А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Опо закл>очается в том, что формулы, по кшарым веда>си расчет, должны записываться адпнообразпо во всех узлах сетки, без явного выделения возможных «нерегулярностей» решения, ыапримор, точек разрыва. Свойство однородности существенно упрощает оргапизацию программы для реализации алгоритма па ЭВМ. Свойства того плп нного алгоритма для расчета задач газодинамики, как правило, трудно оцепить теоретически. 1!о»тому прн анализа качества сказ«ы, помимо различных априорных суждений, большу>о роль играют апостериорные псслодования. С>ода в первую очередь следует о>пасты опробовапш схем п алгорптмоп ыа специальных «точных» решениях — тестах.
Для этого проводится расчет некоторых упро>ценных вариаптов походной задачи, которые быть может пе дава полну>о физическую картину процесса, ыо;[опуска>от простое (напри>«ер, ана;>итпческое) решение. Сопоставление результатов расчетов с известными решениями позволяет судить о точности схемы, скорости сходпмости !3 н т. д. Поэтому построоипо точных тестовых решоний, в частности автомодельных, представляет собой ш обходимый элемент в общой программе конструирования численных алгорптмов. На практике, в зависимости от типа рассматриваемой задачи, от особенностей изучаемого процесса. используются различные формы записи системы уравноппй газовой динамики (стационарные пли шстациопарныо уравнения, одномерное и многомерное приближение, эйлеровы координаты илп поромонныо Лагранжа и т. д.).
В этой книге подробно описаны алгоритмы численного решения одиоморпых пестационаркых уравнении газовой динамики н магнитной гидродипамики в лаграпжовых массовых координатах. Однако многие принципы нестроения и решения разпостпых схем естественным образом обобщаются и для других задач математической физики. В главе У1 такое обобщение проведено для двумерных задач газовой динамики е лагранжевых перемеппьж. Следует отмотить, что для рассматриваемого класса одномерных постацпопариых задач газодинамнкп существуют и другие методы численного рошепия такпо, как, например, метод характористик, метод «распада разрьтвон», могол «крупных частиц» и т.
д. Их подробное описание можно найти в соотвотствугощих пу лнкапинх. Не стиви перед собой цель дать обзор всевозможных методов (подобный обзор можно ннбтп в главо 1П кшпн Б. Л. Рождественского и Н. Н. Яненко (78) ), мы ограни«пан нзложешго достаточно подробным и скет~ матнческнм описанием одного класса разпостпых схем, которые в течение длительного врем~ ни применялись для рошепня разнообразных задач газовой динамики и магпнтпон гидродикамккп.
Описываемые схемы прогплн чного:нтню»о проворку па практике н показали высокую надежность. В первой главе кппгн изложены кокоторые фнзнчоские и мат~мати нскпс основы газовой динамики в форме, удобной для вешки зевания в дальпо! главах. Однако эта глава по претепд1ет па полноту и, конечно, пс может заменить систематичесшш курс газодинамики. Поэтому у читателя предполагается спроделеппая степень знакомства с тсориой газодинамич< скнх течений.
Точно так же з 1 главы П, который посвннтоп описали»о основных понятий теории численных м1тодов. носит спраночпый характер. Детальное наложение затронутых здесь вопросов можно найти, например, в [78). Остальные параграфы второй главы носвнщены принципам .построении разпостпых охом радиационной газовой динамики, таким как консервативность, полная консервативность, однородность. Приведены примеры, подтворждающие эффективность этпх прпнцппов. Основным треоовапием, которому должна удовлотворять любая разностная схома, является свойство сходнмости, обеспечивающее близость разностного решения к репгению дпфференци- «4 альпой задачи. Схздпмость схемы вытекает из оо аппроксимации н устойчивости. А ~алпз устойчивости разностных схем газодинамики содержится в главе 111. Прц этом пспользузотся линейные модели уравнений газовой дппамнкп — уравнения акустики и уравнение перепаса.
В последпом параграфе главы 111 рассмотрены вопросы, сввзанныо с устойчивостьло разностпых схем для уравнения тецлопроводпостн. Содержание главы 1Ч состав:нпот методы ршнепия разцостных схем, продставлязозцнх собой системы алгебраическях уравнений. Неявные схемы решаются с помощью нтерацвовных могодов, Подробно рассмотрено применение метода Ньютона, который позволяет свести рвзвош кую схему к системе линейных «трехточечных» уравнений, ршпасмых с помощшо прогонки, Описан также метод раздольных прогонок. Его применение целесообразно в тех случаях, когда исходнан система урввпонвй газодинамики услоншека учстон дополнительных факторов, таян» как топлопроводность, злектромагннтные поля н т.
д. Следует отметить, что в главе 1У получены оценки сходнмости нторацпокпых процессов реп«ения уравнений газовой дннампкн, что янляется новым результатом. Описапныо в главах П вЂ” 1Ъ' методы построения и решения ра»костных схем газодинамики обобщщотся и главе 71 яв случай системы одноморных пестацпонврных уравнений магпнтной гндродннамики.
Изложены вопросы. связанные с решением уравпепкй алектромагннтпого поля для случая сильномепязощегося козффицнента злектропроводпости. Рассмотрен метод расчета »лсктротехпическцх цепей, которые являются важным элементом многих задач магннтвоп гидроднпамнки, В первом параграфе глаоы У1 рассмотрены некоторьн общие вопросы теории магннтогндродинамических течений и, в частности, отмечен ряд специ«1ягческих аффектов.
которые порождает учет в уравнениях газовой дипамикз~ злектромагпнтпого полн. В У11 главе рассмотрены двумерные уравнения газовой динамики в переменных Лагранжа. Построена разпостпая схема, обладающан свойством полной консервативности. Заключительный параграф главы посвящен краткому описанию варнацнонно-разпостного подхода и построению полностью консервативпых схем.
гллвд т Э1ЕМЕНТЫ ГЛЗОВОИ ДИНАМИКИ В этой главе изложены некоторые сведения по теории газодинамических течений. Объем и форма изложения продиктованы потребностнми последующих глав. В $$1 — 3 рассматриваются основные приближения математической модели газовой динамики, дастся представление о переменных Эйлера и Лагранжа, приводится различные формы записи системы уравнений газодинамики с теплопроводиостью.
В з 4 анализирутотсл лоноторые матеиатичеснло свойства системы одномерных пестациопарпых уравнений газодинамики, наказана ее гиперболичпость, рассмотрено линейное приближепие— акустика. $5 посвящен разрывным газодинамическим решениям — контактным разрывам и ударным волнам. В $6 изучается структура фронта ударной волны э диссипативной среде, обладающей вязкостью н теплопроводпостыо.
В 1 7 содержитсл решение классической задачи о равномерно движущемся поршне, где в зависимости ат направления движения поршня в газе вочиикает либо валка разрежении, либо ударизл волна. Здесь л;с рассмотрено автомодельпое решение задачи о поршне, движущемся ускоренно.
5 1. Математическая модель газовой динамики 1. Приближение сплошной среды. В газовой динамике изучается движение сжимаемых жидких и газообразных сред. Дчя теоретического анализа газодннатшческих явлений попользуется широко распространепиый прием — математическое моделирование. При этом вместо реального процесса рассматривается некоторый упрощенный, идеальный процесс — как говорлт, «модель лвлеиил»,— который выбирается так, чтобы оп, с одной стороны, отражал основные нзчсгтэсппые стороны лвления и, с другои стороны, допускал достато шо простое математическое описание. Ио мера углубления исследования строится новые модели, болео дотальио описывающие явление, Факторы, которые считаются второстепенными па данном этапе построения математической модели, отбрасываются.
Однако на следующих этапах исследования, по мере усложнения модели, онп могут быть включены в рассмотрение. В зависимости от цели исследования один и тот >ке фактор может являться основным или второстепенным. тэ Нринлтыс допущснил или, как говорит, приближении, оиргделлют рамки применимости модели. Только в этих рамках, вообще гонорл, будут справедливы все введонпыа попятил и все полученньн результаты. Обоснованном разумности и эфф<ктивнасти модели является ср»нкннне реаультнто». полученных с помощью этой модели, с шн »гриме»та:н,нымн д»нньмш. В основе газодинамнчсскнй мода;ш лежит фундаментальное предположение о «оплошности» среды. Как известно, л<обал среда дискретна — она состоит нз отдельных мннрочастиц (атаман, ма>скул, ионов, электронов и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
