А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 5
Текст из файла (страница 5)
д.), расстанное между которымн во много раз превышает нх собствскныс разм<ры. Втн частицл< хаотически движутся, сталкиваясь друг с другом. Рассталкис, пройденное частицеи за времл между двумя столкновениями, называют длиной свободного пробега. Эта длина тем мевыпе, чем болыне частиц зак.<ючено в единице объема среды, т. е. чем больше ее плотность.
В газовой динамика ряссматриваютсл достаточно плотине среды, содержащие в единица объема громадное количество частиц. Нредставлонио об этой величине может дать число Лвогадро, т. е. число часп<ц в одной грамм-молекуле вашество Л'» = б (0>з 1/с <ноль. Н т»нпх абъгт<»х влннние частиц скнзывантсн усреднонно. !(оэтому мн>кно рассматривать лишь кокоторые срадкнс характеристики объем», пс интересуясь пои<данкен отдельных мнкрочастиц. В этом и заключа<тон с<наел перста;<а и мндалп сплошной среды, заполпн<ощей пространство непрерывным обрааом, Навечно, такой переход можно осущоствить пе во нгох случалх. Количественным критсриом применимости прин.<»женин сплошной сродь< может служить неравенство (/I.
«1, (1,1) где ( — длина сноба,<ного пронсга, Š— хнрактсрпый размер задачи. Степень малости атно<ненни (/Л в (1.1) в конкретных задачах ма>кот быть различной. Например, в ганна ирн обычных условинх ( - 10-» — !О-' см. Поэтому условно (1.1) для тел с характерным разморим /, пайн,<ка сантиметра н выше выполпоно с хорошей точностью. Условие (1.1) мои<от выполняться нс тилько за счет «малости» (.
Так, например, в межзвездном газе д:<нва свободного пробега велика по сравнепи<о с привычными размерами. Однако если изучаются нвлепил космических масштабов — обтекание Земли солнечным ветром нлн звол<оцин Галактики, то характерный размер задачи велик, критерий (1.1) выполнен, и раарсжепную межзвездную среду манию рассматривать каксплошвую. В то н<е времн, если речь идет об исслодов»нни полета космического корабля в этой мен<звездной среде, то характерный размер задачи (размер корабля) ужо пс может обеспечить выполнение неравенства (1.1), и здесь использование прпблшкевия сплошной среды неправомерно 2 А, л, Сам«рсн»»> щ П, Чг«п»« Гипотеза сп>ли>ности. которая представлнстсн ссичас совер>пенно очевидннн, в свое время завоевывала позиции. конпуряруя с другими теорпямн.
Например, Ньютон считал, что ноз><ух состоит пз отдольнь<т, не сеязанпых друг с другом частиц. Прн обтекании тела эти частицы, налетая на него, отдают свой импульс. В этом, в частности, Ньютон вплел механизм возщ<кповепнн нодъсмвон си <и. Предположение о оплошности в газовой динамике ведет свое начало от Эйлер,<. <юторый впервые стал рассматривать газ как пепрерывпув>, . и ю<о:<еформпруомую матери>о. В математическом отис<ненни предположение о оплошности, иепрерывпости среды позволяет взять па вооружение достаточно хорошо разработанный аппарат непрерывных функций.
дифференциальное и интегрально<> исчисление. В газовой днпзнппе б<сконе и<о нвль<м принято называть объем, малый н геометрическом отпев>еппи. т. е. ж>ъсм, измерении которого малы по сравнения> с характернымн размерамн задачи. В то же время этот объем достаточно велик, так что в нем заключено ьшыпо< число микрочастпц, и <чо можно рассматривать ивп >,п мент сплошной среды. О дви>кенни такого выде>инпого мл <осо элсмонтз говорит кан о;<внжопии час>чщы среды (газа, жидкости). Приближенно снло<нностн явлнотсн огненным, но не единственным в модс.<и га,<евой дпяамикн.
Помимо него, дслаетсп рнд общих про;>поло пений об свклидовости пространства, о малости скорости двине ннн грсды но сравнен>но со скоростью света, абсолютности яр< мшш и пр.. а также принимаются определенные допущения о свойствах сахщй среды (наличие нлн отсутствие вязкости, тени>нроводпос>п, гравитационных спл н г. д.). 2. Характеристик<! сплошной среды. Элементы термодипзчнки. Длн колпчесюн нного опнсакнн процессов и газе вводятся различные хвраит рнстнш<.
Положение шстпцы среды характерпзуетсн се радиус-вектором г в пекоторон системе координат. Изменение поло>кенни частицы в пространс>вс со временем онроделпстсн ее скоростшо: х=г(г(<)ЙЙ; (В2) здесь ! — врез<я В процессе движения Взаимное равно><он<ение частиц среды изм< <п>етсв. Изучение двнжеппн газа состоит в пахов<девин двнжсипя всех <>го частиц. Состояние газа характеризуетсн еще рядом параметров, называемых термоди намическпми. Под плотпосп,ю газа р понимают массу вещества. знк поченного в единице поь< ма. Сила, действующая в среде на единичную площадку нор>юльке и < е поверхности. пазызш>тся давлением р.
П термодинамическим параметрам относится также температура Т, удельный ооъем» = 1/р, энтропия Я н др. Лккуратпое определение этих понятий, установление соотношений мея<- ду ними составляют предмет термодинамики (см., например, 18 (Л= — Р (1. илп. в н! Расчета иа сднинцу иассы газа. РнЧ где ц =1!р — удельньш объеи. т, е. обьгм единицы массы газа. Заметим, что эта работа отлична от нузл только прн перемещения внешних тел. Тнк, нрп истечения газа в вакуум из сосуда, псренещ!нин вне!лиях тел не происходит, и работа, вычисленная но форму:и (1.3), равна пулю в силу того, что давление на границе газ — вакуум обращается в нуль.
Совершая работу, газ изменяет свою эпергшо. Изменение энергии газа может происходить также за счет обмена теплом с внешпинн телами. Свнзь между энергией газа, совершенпог! нм работой н нодведенпыи теплом в термодинамике устанавливает первое начало, явллющеесл частным случаем общего закона сохранения энергии. Для единицы массы газа эта связь яьпллдит следуюгции. образом 0 Р 1 (1.4) где е — удельная внутренняя энергия газа, () — количество тепла, подведенного к единице массы газа.
Соотношение (1.4) справедливо пе только для рассмотренного нами примера (рнс. 1.1), по вообще для любых равновесных 2ч 19 '155) ). Мы ограничимсл кратким напоминанием фактов, которые ока>кутал веобходимыии в дальнейшем. В термодинамике вводятсн понятно вневпнх параметров, характеризующих положение внешних но отко!агнию к газу тел, с которыми газ взаимодействует в процессе 1внжения, Рассиотрии для определенности однородный газ, заключенный в цилиндрический сосуд, аакрытый с одного конца неподвижной стенкой, а с другого— поршнем (рнс. 1.1).
В данном случае внсшнии телом лвляются стенки сосуда и новгрхность поршни, граничащая с гам!н. Онн ограннчсва!от запя! ! тый газом объем Г, который лвлястсл впешяни параметрои. В обнгси случае в ч!!ело внеш- Ряг. 1Л пих параметров включаютсл и различные силовые ноля, созданные вас!нянмн лоточниками, например ш!ектромапштные поля. В проц!!ссс взаимодействии газа с вншнниип телами внешние параметры изменяются — газ совершает раоотч (или над газом совер!лается работа).
В нашем примере (ряс. 1.1) прн бесконечно малом изменении впспшего параметра — об! гма гЛ~, вызванного бесконечно иалыи перемещением поря!ня. газ совершает работу процессов в газе Напомним, что т;рмодинамическн р, вповеспым называется процесс, протекающий шсконечпо медленно, причем его любое промежуточное состояние является равновесным. В свою очередь равновесиьгм термодинамическим состоянием системы называется состояние, иг изменяющееся со временем при финсированных вне»шит параметрах н отсутствии т плообмена с внешнимп телами.
Реальные процессы, естественно. нротскшоч с кон чиымп скоростями и. строго говоря, пе гшлнютси равновеснымн. Однако идеализация, связанная с введгнпем равновесности, достаточно хорошо описывает широкий круг»в.«ннй, п поэтому ес введение оправдано. Ио первого»а ~ала т~ ртгодпкаинкн вытекает. что внутренняя знер1чгя е нвлягтся однозначной функцией состояния газа.
Величины же (( и и завис»т не только от состояния системы, но и от ее продысторни, т. г. от процесса, в результате которого система пришла а зто сосчояии<. Ииымц словами, величина г(е— полный дифференциал, в отличие от 0() и ((а, не представляющих, вооощс говоря. нолкгвх дпффгрг1щяалов каких-либо выражений. Оуществовашц сщс одного полного дпффсрсггцнзла и, следовательно, одиозна ~иой функции состо»и~я (:штропии Я) посту~ирует второе начало термодинамики; ~(л = г(((('Т или Т г(5 = т(е + р г(ц, (1.5) Введенный в равгнствг (1,6) »интегрирующий делите;ив Т, называется температурой.
Температура является внутренним параметром, характер»зун»цнм состо»и»о газа. Го стотистической точки зрешш температура оиргдглягтся средней кнпгтической энергией теплового хаозичгского линии нин молекул газа. Очевидно, величина энтропии опргделяетсн с точ1шстью до произвольной постоянной. Зпачшшг этой постоянной устанавли»ает третье начало термодинамики (теорема Нерпстз), пз которого следует, что нри абсолютном пузе темиерзтургн энтропия системы равна ну ч ю: 5- О прп Т- О. Заметим, что в общем случае для процессов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
