А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Умпожим ее слева на к-й собственный вектор 1"', отвечающий собственному значению ).„, к учтем равенство (4.13): О8 аг ~ а8 ах / к=1,2,...,п. Выражение в скобках в (4.15) есть производная вдоль линии, котоРая задается уравнением дх~М=Х„(х, с, и), й=1, 2, ..., п. Отразим зто обстоятельство прк помощи следующего обозначения д!дй + Х,дс'дх = (йй(~) „, (4.17) С частными случапмп формулы (4Л7) мы уже встречались. Так, если Л = дх!Нг = О, то дифференцирование (4.17) нодетсп вдоль ливии х =хе =сопа~ ва плоскости (х, т) и й7дт— = д/д~ совпадает с зйлеровой производной по времени, вычисляемой в фиксированной точке физического пространства хо. Другой пример: (4Л8) Ыйе=о (обозначения соответствуют $ 1).
В зтом случае получаем выражение Жй = д/дт + од~дх, определяющее субстанциональную производную; здесь линией, вдоль которой ведется дифференцирование, является траектория частицы (4.18). Линии, определяемые уравнениями (4ЛО), для гиперболической системы уравнений первого порядка (4.12) называются характеристиками.
Уравнения (4.15), полученные в результате преобразования исходной системы, с учетом (4.17) можно записать в виде 1~~~ — ) =(ь 1=1, 2, ..., и. (4.19) Соотношения (4Л9) называются характеристической формой системы уравнений (4.12). Их особенность состоит в том, что в каждом уравнении (4.19) дифференцирование проводится только вдоль одной характеристики. ч) Требования, предъявляемые к собственным аиачениям Х в определении гиперболичности, могут быть несколько ослаблены (смп например, (73]). Однако для наших целей такое определение достаточно.
4е 51 4. Характеристическая форма уравнений газодинамики. Используя приведенные справочные данные, обратимся к системе уравнений газодинамики для одномерного нестационарного случая в лагранжевых массовых координатах (3.25). Заменим в уравнении движения производную от давления: где с У(др/др)в — скорость звука, а=(др~дЯ)„. Перепкшсм теперь основные уравнеппя системы (3.25) с учетом (4.20), волагая Ис=О: ди т~ д /11 ду — — стр~ — — + сс— дС от ( р / дя (4.21) (4.22) дх (4.23) = О.
В качество уравнения энергии мы выбрали одну из зкзивалентных форм (3.38). После введения обозначений (Е~р) ~ Π— 1 а ) и= ~ с~, Л=~ — ср О а) д о о о (4.24) система уравнений газодинамики (4.21) †(4.23) приобретает вид (4.12), где х заменяется на г, а вектор правой части Ь тождественно равен нулю *). Решая уравнение (4.14) бей(Л вЂ” "яЕ) = — Х(У вЂ” с"р') = О, находим собственные значения: я1=-0, яз =ср, Ня — = — со ш /я — =ср, дС (4 26) опроделя1от характеристики системы уравнений газовой динамики. Заметим, что второе и третье пз уравнений (4,26) обобщают на случай чпемалыхя движений результаты, полученные пышо для акустического приближения (см.
формулы (4.10)). Харак- ") Последнее обстоятельство Ь вЂ” О имеет место только в плоском случае, рассмотренвем которого мм и ограничиваемся здесь в целях простоты, 52 яз = — ср (4.25) Они вссцестзспны и различны прп условии (др/др), ) О, которое оказывается ясяполвенпым для большинства практически интересных сред, Таким образом, система одномерных пестацпопарпых уравнений газовой динамики вмост гппсрболпчсский тип. Равенства теристика же, определяемая первым иэ уравнений (4.20), совпадает с траекторией частицы. Действительно, лагранжева массовая координата в частицы при ее движении вдоль траектории со временем не изменяется. Следует сказать, что если бы мы проводили рассмотрение в переменных Эйлера х, 1, то уравнения для характеристик выглядели бы следующим образом ах Ик — =о, — =о+с, ас ' ал (4.27) Решая уравнение (4ЛЗ) для всех трех значений ]., найдем собственные векторы: — ср со 1= 1, 1=1 а/(ср) ) ( — а/(ср] ~ Далее построим с их помощью харакгерисгическуло форму еистеллы уравнений газовой диналлики: — =.
О, ( †" + ср †' ) — ср ~ — ( †) + ср — ( †)1 + †" ( — + ср †) = О, (4.29) ( —. — ср — ) + ср [ — ( — ) — ср — ( — )1 — — ( — — ср — ) = О. (4.30) Нетрудно видеть, что в каждом из уравнений (4.28) — (4.30) дифферелщированпе ведется вдоль одной пз характеристик (4.26). Характеристика, соответствующая собственному значепило л.
=О, совпадает с траекторной частицы. Вдоль пес остается неизменным значение энтропии (см. (4.28)). Поэтому характеристику с(з/аг= = 0 называют иногда энтропийной. 5. Инварианты Римана. Особенно просто выглядят уравнения (4.28) — (4.30) для иэоэнтропнческнх точений Я =совзг, рассмотрением которых мы ограничимся в этом параграфе: — -,'. ср — ') — со( — ( — ) + ср — ( — )) = О, (4.29') ( — — ср — ) + ср( — ( — ) — ср — ( — )) — О. (4.30 ) Уравнение (4.28) выполнено автоматически.
Введем функцию о 8 ср = ~ сра ( — ) = — ) — с)р. Рв 53 Функция сР зависит только от одного аргумента — плотности. В общем случае любая термодинамическая характеристика среды, в том числе и скорость звука с, может быть представлена как функция двух любых термодинамичесних параметров, например плотности р и энтропии Я. Но в рассматриваемом случае энтропии постоЯнна: Ь'= Ье = сопз1. ПоэтомУ с(Р, Я)- с(Р, Ье)=с(Р), сР = =ср(р); с помощью ср(р) сделаем замену: вместо неизвестных функции о и 1/р введем две новью функции в г+(Р р) = о сГ(р) = + ~ — с(р дР (1.31) "с Р Г с г- (о, р) = о + с( (р) = о — ~ — ар. Р Ро (:.32) Фупкцпи г+ и г называют инвариаитами Римана.
Их введение придает системе (4.29), (4.30) еще более компактный вид: дг " дг+ — $ ср — — =-О, Щ ' дс (4 33) дг дг — — ср — = О. дг дс (4.34) Это и есть система уравнений газовой дияамики в инвариантах Римана. Правда, для полной законченности сюда следует подставить вместо с и Р пх выражения через г+ и г, что несложно сделать. Можно заметить, что в уравоеоллк (4.33) и (4.34) дифференцирование проводится соответственно вдоль второй и третьей характеристик (4.26), которые обычно наэьи~ают С+ и С -.тарактеристиками системы уравиеиий газодинамики. Это даст возможность получить еще один вид записи: г+ = сопв$ вдоль С~: — = + ср, дС (4.33') дс > — = сопят вдоль С; — = — ср. дг (4.34') Произвольные постоянные, с точностью до которых определяются г+ и г-, здесь опущены. еа Инварианты определяются с точностью до произвольной постоянной.
Поэтому в формулах (4.31), (4.32) в качество нижнего предела интегрирования ре можно выбрать значение плотности в произвольной фиксированной частице среды. Пойдем на дальнейшие упрощения и рассмотрим идеальнь|й газ. Опираясь на формулы (1.7), (1.8), (3.40), (4.8), после несложных выкладок получим 2 2 г+ = о + — с, г- = о — — с. (4.35) у — 1' у — 1 Инварианты Римана и уравнения и ннвариантах, построенные на первый взгляд совершенно формально, име<от наглядпу<о ин- терпретацию.
Пусть рассматривается задача о точении газа, на- чальное состояние которого задано. Зто означает, что при ! = О (рис. 1.14) известны распределения по пространству всех физи- ческих характеристик, в том числе скорости газа р(а, О) и скорости звука с (з, О), с 1 уггрронасрисг< оо Пользуясь формулами (4ЛО), ) К можно вычислить и начальные значения иииарнантов г" в г (напомнпм, что ь<<! ! р считаем газ идеальпын, а течение иэоэнтро~ичсским) .
На плоскости з, ! существует сетка из С+ и С -харин- ' „,г' теристик, так как через лиг <и бую точку плоскости (х, проходят дпс характеристики < ис. !.!< Ри. !. 4 из этих сом<исти (рис.1.14). Вдоль характеристик переносятся без изменения значения соот- ветствующих инвариантов: по С+-характеристике ЛЛ' — инвари- ант г<', по С -хвринтсристиве — г . !! силу от< го можно записать равенства т ч рр + — с< гл < нл р сл т — ! у — ~! 2 рр — — ср = гв у — <' т — ! гр = гр = где нин<ний индекс указывает, в какой точке на рис.
1.14 в<зчнсляется данная функция. Выразим состояние в произвольной точке Р через начальные данные, используя соотиош<пня (1,06). Имеем 'л св <:< = —, (<'л + <'в) + 2,г — ! т — ! ср = (<' < ув) + Ои! (сл + гв). (1.37) Зная скорость газа сс и скорость звука с, можно вычислить в точке Р все остальные параметры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
