг)=..
— '+г — ' +р — =..— -+рз —, д~ е ( о8 ' дэ/ дх ж дг ='~- — "% й1=' Остальные уравнения преобравуются аналогично. Система уравнепий газовой динамики длн одномерного плоского нестационарного течения в лагранжеэых массовых координатах приобретает вид н /э ~ ди ~ь эр лэ — =У п(р) э.' лг ъ' ж дьг' — ~с + — ) === — —.
(ри) — —. лг (, г 7 ' аэ вэ ' '(3.25) р=р(р, Т), э=е(р, Т). иежели система (3,14). Однако главное состоит ве в этом. Целесообразвость использования массовых перемсваых Лаграажа определлетсл особенностями иаучаемого течевил газа. Для широкого круга явлений математическая формулировка задачи в лагранжевых массовых координатах окаэываетсл существенно проще, чем и перемеаных Эйлера. Свяаано это в освовном с постааовкой краевых условий. ?ф ээээ т хам) х д хсот?! л в Рвс.
?.?О Обратимся ваовь к описанной в и. 3 этого параграфа задаче об истечении газа в вакуум. Представим качественное поведение решевил как в перемеваых Эйлера, так и в лагранжевых массовых координатах. На рис. 1.10 укааавы распределеввл плотвости газа в координатах х и г аа три последовательных момевта времеви 0<?? < г?. Область определения переменной г (рис.
1.10,б) заранее известна (О < г<М) и ве иэмевлетсл со временем. В эйлеровых координатах правая граница области определевил решения х,(1) перемеваа (рис. 1.10, а), причем заков ее зависимости от времени подлежит определению в процессе самого решения вадачи. Поэто 40 му краевые условия, формулировка которых является неотъемле. мой частью постановки задачи, в переменных г выглядят так о(0, й)=0, р(М, г)=0. (3.26) В то же время в эйлеровых координатах имеем и (О, «) = О, р (л, (1), 1) = О. (3.27) Задание режима на границе, полон<ение которой определяется искомым решением, приводит при решении задачи к дополнительным трудностям. Поэтому разобранную задачу об истечении в вакуум и вообще одномерные задачи о течении конечной и неизменной во времени массы газа, удобно формулировать и решать в лагранжевых массовых переменных.
Отметим, что в лагранжевых массовых координатах удобно решать также задачи с контактными разрывами. Контактный разрыв есть образование, локалнэо- рве ванное но массо, т. е. связанное с фиксированными частицами среды (см. з 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
