А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Прн рассмотрении в переменных Эйлера такой разрыв перемещается в пространстве, что в численных расчетах приводит к его «размазыванию» по координатной сетке. В лагранжевых массовых переменных координата контактного разрыва остается неизменной во,все время процесса. Поэтому никакого «размазывания» здесь не происходит. Часто приходится иметь дело с задачами, где рассматриваются газы различных сортов, отличающиеся друг от друга физическими свойствами, такими, как уравнения состояния, коэффициенты теплопроводности и т. д. Подобные задачи, если они допускают одномерную интерпретацию, удобно также решать в массовых переменных.
В этом случае границы областей, занятых различными газами, находится при фиксированых значениях массовой переменной. При использовании подхода Эйлера эти границы движутся в пространстве, п за ними необходимо специально следить. Конечно, использование подхода Лагранжа оправдано не всегда. В этом убеждает простейший пример течения газа в трубе между двумя сечениями 1 и П (рис. (.11). Решать такую задачу в переменных Лагранжа неудобно, так как в этом случае масса геэа между сечениями 1 и 11 переменке во времени, н краевые условия приходится задавать на границах изменяющеися во времени области в массовых координатах. В то же время в эйлеровых переменных сечения 1 и 11 неподвижны, что делает привлекательным рассмотрение задачи е координатах Эйлера.
Следует иметь в виду, однако, что избежать задания краевых условий на движущихся границах удается не всегда. Пусть в рае- г4у смотренном выше примере истечения газа в вакуум левая стенка выполнена из легкоиспаряющегося вещества, которое после испарения вовлекается в процесс истечения. Такая снтуаг<ия часто встречается, например, в злектродкнамичоских ускорителях плазмы. В этом случае при использовании лагранжеюих массовы~ координат, левое краевое условие приходится ставить иа исромеинай границе, причем закон движения отой границы (т, с. масса испаренного вещества) зависит от самого решения (в частности, от температуры <х=.<сссс«х газа) и поэтому не может быть указан заранее, При рассмотрении этой задачи з перомснных Эйлера аналогичная трудность, как указывалось вьгшс, возникаот прн формулировке граничного условия на границе газ — вакуум.
6. Лаграпжевы массовые переменные для задач с цилиндрической и сферической гг хс>мг> Ьм < имметрией. До сггх иор мгз обсун<дали способ эсодсния лаграин<осых массоюгх координат и копкретпои задаче об истечении газа з вакуум. Очевидно, что точно так жг мг>жио сирсдг лить массовые керемснныо в любой одномерной илосной задаче. В случае цилиндрической симметрии вместо (3.16) следует исполь:ювать формулу Рэс.
1Л2 а = 1 р (д, <) д <гу. (3.28) г > По физическому смыслу здесь з — масса газа, заключенная з цилиндрическом секторе единичной высоты: аэимутальпым углом в один радиан (см. рис. 1.12,а). Этот сектор играет ту жс роль, что и «единичный параллелепипед» и плоском случае. Нормировка лагранжевой переменной на один радпап удобна тем, что э системе уравнений не появляется дополнительных множителей 2п. В цилиндрическом случае г — масса„приходящаяся яа единицу высоты,— имеет размерность г,гсз<.
Заметим также, что нижний предел интегрирования в (3 28) не обязательно должен быть нулевым. Коли рассматривается цнаиндрический слой гааа, то в качестве стого предела следует ваять координату внутренней границы слон. Для сферическв симметричных течений лаграижова массоэсн координата вводится следующим образом: (3.29) В этом случае она соответствует массе, эаключенной в телесном угле в один стерадиан (рис.
1.12, 6). Здесь г имеет размерность грамм (г). Формулы (3.16), (3.28) и (3.29) можно объединить в одну: =.) Р(" 0""" (3.30) о где параметр и = О, 1, 2 соответственно для случаев плоской, цилиндрической и сферической симметрии. Не останавливаясь на деталях вывода, который в точности повторяет рассуждения, проведенные выше для плоского случая, приведем систему одномерных яестациоларных уравнений газовой динамики в лагранжевых массовых координатах (3.30), описывающую случаи плоской, цилиндрической и сферической симметрии: д / т 1 д(гр) ди гр дг — = — г" —, — =- р.
д! Р дг де эг дг д / и ) д, д(гэИ') — е + —. = — — (рг "р) —— дФ (," а / дз дг И~= — кг" дТ/д», р=р(р, Т), е — — е(р, Т). (3.3Ц 4 (й= —:(,~:) Проинтегрировав это равенство по г и э, приходим к соотношению м ~ гЬ/Р = х(/г/, т) — х(О, 1). (3.32) о Здесь М вЂ” масса газа в «единичном параллелепиксдеэ, а х(М, 1) и х(0, 1) — эйлеровы координаты правой и левой границ атой 43 7. Закон изменения объема. Система уравпений (3.31) ваписана в так наэываемой дивсргсптной форме. Она выражает основные эакояы сохранения. В самом деле, достаточно проинтегрировать, например, уравнение энергии по времени и массовой координате, т.
е. выполнить процедуру, обватную той, которая привела нас от интегрального уравнения (2.9) к дифференциальному, чтобы получить эакон сохранения энергии для фиксированной массы газа на некотором премся~утке времеви. Однако (3.31) — яе единственная форма записи уравнений газодинамики в переменных Лагранжа. Для простоты вновь ограничимся ураэнониями одномерпого плоского движения (3.25) или, что то же, (3.31) при и =О, а также положим, что потоки телла в среде отсутствуют: И"-0 (адиабатическнй случай).
Обратимся к уравнению пераэрыэности и подставим в него вместо скорости р = дх/дг: пх = пб/р. (3.33) Это равенство является частным случаем общей формулы (3.8); величинлч Нх и об — влементарные объемла в соответствующих пространствах, а велпчина 1/р = дх/дб = Ь (см.
(3.20) ) — якобиап соответствующего преобразования перемееных. Отметим, что при численном решении задач формула (3.33) часто оказывается удобнее, нежели само уравнение неразрывности, 8. Различные формы записи уравнения энергии. Рассмотрим далее уравнение энергии. Умножив предварительно уравнснио движения на и, получим соотношение дм ~2) (3.34) которос определяет изменение во времени кинетической энергии единицы массы газа. Вычитая (3.34) из уравнения энергии (3.25), где Ве= 0, придем к равенству де де — р —;, дЕ и (3.35) Или, учитывая уравнепие неразрывности, 6 де д (3.36) дЕ д1 ' е Уравненпя (3.35) и (3.36) вмшот непосредственный физиче- ский смысл: они показывают, что пзмепеппс впутреппей тепло- вой энергии газа происходит за счет работы сил давления.
Срав- нивая (3.36) и (1.4), можно убедиться, что это уравнение фак- тически выражает первое начало тсрмод~ папики для адиабати- ческого случая. ,,Сцгласно второму началу термодипамики (1.5) имеем, г, учо(одму (3.36), ГГ де дд! т — ''= + р — ~ — 1-=0. дЕ дЕ, д~~ р г)(е Я(р,' Т) — энФрояия единицы массы газа. 44' (3.37) массы. Равенство (3.32) можно назвать законом изменения объема. В самом деле, подынтегральная величина дб/р есть объем, который ванимает масса Нб, и, следовательно, интеграл выражает полный объем единичного параллелепипеда.
Справа в (3.32) стоит тот же объем, но вычисленный непосредственно (х(М, 1)— х(0, 1) — высота параллелепипеда, а множитель, отвечающий единичной площади основания, опущен). Итак, уравнение неразрывности в форме (3.25) дает не закон сохранения массы, а некоторый иной физический факт, который мы определили как вакон изменения объема. В атом нет ничего удивительного, так как при использовании лагранжевых массовых координат закон сохранения массы выполняется автоматически. Вместо уравнения неразрывности в (3.25) можно использовать соотношение Отсюда длл гладких адиабатических течений получаем еще одну возможную формулировку уравнения зигргип дЯдг = О.
(3.38) Все сказанное выше справедливо прп любых уравнениях состояния. Обратимся теперь к идеальному газу. Выразим для пега из уравнений состояния (1.7) и (1.8) зависимость внутренней энергии от давления и плотности: р Е '= — — ~ т — 1 Р Испальзул полученное соотношение и формулу (3.36), придем после несложных преобразований и выражению Таким образом, для ндинбатнчегннх раанонесных тач< аий пдааллного газа длл каждой частицы газа астаетсл неизмеииыи во времени отношение р/р', р/р' = салаг.
(3.40) Сопоставлял (З.ЗО) с (3.37), ма;кио иолучитгч используя (1.8), явное выра2кекие длл энтропии и;пальпога газа через остальные термодинамические параметры Я .= — !и —. л р (3.41) — рт В (3.41) опущена ироизнальиаи настоянная, с тачиастззо до которой апределлетсл энтропии ьа;:;;ай шстицы газа. Гели в какай-то момент врсзи ии вгс частицы ганн имели одинаковую зитрапи2о, то в соответствии с (3.38) зтат факт будет набл2одатьсл но псе паследу~ощн моменты времени. Такие те ~енин, в которых:2нтрапнл всех частиц газа во вса ьтамгитгн времени одинакова, пнзына2от изазтра22ичсскпыи.
Палучеппыо выше различные фармулиравкп ураниеиил энергии атиасятсл к случа2о, когда и среда отсутствуют дисслиатианые процессы. При наличпп, например, теплапранадиасти энтропия частиц у2ке не астаатсл настаянпай,— ее изменение аписьпззется уравнением ал г ои' ш T аг' Реальные вещества всегда н той или иной мере обладн2ат свойствам теилоправоднасти.
Поэтому адиабатическое течение можно рассматривать как некоторый предельный случай, когда коэффициент теплапроводиасти среды х исчезающе мал. Возможен и противоположный предельный случаи: кТак как величина теплового потока И' при этом остается конеч- иой, то температура должпа быть однородпой по лрострапстпу: дТ/дг О. Физически этот факт очевиден — за счет сильного процесса теплопроводпости пеодкородпостп температуры пптексиэпо разглаисивасотся. На практике подобная ситуация встречается прп изучении явлений, происходящих прп очепь высоких температурах, ибо коэффпциепт тсплопроводпостп к(р, Т) здесь является резко возрастающей функцией температуры. В указанном предельном случае, который пазызают нзггсрмкческил, роль уравнения энергии выполняет соот~ощепие Т = сопзк — На+ гЖ =О, 1 л ~~ гЛа — рй — — О (ЗЛ 2) (3.43) ф ~е + — ') Ыз — рг й = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
