А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Л. Л. Самарского [03[), а также с осаовпт«мп вопросамп теории разпостпыт схем (см., например, пииту Л. Л. Самарского [78[), Однако для цельности изложения и книге предусмотрены специальные разделы, содержащие все пеобходимыс справочные сведения. Следует отметить методическое и идейное единство этого пособия с кппгамп: «Введение в теорию разпостных схем» [77[ и «Теория разностпых схем» [78[ Л. Л. Самарского, «Устойчивость разностпых схем» Л. Л. Самарского и Л.
В. Гулина [80], «Разностпые методы для эллиптических уравнений» Л. Л. Самарского и В. Н. Лпдрсева (Мл Наука, 1976), «Методы решоппя сеточных уравнении» Л. Л. Самарского и Е С. Николаева (М.: Наука. 1978). Книга возникла па основе ленцнй, которые авторы и течение нескольких лет читали в Московском государственном уааварсптоте для студентов и аспирантов физического факультета и факультета вычислительпоп математики и кибернетики. Опа предназначена для широкого круга читателей, связанных с примененном разпостпых методов к решению задач газодинамики и магнитной гидродппамики.
Латоры счята»от своим приятным долгом выразить большую благодарность П. П. Волосевпчу, В. Я. Гольдину, Л. В. Гулину, Н. Н. Калиткияу, С. П. Курдюмову, Л. 11. Фаворскому и другим сотрудникам Института прикладной математика ЛН СССР, совместная раоота с которымп пад решением различных задач газодинамики и магнитной гидродинамикн нашла стран<ение а этой книге. А. А. Самарский, 10. П. Пот«оо ВВЕДЕНИЕ Многие вопросы современной науки и техники в той или и пой мере селла пы с решением уравнений газовой динамики. В качества примера можпо пазвать аэродинамику летательных аппаратов и задачи астрофизики, прогноз погоды и проектирование мягиитогидродкпампческих генераторов электрической энергии, георгис раактивпых двигателей, управ:щемып термоядерный синтез и мпагпо другие актуальпыа проб:п.мы. Отдельпые разделы газовой динамики развиваются дастяточпо давно и яссьтш интенсивна.
Нолучепа иного важных, интересных и «изнщпых» результатов, и тем пе мопсе общих методов решения газодинамических;шдяч да спх пор пс существует. Более того, следует отметить, что здесь в оощем случае пока пет дяя;г доказательств существования п единственности решапня. Это объясняется ела'кностью уравнений гаяовой динамики и прежде всого пх налпкейностью.
В то я«е время именно нелинейность порождает такио эффекты, как, например, ударные волны, не имоющие аналога в линейном случае и представлшощие большой теаретпчоский и практический интерес. Уравнения газовоп динамики описывают движение сплошной сжимаемой среды. В последнее время практика все чаща выдвигает зада ш, где пя газодппампческпе течения воздействуют раолпчныо дополнительные факторы такио, как электромагнитпыо и гравитационные поля, процессы тепла- п алектропровадности, хпмичоские реакции и т.
д. Учет подобных явлений усложняет матоматпческую постановку задач и порождает самостонтельныо проблемы при пх решении. Однако и здесь основу задачи по- прежнему составляют классические уравнопин газодинамики. оэтому разработка эффективных методов решения этих уравнс иий представляет один из важных вопросов для многих разделов современной науки. Отметим, чти в газовой динамике хорошо раяяпт и «пироко нримепястсн аппарат автомодельиых решений. С помощью такого подхода осуществлена постановка и проведен анализ многих важных задач. Лвтомадельные матоды позволяют детально исследовать отдельные качественные сторопы явления, получать количественные оценки, вынсннть влияпио различных параметров.
Однако построепие автамодельных решений, как правило, Н возможно лишь длп ш которых частпыт, упропП ппых вариантов исходной задачи. В общем случае фактически едппст|п ппым эффективным способом решения задач газовой дппемикп валли~ток чпслеппые методы, основанные па использоваппп быстродейству«оших электроппых вычислительных машин. Этп методы получили свое развитие сравните |ьпо подавно, примеров и течшпп последних трех десптилотий.
В отличие от аналитических методов, где зачастую для каждой задачи разрабатываются свои самостоптольпые ~риомы решения, численные методы отличаются большой универсальностью и прязшппмы для исследования широкого класса пвлоппй. Попструироваппе вычислительного алгоритма подразумевает два этапа: первый — построение разпостной схемы длп матемзтпческой модели, т.
с. аппроксимация псходпой системы дпффорепциальпых и интегральных уравнений системой ревностных (плгеораичоскпх) урззпеппй, и второй — построение эффективного метода длп решеппя этих разпостпых уравнений. Построеино разпостпой схемы в задачах гидродипамшо~ можно рассматривать как замену непрерывной среды, описываемой дифференциальными уравнениями, пекоторым дпскретпым ес апалогом, эволюцпя которого происходит по законам, выражаемым разпостпытш уравнепппмп. При такой замене возппкают новые параметры — шаги (по времени и прострапству) раэпостпой сетки, каторап вводится вместо области непрерывного изменения аргумента.
))редставляотся естественпым с точки зреппп создапия экономичного алгоритма использовать так называемые грубые сетки с оолыппхпг шагами (с малым числом узлов), в силу того что маппппое время, пеобходпмоо для решения рэзпостпых уравпешш, возрастает с уменьшением шагов (ростом числа узлов). Однако раэпостпая схема «близка» к исходной системс дифференциальных уравпений лишь асимптотпчсскп прп псограппчеппом измель шппп шагов сетки. Прк конечных шагах сеткп, используемых пз практш«е, дискретная модель среды, описываемая развостнымп уравнениями, можот заметно отличаться от непрерывной сроды. Эта различие зачастую порождает в расчетах поразитпчоскио оффекты разностпого происхождония, спижаюпгие ценность разностпого решения.
Поэтому важно строить такие схемы, которые сохранялп бы свои «хорошие» качества на сетках, применяемых в реальных расчетах (как говорят, на «грубых» сетках). Для линейных уравнений математической физики сутцествует хорошо развитая теория разпостных схом, опирающаяся на три фундаментальных понятия: аппроксп»«аци|о, устойчивость и следующую пз пих сходимость. Изучеппе аппроксимации разпостпой схемы для гладких функций не представляет труда как в линейном, так н в пелипейном случаях.
Доказательство устойчивости схемы фактически сводится к получению некоторых априорных оценок, выражаю- ч2 щих пепрерывну>о зависимость разностного решения от входных данных аадачи. В отличие от линейного случая построение подобных оценок для нелинейных уравнений сопряжено с болыппмп трудностями, а для уравнений газодиыамикн такио оценки вообще отсутству>от. Поэтому проверку устойчивости стем обычно проводят на некоторых линейных аналогах исходной задачи, напримор, в акустическом прполижении.
Поскольку получить достаточно общпо количественные априорные характеристики разпостыых схем газовой дпыамики не удается, приходится использовать различного рода качественпые соображения. Естествеыно, напрпмор, тробовать, чтобы дискратпая модель была аде>жатва пепрорывыой модели, т. е. правкльно передавала физические особенности изучаемых процессов.
Уравнения газодинамики — зто математическое выражение основных законов сохраыаыпя (массьц импульса и энергии). Поэтому раэумыо строить разпостнув> схему так, чтобы в пей также выполпылись аналоги зтпх закопав. Схемы такого тина пазываютсв ш >серват>гвпыми. В важности этого требования можно убедиться ужо па приморе линейных задач, где консервативность явлгется ыоооходимым условием сходимости схемы. Дальнейшао развитие принципа консервативности привела к поыятию полной копсарватпвностп, Полностью копсерватипвые схомы длы урапыеппй газовой дппамыкп характеризуются там, что в них выпалив>отса пе только разыостыые аналоги осповыых законов сохраыеппя, ыо такжо и дополыптольпые соотношения, выражающие баланс отдельных видов зпоргпп.
Примары показывают, что прпменеппа таких схем особенно эффективно при использовании «грубых» сеток длы задач, которые оппсыван>тсы фуыкциямп, р»зыа пзме>пмощпмпсы ео еремеев и пространстве. 1!омимо физических треб>оваппй к схемам предъпвля>отсы танисе треоовапия алгоризмического характера. Напри>«ер, весьма важным является свойство однородности схемы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
