А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Гос. из я тя>о>и эя счет действии яш шпик спл. Помимо объомпой но>попо силы Р(т, !), пя гзз, зякл>очспоый я вь>делопоом о пепе 1', дсйстяуот сила со стороны остальной массы газа. Это в.>ш>мод> йстнпе носит ш>норхностпый хярзктор, и н общем случае сила взаимодействии Р в кшидой то >ке поверхности Х яапранлспа под ш которым углом к внсшпсй нормали (рис.
1.5). Кясатоль»ая составляющая снл>в Р, связана с наличием в среде внзкостп; зто сила трсвкп, во>пщка>ощян при относительном движении слоов газа, которые соприкасаются по поверхности Если мы ограничимся ряссмотропием псвязких сред, то сила поверхностного озапмодейстппн сведется к и> рм >льно» составляющейй, кагору>о можно представить в энде Р„= — рп, где р — гязокипстпческоо давлопис. Полный импульс этой сняы зя ороможуток времени >з1=1т — Г> составит 1 — ~ ) рпйтс>й > У штывая всс сказапнос, запишем закон сохране>ща иыпульса в объеме Р в): 1 ((' (Г, Гз) у (г, >,) — р (г, 1>) у (г, 1>)( дГ з" ~ 1 о! тп) в д гй = Г 1, = — ~ ) рп ~!':И + ~ ) ГсЛ'Ш. (2.2) в) В (2.2) я внт>тралах но времени все фу.
о;яв зависят от г в б 20 Это выра>исиис ость иитегральиаи форма уравнеиин даик<опия среды. В отличие от ('.1), зто урависипо — векторное. Чтобы получить третье уравпепис, следу<т записать для объема У закон сохрап 'пия зноргии. Полкан:>исргпя газа (виутроипия плюс кииотич'ги,>я) в <>бъсио У вь>числштся ио формуле ~;(;+ ) ИУ. > Е изме»евно ироисх"днт за счет переноса ч<рез новерхпость ", работы внешних сил (объемпых и поверхностных), а такжо за счет дойствия висшпи< нсточииков, если таковыс имеются: )<> (г, тт) )г (г, тт) + . ' ~ — р (г, 1,) < > (г, <>) +, ' ]~ <(Г + >, + ~ ~рЬ - —..
)(ти) <('-'гИ== — ~ ~р(ти)<1" <11 + > + ~ > <'Г>И<(У<И + ( ) ()г)У<И вЂ” ( ( (%и) <(т<(т, (2.3) '> — мощность объеии>вх источпииов зиерпш, расиродолсии>зт и :>ростраистве, иаприи р интенсивность джоулсва иагрсва злоктрк:. гкими токами, теку:иии» и прин дищ< и гю>г. Последний член в (" !) оп»сиса> т ири»;;>»оргии и> р< з и<шсрхность объоив " за г'и>т процессов тои и .»:>ово,<ногти, >т> — >и »тор плотности теплового потока.
Эта величала определяотсп через остальные параметры следуя>щим образом (закои <1>урье): »> =- — к ига<( Т (Т вЂ” температура). Если среди изотроииа, то и — скалнр, назы»смый ко;фг~л>цие> "<и ><и,<опр»во<>иогтп. Этот по<>ффициеит являотси, воооще говоря. функцией термодииамичоского состояния г!иды: и =- и(р, Т)>, Уравпгпис (2Л)» газодииатшкс пааыва>от Иравиели><и еосргии. 11олучоиныс уравиеиин га:ювой дииамики (2.1) — (2.3) представляя>т собой иитегральпу<о форму заколов сохранении массы, и»пульса и зисргии. '><и> уравнении записаны в перси< пиых Эйлора, так как объем газа У, фигурирующий и формулах, фиксирован по отпошеии; > к зйлсровыи координатам.
2. Интегральные >равнения в переменных 11аграпи<а. 11струдио получить лаграи>ие:>о представление тст >ие законов сохра»еиия. Рассмотрим объем, образованный фикспроваип>>ти> части"ами среды, который игромсщаетси вместе со средой, изинши сво<о конфигурацию (так называемый е>иидкий обьсх>т) 27 (рис. т.б). Повторим длн этого жидкого оотимв Г'(~) рассуждения, проведенные выше длн неподвижного объема.
Эа промежуток времени Л1 = тт — 1~ частицы газа переместнтсн в новое положение, объем Г(т) доформируетсн. Однако пр««том количество част«ц «ыэъсие и«пзмснитсн, и масса газа ос1апетсн прел;кей: ( о (.. г,);.'Г = ( р (, (,) ДГ. 1'(О) ъ (1,) =4 1 р(г.)т) ( .
гс)(г' — ) р(г, г,) (г, г,) д'.= т(~„) 1 (~,) 'Я вЂ” ) опйкпу — ') ( гЛ'г(к (2.) ~, г|о с, со (20 :)то с«оп«шс««представлш:т собой закон сохрапшшя массы в ииг ..ге тогрзль«об (. рме, записанный лл н жидкого объема, т. е. н <)ирме Лагранжа. Сущсстве1шь«и «глнчпем оз: «лгрова вида этого же уравнении (2.1) нвлнстсн зависимость от вргмспп объема, и ~ которому проводится пнтсгрпровапш. Р«осмотрим далее уравнение папик нпя.
Тзк как в процессе двиишпил частицы среды по ностувагот «< бьем и не попила«т его, то в балансе импульса так жо, как в зак и сохранения массы (2.4) будет отсутствовать член, связаипып с потоком пмпул.,- са чероз поверхность ~'(т) объема. Изменение количества движенлн в этом случае происходит лишь за счет шппших (объомиых и поверхностных) сил: Аналогичные измеиония претерповаст и уравнение энергии. Оно принимает вид р(г, 1т) е(г,1з) + ., ~ Л— ,1 и (г, гт)1 ('~) « (г, ~,), — ( и( о ~'(' ~ й~ '~'1) ~а — р (ти) с7к о) + ~ ~ (Гт ) с Г сЛ -)- ), х<о гд л + 1 1 0й( йт — 1 1 (Вп)аль. ), г,о 1, х<п 28 Трп ураьпопия газовой динамики ('.1) — (".'! (или аналогичные уравпепия в форме Лагранжа) содержат пять подлежащих опрсделепшо функций р, р, е, Т, х.
(Векториоо уравнение (2.2) мы расом <трпввом пак одно уравпенпо, а вектор г как одну ноизвествую фупкци<о.) В связи с этим вводят дополпитольпыс соотпошешш, замыкающие <потому уравнений гвзод<п<амикп. Такомп соотп >шчшямп являл>тся торподпкам<шосш<о уравпеппя состои шш р =<>(р, Т), 6 =- е(р, Т). Если уравпсппн, выражанщпс закопь< созда<к и: я массы, импульса, зогргпп носят достаточно общий характер, то уравпення сос<олппя несут ипфорьпацшо о нонкротиой ха<доли газо<и>й дива>шкп, о конкретных свойствах сроды.
Так для модели идеального газа уравпеппл состояпия имеют впд (1.7). Отмгтпм, что прп использовапии подхода Лаграп>ка количество пепзвгстиых увелпчиваетсл: дополнительно приходится искать ка каждый момент времспп полок<ели< и пространстве юстиц сргды. В этом случао к системе уравш ппй добоглястгя соотпошепп< ь>г,<)< = г, являющссся фактичоскпм определеппем скорости. Трн закона сохранения и уравяопия состояния (а в лаграпн<овом случае и уравнепие для г) составляют звмкпуту<о систему уравпепий газовой дипамики. 3. Интегральные уравнения одпомсрпого тсчения газа. В дальнейшем при построении разяостных с>пи длл;шдач газовой дипампки мы будом рассматривать одномерно<о пествционврны< точопия газа, т.
о. течения, в которых всо парапотры среды зависят лпшь от одной прострапствеппой координаты и врсменп. 1)<— лучим для этого случая уравпспия в иптогралшнпи видо. Обычно рассматривают трп типа одвомерпых движений— плоские, ососпммстричныо и сферичоски спмметрв шые д <ижеппя. В этом параграфе мы ограппчпмсл лишь плогпплш одвоморпымп течояиями а). 1!усть х< — гдинствсппая простраиствоппан пгрсмонпан, от которой аавпгят все параметры среды (дало для одпомгрных тсчопий мы опустим у коордипаты пи>иной пплгпс х> — — х). Общи<. интегральныг выражопия законов сохранеппл (2.1) — (2.3) справедливы и для частного случал одномерных т<"и нпй газа. Вь<б<— ром в качестве объев>а )>, фигурярующсго и зтпх формулах.
прямой параллолепип<д, осиоваш<я которого — коадрать> единичной площади, л<чкащис и покоторыт плоско<тят 1!' и П', проводспных проз .т и х" оерпепдпкуллрко <юп х (с<'и пия х' и х пр<ошнолш>ы) (рпг. 1.7). В дальнейшем таков параллелепипед ') О<с- в сферическв свиветрвчвые случаи рассв<приваются аналогично. 2<Л мы будом пазьь[,нь е[[плич[[выл. Пам достаточно изучить поведеьоп[ газа и таком п[[ъгм[ь В силу плоской симметрии процессы в л[обом другом таком же параллелспппгдс [удут протекать аналогично. Элез[епт объема едкппчпог[[ параллелепипеда выравшетсн так: ~[Г = 1 1 Их, [дс единицы имеют размерность длины, и пх провзводгппо выражает площадь поперечного сечовии параллелгпепгда, Далее в выкладках зто произведение опущено.
Предположим для простоты, что вектор скорости имеет лишь олпу компоненту, паправльпп[ую по оги абсцисс, п[.= о. У1п[тьп[ак вг.. сказанное, п[рш[пш[м длв [[д[в[игрпого р г4 У [[пс. С8 рпс ! случая уравнение неразрывности (2.1): ГЬ ( тх) — ~ (, ' )3'Ь+ ~ (р(:",г) (г",г) —, (..',г) (:',г)~ )~ =О. х' (2 С) Так как через боковые грани параллолепипода поток вещества отсутствует, от интеграла по поверхности Х в нашем случае оста[пи;ь;шшь пот[тра.[ы по [к;повапипм пвраллглепипеда, гнпп[[зли [:вторых равны гдвппце.
Перед иптогралом по торцу х' стоит вник минус, так нак зд[гь направление скорости газа и внешней порвали и поверхп[ап[ противоположны (в выкладках си[рость припимаетсп положптгльпой). Прообразуом соотпошеиио (2.С). Ьыберем в фазово[)[ плоскости л, г контур С вЂ” прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат; рвзмерь[ сторон указаны па рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
