А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 8
Текст из файла (страница 8)
1,8,а. :[О Вас» мотрим выражение ~ ((»1 — (ю»11) = и, (2.7)  — (д +(ил)»1» = ) ~ Г»/л»й», (".8) т ~1 р(г + ~, ) бх — (рт (» + —,; + ~ ) + И'~ »»» = = ) ) Гу»(хд! -ь ~ ~()Нхй. (2.9) Здесь I и И' — компоненты по х вектороа внешней силы и теп- лового потока. з 3. З»равнения гааовой динамики в дифференциальной форме 1. Дифференциальные уравнения в переменных Эйлера. Интегральные соотношения (2.1) — (2»Л) явля|отти папболсс обп[»»й формои уравнений газовой дпиампкп. В ипх и»сдержатся произзодпьн; от функций, характерпзуюжпх состоепие средь». и потому пе прсдполагаетгя болыипх ограничении пз гладкость стих функций. Полее того. выведенные уравнении д пуск»»ют суьце.
ствоваиие раврывиых решений (см. з 5). 31 Нетрудно убедиться в том, ~то вдоль указаппог»: контура С уравнения (',б») и (2.7) равносильны. То жс самое справедливо для случая, и »да контур С со. стоит из л»обого конечного числа отрсзкоп, параллельных осям координат (рис. 1.8,6). Дейстиптельио, иы моя«м разб»»ть область Т па несколько прямоугольников и для каждого записать соотношение (2.7). Суммируя контурные интегралы, иы получим, что слагаемьп, относящиеся и виутрепппч границам, взаимно уничтожаются, так как каждый отрезок внутрен»п й г(»»»ппць» проходится дважды в противоположных направлениях, В результат( вновь приходим и формуле (2.7), по для контура более сложной конфигурации.
Б случае произвольного контура попре» и плоскость х, 1 сеткоп, образованной лппнямп, паралл»»льпыз»п о< ям координат (рис. 18, в). Выберем минимальную област», Т" с контуром С*, образованную ячейками сотки, в которой целиком лежит и» ходна»» область Т с контуром С. Для С* формула (".7) справедлива, Прн измельчении ячоек сетки, С*- С. Не остапавлпваясь па обосновании предельного перехода, заключаем, что в предсло формула (2.7) оказывается справедливой для любого замкнутого кусочпогладкого контура С в плоскости (х, ~), При етом предполагается, что подыитегральпые функции ограничены, кугочпо-непрерывны и па контуре С могут терпеть разрыв лптпь в отдельных точках.
П виду, аналогичному (2.7), можно преобразовать и дпа других уравнения — законы сохранения импульса и: пергии: Однако на практвке при решении задач удобнее пользоваться уравнениями гам аой динамики в дифференциальной форме, которые могут быть получены на основе интегральных уравнений. Переход к дифференциальным уравнениям сужает класс допустимых решений. В частности, дифференциальные ураввевил не содсрнгат важвый случай разрывных уравнений.
Обратимсл к закону сохранения массы (21). Преобразуем в соответствии с известной формулой векторного анализа поверхностный интеграл к объемному: ~ р (чп) НХ = ~ й)ч (рч) ВГ. Разделим далее обе части уравнения ('-'.1) па ЛГ= 12 — г1 н устремим Л! к пульс П!к дполагаи, ын соответствующие производные существуют, получим ~'~ ав — + т)(чоч~г!Г = Н, ~ чт Отсюда в силу произвольности объема Г следует; — + ~)(ч рч = — (!.
др ш (3.1) Дифференциальное уравнение неразрывности (3.1) по-прежнему выражает тот же физический факт, что и соотношение (".1),— закон сотрапенил массы. Из процесса вывода уравнения (3.1) лспо, что нр<шзводпал по времени в пем лвллетгя эйлеровой, и само уравнение записано в переменных Эйлера. Векторное урааш пие движения (2.2) предварительно спроектируем па коорднпатпое направление х„ и затем проделаем преобразовании, апал~ппчпые тем, которые привели пас от уроапеппл (2.1) к (3.1), В р< зультате получим ~йч .
— ' + ~)(чччч = — — + /;. г ах. т)овал часть этого равенства с учетом уравнении неразрывности (3.1) преобразуется к виду ' о'. ~ог — — ~)(ч рп;ч = р — + (т7) г;). «г Оператор (чч') у;ке рассматрнвалсл и 1 1 прн определении субстанциональной производной (см. (1.15) ). Итак, дпффсрепцпальпал запись закона сохранения импульса такова ! ае. аа р~ — ' )- (чч) ьт) = —,—,„+ йы пли в гектарной форхн ~ч ! à — + (ч7) ч = — — йга~! р + —. р р Так же выводш в и дифференциальное уравнение энергии. Система дифференциальпьох уравнений газовой динамики в переменных Эйлера выглядит следующим образо.в — + 41чрч= О, дР дС (3.2) дч Р дг — + (чЧ) ч = — — йгзд р + —, в Р (3.3) (Рч) — е+ — 1+ (чЧ) ~е+ — 1= — — 41ч рч + — '+ — — — 41ч1Ч, 1 "1 Р Р Р (3.4) (3.5) р = р (р, Т), е = е (р, Т) — Р авт О.
ж (3.6) чрл Заметим, что здесь дифференцирование ведется вдоль траекторий частиц газа, составляющих двияоущийся жидкий объем г'(г), и таким образом, в (3.6) входит лаграяяоева производиая по времеви. В силу того, что объем, по которому ведется ивтегрировавис, изменяется во времени, дифферепцировавие в (3,6) следует проводить по известкой формуле лг ( Ф(й)) = ) ~ г + о(ч(Фч)1сЛ', л (дФ г(п чи) (3.7) где Ф(г, Р) — некоторая Пропп~па формулу объсмп СВ). получим Эйлера скалярная фупкция. (3.7) к (3.6) и учитывая произвольность урвппснзс ксразрыввости в переменных дп — + сдчрч = О, совпвдвппцсе с (3.2), Одппьо можно применить к уравнению (3.6) некоторый другой пр1п м.
который прнпод|гг к дпфферспцпальпому урапно~ию иеразрыппостп в форме Лаграпжа. Иптегрпрозапие в (3.6) ведется в псрсмсииых Эйлера, т. с. Ивт — йт;дг ихз Сделаем замену псрсмсивых; перейдем от перев о о мевных Эйлера хь хг, хв к псрсмевпым Лагранжа хм хо. тв,поиимая п д пики, как и и 3 1, начальное положение частиц среды. Известие, что при такой замсие злемеит объема преобразуется 3 и л.
Свпврспвв, ю. и. попов 33 2. Диффереициальиые уравнения в переменных Лагранжа. Диффереяциальиые ураввеиия гаводииамики можио получить и из иитсгральиых уравнений в форме Лагравжа (2.4), (2.5). Разделим уравиеиие (2.4) иа Лг гг — ц и устремим Ьд к нулю. В пределе имеем по формуле ((У = ((х(()хог(хз= Л(1х,()хойх~,' = Л((Ро, (3.8) где Л вЂ” якобиап преобрааовакпя (1.11) — предполагается положительным. Переменный объем )г(г) в пространстве шремепнык Эйлера, по которому ведется интегрирование, перейдет е пекоторый объем )ге в прострапстве начальных состояепп х), хп х).
Этот объем Уе уже не зависят от временя. По:)топу — ) р(!)р = — ) рЛ((го = ) (рЛ)((гч = О. л (" ! 3 — а! .) —.),и ,о ),о И далее — (рЛ) = 0. л а! Получеппое уравпенпе представляет собой дп4)фер( пциальпое уравпенпе перазрывпости е переменпыт Лаграпя(а. Уравпепие движения (2.5) можно преобразовать к виду — рт (!'г' = ~ ( — еге(! р + Г) Л'. (! (3. 10) ) оп )'( е Если применить н левой части (Х10) формулу (Ху), грезу я(е получится уравнение движения в форме Эйлера, Использование описанной выше замены перемеявых позволяет следующим об- разом преобрааовать левую часть (3.10) — ) ре((е' =- — ) реЛ((уо = ) — (реЛ)(1)г = ,и ) = а! .) '=,) к! г'(е г' !)рЛ е..
((7е = ~ р ~",(!)г. (З.И) ) (е ко р — =- — йга(! р + Г. с(! Аналогично (3.12) строится и уревпеппе знерпш. Выпишем получающуюся таким образом сост му дифференциальных уравнении: е от и — (рЛ) == О, — = — — дга(1 р + —, о( о! р (! ! ео ) 1 . () (ге) 1 — ( е -(- — ~ — — — (!1ере (- — + — — — <((е Чг, (3.!3) т~ ° 1 р р 1 ( р = р (р, Т), е =- е (р, Т). (3.12) Здесь мы учли, что, согласно (3.9), произведение р1 ест величина постоянная и может быть выпесека ив-под анака дифе()ереяцировапия. Кроме того, е копце цепочки преобразований (3.11) сделана обратная замела перемеяпыт.
Подставляя (3.11) в (3.10), имеем Строго говоря, система (3.13) ис иолиостью зависала з лагранжевых переменных — в левых частях уравнений стоят лагранжевы производные по времени, однако в их правых частях дифференцирование проводитсл по зйлеровыи координатам. Система уравнений (3.13) весьма похожа иа уравнения (3.2) — (3.5), что лишаий раз демонстрирует эквивалентность подходов Эйлера и Лагранжа. Волос того, урапиеиия дзижеиия и энергии в (3.13) получаютси непосредственно иэ (3.3) и (Ззо): достаточно воспользоваться выведенной в 1 1 связью (1.15) между лагранжевой и вйлеровой ироизводиыин ио времени. Однако иы предпочли вывести уравиеиил (3.!3) непосредственно, так как сам процесс их вывода иоаиоляет ярче проиллгострировать различил меягду переменныии Эйлера н Лаграажа.
3. Дифференциальные уравнения одномерного неустановивщегося движения гааа. Лагранжевы массовые переменные. Чтобы получить дифференциальные ураваеаия одномерного нестационарного течения, можно воспользоваться интегральными уравнениями одномерного двиягеаил из 1 1. Однако проще обратиться к общим дифференциальным уравнениям (3.2) — (3.5). Для одномерного неустановившегося плоского теченил газа (д/дхг = д/дхз = О, д/дх~: д/дх эв 0) из них сразу следует: др В дв ди 1 др — + — (ри)=0, — +и — = — — —, вг в р вез — ( е + —,/ -1- и — (е + —,/ = — — — (ре) — — —, (3.13) дг(, Х/ д~:~ З/ р Ее р де' р=р(р, Т), е=е(р, Т).
В (3.14) под и и РУ поиииаютсл проекции векторов скорости и теплового потока на ось х, а члены с внешними силами Г и источниками эаергии () опущены, так как их учет в данном параграфе ие являотсл принципиальным. Введем в рассмотрение так называемые лаграплсевы лассовые ивордкивты. Поясним их смысл на конкретном примере — плоской одномериой ~ естаиионариой задаче об истечении газа в вакуум. Эта аадача формулируетсл следующим образом. Рассмотрим две параллельные плоскости, пространство меягду которыми заполнеио гааом (рис. 1.0), Левая плоскость — неподвижная степка, ее зйлерова координата в течоние всего процесса постоянна и равна хв. Правая плоскость, которая отделлст газ от вакуума, в аачальньгй моисит 1 =0 мгиовеиао убирается (физически это отвечает, аапример, разрыву аекоторой диафрагмы), и начинается, как говорят, процесс источсаил газа в вакуум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
