А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 6
Текст из файла (страница 6)
не явчяющихся равповесныии, по допускающих вводонио функций тсмпературьц энтропии и т. д., форм,л»ровна второго начала ириооретает вид г(Я ) ЩТ, причем зпаи равенства относится и равшшесным процессам. В частности, для топлопзолировапных систем с г(() = 0 (аднабатичсских систем) второе начало записывается в виде (1.6) 1(ак показывает неравенство (1.6), процессы в системе идут так, что энтропия системы не уменьшается.
20 Для равновесных процессов среди тсрмодинампческнт функций р, р, е, ц, Т, Я н т. д. имеются только две независимые, Если н качестве таких независимых параметров припять температуру Т и плотность р, то остальные функции могут ныть выражены через них: р = р(р, Т), е = е(р, Т) и т, д. Такие равенства носят название уравнений сосгояшса В простейшем случао идеального газа зтп уравнения имеют вид р = р !т' Т, е = с ( Т), (1.7) где )т — газовая постоянная, !.глн внутренняя:шоргня 1ззз пня йно зависит от температуры, второе нз равенств (1 ) может быть записано н виде (1.8) г — .Н 7 ! ( т — 1 ), гзе 7 — безразмерная величина. равняя опнннонню тснлоемкостсй газа при постоянном дав:~ннн и постоянном обьеме.
3. Подход Лагранжа и подход ")йлгра к пзучешно движения сплошной среды. Для описания двпжгпня сплошной среды используют два подхода, связанпыт с выбором системы координат. При использовании подхода Лагранжа наблюдение ведется зз фиксированной частицей среды.
прослеживается изменение во времени ее параметров. Зная судьоу всех частиц, мы имеем нс:и рнывающую информацию об изучаемом процессе. Очевидно, нозависимымн переменнымн. помимо времени, в зтом случае должны являться некоторые признаки, позволяющие отличать анну частицу от другой (тая называемые лсрезшнные Лагранж). Напр1гмор, если число частиц коне шо, то их можно перенумеровать, п зз лагранжеву координату частицы пронять ес '. Оно!ь Часто в ка юстве переменных Лагранжа выбирают координаты начального положения частицы, В атом случае закон депиши~и сплошной среды, т, е, движение:побой ео части!(ы.
выражается формулами (!.О) где и< — текущие координаты частицы, а хс — координаты ее начального положения при 1=-0, т. е. лаграязгевьг переменные: и хзн ю=хз ° Зафиксировав в ('!.9)х,', х~, х„", мы получаем закон движенил отдельной члет11цы, ииымп словамн, ее траекторию, Фиксируя ! л о о и рассматривая и, как функции перемеввыхх„,т„хз, мы получаем распределение всех частиц по пространству на данный момент времени. 21 Формулы (1.'.)) устанав;швают взаимно е'» т ствие между х; пх, ) Поэтому, разрешан можпо получить х"; = Ь;(хп х,.
гг >). Прп этом якобпап преобразовании .»> (....,. ),П (з»,а » днозначное соотвото зл относительно хы (1.1>>) л) (1 11) предполагается отличным от нуля во все моменты времени. В подходе Эйлера иаб»подеппе ведется з> точкамп физического' пространства. Перемеппымп Эйлера являются координаты точки пабдюдепшг хь хи хз. Через точку пространства с течением времени проходят различные частицы среды. Значение, например, скорости, в данной точке фнзп некого прострапотва в данный момент времени отождествляется со м>а»>екпем скорости той частицы среды, которал в данный мгмепт прокод>гт через точку. Бо избе>каппе нозможныт недоразумений прп определении снорости формулой к=г(г>»> укажем, что здесь г по является радпус-вектором точки паолюдеппя и физическом пространстве, т.
е. независимой перемеппоп ')йдера. >. ьгласно определепи>о (1.2) г есть зависящий от времени радиус-ьеитор некоторой фиксированной частицы сроды. Существо подкодов Лагранжа и 1)йлера хорошо отражает, как пам предстанляетсн, )дачное сравнение, заимствованное из 187).
Изучение движопин воды в реке можно вести, либо плывя па лодке от истоков реки до ее устья и наблюдая за судьбой отдольпыл частиц >к»дкостп (подход Лагранжа), либо паблюдан за течопиом с берега н определеппык местат (подкод ')йлера). б. Связь между подходами Эйлера и,!аграпжа. И подтод:)йлера, и подход Лагранжа да>от полную картину двня»ения среды и н этом смысле опп эквивалентны друг другу.
Зпан закон (1.0) движения частиц и занпсимостг ироизволь>пго параметра 1 от начального положения частиц и времени: > =1(х"„х',,'. зз, >), т. е. имел описание двпжшшн среды по Лагранжу, мы всегда т>онгетг, воспользовавшись формулами (1.10), получить нредставлеппе этого движок>гя в переменнык Эйлера: > =.1(»,(х,, хь хз, >), Ь>(хо хг. хз, 1), Ьз(хь хь хз 1), >). Здесь мы уч>ш предполо>кепис о тон, что во всех системах отсчета время течет одинаково (абсодютяость времени). Диалогично осуьцествляетсн переход от переменных З>й»ера к поремоппым Лагранжа.
Длн этого нужно предварительно проинтегрировать уравнения >Ьт;/>г»= и,(хь хм хз, >), > = 1, 2, 3, *) Если в течепии со временем образуются пустоты, то дзл точек физического пространства ьс соответствующих этим пустотач, па существует образов в пространстве начальных состояпвйхен Поэтому в дальнейшем втот случай не рассматривается. »'> в результате чего будет получены формулы х; =.;(х„.,„х,„!). „а,о а (!. !') г(хА! = Го, г)хз!г!! = О, г(хз)г1! = О даст . И,а :.и постоянные ипт грнрованлн определен!л нз начл н,ныт услоннй, Имен формулы перевода ( !.12), нетрудно построить з»вкснность !небога параметра ) ог пгрсагспны~ У!»грапжа. еглн и и зсстно его представ и ппс по З!Отару !(т„х, ха, !).,(ойстнит зьпо, ,' =(~ай(хи т,", х',1.
!). х. (.'! ~л), х,",, !). г.,(х",. зо, .~ "ь !) (!.!3) Из последней формулы. в шаткости. »инкоо позу п!т! своза ан'ждг эйлеровой и лаги»нжевой пронзводкымн но времени. Заметим, что, дифференцпрун т' по времени нрн фиксораанннык хь хн хз, мы вычисляем частную производную по времени в фиксированной точке физического пространства (эйлерово про- ~ ьчодная).
Фиксируя лагрэнлогвы координаты х„ха, .с", и проводя диффоропцировапио по времени, мгл получаем тнк казываоыун! похпйю нли субгчнш!лонж~ьп!гьа пгюнзаодн!!го, характеризующую изменения, пронгзодягцне с выделенной части!К и грады в !озь ое траокторип (лагракжева производнан). Итак, нроднффсрепцнруом (1.13) по г, фиксируя г", го ха ~! л! нх) Л! Лго аг (1. 11) ЛГ ое иг, оп ох, а! ах, ~уй Здесь г(!гг!! и дггд! — прои»во;пнае Лаграгпкн н Зйлсра соответственно. Учитывая, что производи»и — л! (зн ха, хз, !) прп фиксн"хо г,а л,о ,а ,о ,о човаппыихм х„хз сть г-н компонента скорости выделанной частицы, перепишем (1Л4); — = — +,х„г! — = — +(т7) !.
и! а! чгч д! О! дг .! льо |а, о! 1=3 (!Лб) Поясним сказанное н» простом примере. !!усть извести» зависимость для скорости в фаран. сц = Го = соне!, ца = нз = О (однородное поступательное двнжгнно). Интегрнров»нке гоотзетствугогцей системы ура!аноьнп! Проиллюстрнруем особенности подкодов ()басра и Лагранжа и, в частности, различия между производными по времени в этих подходах двумя примерами. Рассмотрим одномерное (т.
е. зависящее лишь от одной пространственной переменной, напримор хс) лак>кение среды. Пусть это течение является стационарным по Эйлеру с7/д)= О, по неоднородным по пространству с7/дхс Ф 0 (рнс. 1.2). Так как течение стационарно по Эйлеру. то значение любого параметра / в каждой точке пространства не измепиется со временем: /(хс)= /= сопзд /(х,) =/= сова>. Однако в силу неоднородности течосшя /Ф/. Поз>ому в лк>оой частице среды, пероместившейся из сечения х, в сечение .г, значение параметра / изменяется па величину Л/=/ — /. Если Л,г, .= х, — х, достаточно мало, это изменение мояспо представить в виде Л/ = — Лх,.
з/ дх Ото>ода лаграпжева производная по вре>нов Лля такого течения есть сг) сггс д) П вЂ” = — — =к,— ' ° с)с ссс ах о с что, естествонно, согласуется с общей фортсулосс (1.15). /(ругай пример. Рассмотрпи одномерное однородное (д/дхс ~ =— 0), по сигтационариое но:)йлсру (д/дс . 0) точеипе. В силу однородностсс >с к пил лсобая его та,/,," рактерпсюсвс сги с(сукк>>с>я только времени /(С). т. е.
ео ьсех точках ,,: / -, проссраигтг,с иэ>и ос иие / ссре>село«.>; „Нгт по одооиу сс тому жс закону. Поэтому изменение параметра / в часыгца, снестиашсйся сссс положения У~ с ра > 2 х, и положение с (гм. рис. 1.2), будет и точиосги таким же, что и в самка точкал хс, хс. 11пымн словамп, с)/сс/с = д//с)с, т. о.
эйлерова и лаграп>кеоа производные по времепц о этом случае совпадают. Таким образом, можно сделать за>с>сечение, что лагранжева производная по времени определяется ссак иестациоиарностью процесса, так и неоднородностью распредоления параметров в пространстве, где перемежаются частицы среды.
Несмотря на отмеченную выше эквивалентность подходов Эйссера и Лагранжа для описания механического движения среды, использование одного из пик может оказаться предпочтительнее при постановке и решении кос>кретных задач (см. ниже $ 3). 24 5 2. Интегральная форма уравнений газовой динамики 1. Общий случаи. Переменные Эклера. Уравнения газовой динамики представлн<от сооой выражение общих законов сохранен~<я массы. импут:са и энергии. Запишем пх, пользуясь переменными Эйлера.
Пусть Р— некоторый фиксированный объем физического : рострапства, в котором происходит течение газа, Š— гладкан амкпутая поверхность, ограпш<ивающая этот ооъем (рис 1.3). Масса газа, заключенная в этом о»ьемо в некоторый момент времени 1, выражэется интегралом (р(г, 1)Л, г.<е г = (л„юь х ' — радиус- вектор эломоита о гъеча <11< = = <1л<<1.сг<1хз, р — плотность га- в нем. Часто цы среды в Рис. 1Л своем движении входят и выло;пгг нз ооьема 1, пересекая его границу Х. Количество газа, покидающего объем Г за единицу времещ<, составляет величину р(тп)<1т, гдо п — елииичный вектор впешпой нормали к влез<опту поверхпосгп <1" (рпс.
$.4), (тп) — скалнрпое нронзведопие. Рве, 1.а< Составим баэээс вощества за промежуток вромепи <<1 = <г — 1<: <, ) (р (г, 1, — р (г. 1<)) <Л< + ( ) р (тп) <1т <11 = О. (2.1) г < й Уравнение (2.г) выражает закон сохранения массы в объеме па интервале врем»пн Лг и носит название уравнения нераз(н <аности. йй Прп выводе второго уравнения газовой динамики — уравигния движения — предполо>>гизи что в среда действует некоторая внешняя сила с объемной плотностью Г(г, г). Примерами такой силы могут служить: сила тяжести, элеьтромагпитнан сила Лоропкя. дсйствующая на прояодяпоп> газ, движущийся и ыяпштш и поло, и т.
д. Гя», ~>аходяп(лйсн в объвпв 1, св>задает количеством двожоо;>я, равпыы ~ руЛ". 1 Пзы оооо> этой яелнчопь> го яреысп> м пр>п>сх»дит Р, 'ти Р> счгт яь>т> капни газа, покпд,»оии > о объем Г, причсы я е,>оппду времени тсрнстся — ~ р (тп) т гГ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
