А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Псключая пз системы уравнений *) Такую замену называют вводенаем ав»огод»гънаати типа »бе»уцей во.<пыь 5» г Г о««<н„., Будем искать решение поставленной задачи. т, с. все фу«кцип, описывающие течение газа, в виде (! — любой параметр) !(г, <)=!(ф), $ =г — Р<. (6.0) Функция !($) дает профиль параметра << по переменной г в фиксированный момент времени (< = сопза) либо закон изменения со нроменем этого параметра в фиксированной частице среды (г = сопев) . 2. Дифференциальное уравнение для структуры.
Замена переменныт (6.9)г) эквивалентна переходу н систему координат, связанную с волной, гда профили всех параметров стационарны. Эта замена позволяет выразить производные по г и < через проиаводную по $: (6.13) — (6.15) все известные, кроме Ч, а также диссипативных членов е» и И~, получим для случая идеального газа И вЂ” "" = "+" (Ч,— ) („— (':,'~, — ", — ", (~Л6) 1= 2(Г 1)» ~ (7+1 е 7+127» Заметим, что обе части этого равенства обращаются в нуль на фоне при Ч = Чэ($ - +е») в полном соответствии с (6.11). Аналогично левая, а следовательно, и правая части должны обратиться в нуль и при $- — е . Поэтому аначение удельного объема Чп которое устанавливается при $ — —, доли<но быть равно Сравнивая этот результат с (5.23), убоя<даемся, что он совпадает с тем, что дают в этом случае соотношения Гюгонио для ударного перехода.
Итак, дифференциальное уравнение (6.16) (а это действительно дпффереп- цнальное уравнение, так как и ю и И' пропорциональны производной ац(аз) в самом деле описывает структуру фронта ударной волны, «размазанной» вязкостью и теилопрозодностью. Опо определяет кривую Ч = Ч (3) Ч, ~ Ч =-' Ч», где Че и Ч~ свЯзаны соотношениями Гюгонио Р (рнс. 1.17).
Зная ЧД), мшкно норис. 1.17 стронть профиля всех остальных параметров. Вал<но отметить, что значениЯ Че и Чп котоРые соединЯет интегральная кривая уравнения (6,16), не зависят от конкретного вида диссипации. Тот или иной вид вязкости и теплоироэодности определяет лишь характер «размазывания» параметров, ширину фронта и т. д., но отнюдь не интенсивность газодинамической ударной волны. 3. Структура фронта ударной волны в вязкой среде.
Квадратичная вязкость. Рассмотрим подробно структуру ударноп волны, возникающую в результате действия одной только вязкости (И' —= »иО). Преобразовав в этом случае еэ с помоп1ьн~ (6.13) и виду тП НЧ «а= — —., получим из (Гь16) обыкновенное дифференциальное Ч зй уравнение первого порядка (6.(7) Оно легко интегрируется: Ч,+Ч Ке~« а= ' " ' )О. (6.18) 2» Произвольная постоянная К определяет однопараметрическое семейство решений.
Это и естественно, так как, формулируя задачу, мы не «привязализ начало отсчета координаты в (соответственно ~) ни к одной характерной точке профиля полны. Сделаем вто. Продифференцируем (6.17) по ч и, приравняв вторую производную нулю, найдем значение удельного объема Ч|<Ч<Че, при котором все кривые семейства (6 18) имеют точку перегиба: Ч =(Че+ Ч~)/2. Теперь выберем из семейства кривых (6.18) ту, у которой абсцисса точки перегиба равна нулю.
Подставив $ =О и Ч =Ч в (6.18), получим уравнение для К: (Че+ Ч1)/2 =(Ч~+ ЧсК)/(1+К), откуда К = 1. Итак, мы выделили кривую „ ь „ г.а Ч (4) = (6.19) (жирная линия на рис. 1.18), которую и будем анализировать далее. Формально ширина фронта ударной волньд размазанного вязкостью, бесконечна. Но основное изменение всех величин происходит з некоторой конечной области. Определим характерный размер этой зоны, т. е. эффективную ширину фронта.
Это можно виго Рис. 1Л8 Рис. Ьгз сделать различными способами, но все оня дают качественно одинаковые результаты. Мы поступим следующим обрааом. Проведем к кривой (6.19) касательную в точке перегиба $ =О. Точки пересечения этой касательной с прямыми Ч = Че и Ч = Ч ~ и дадут искомую ширину фронта Л. Наклон касательной найдем из уравнения (6.17), в правую часть ноторого нужно подставить Ч = Ч =(Чо+ Ч~)/2: Г8<~ = —,„(Чс — Ч~) (у — '1) В 5г Эффективная ширина фронта ударной волны щим обравом Л= 8» (у+1) 11(ч, — я,)' выражается следую- (6.2ОУ Его интегрирование дает К вЂ” постоянная интегрирования, которая, как и в (6Л8), задает однопараметрическое семейство решений уравнения (6.22). Полоп<пн К=я<2, выделим кз этого <г <т' семейства интегральную кривую, % у которой точка пер<тиба ц = << = э<4 =(ц«+ т~<)12 совмещена с нача— — — — — — лом ото <ета =О (рнс.
".-'О). ь — и Для нас прсдстанянет <и»<орос «» э лишь участок кривой ц(э), расположенный на рпс, 1.' О между < то«кама Л н В. Именна ита ч;нть Я ) 4. кривой ц(с) в сочетании с луча» мн т) = ц«п ц = ц< (линял Рис. 1.И< В'ВЛА') дает Решенно задачи о структуро фронта ударной волны. Характернап черта, отличающая полученное решение от разобранного выше случал линейной вязкости,— конечнал ширина фронта волны Л, Из (6.23) без труда определяется ее величина <» = У2Р/(У+ 1) я. (6,24) Примечательно, что здесь ширина размазывания ке зависит от интенсивности волны. При стремлении коэффициента вязкости )» Видно, что эта и»ирина определлетсп интенсивностью волны (ее скоростью и амллитудой) и коэффициентом влзкостк, Прн уменьшении коэффициента вязкости» эффективная ширина фронта сокращается (рис, 1.19), так что в пределе при» =О имеем разрывное решение, рассмотренное в лродыдущем параграфа, Выясним теперь, какую структуру фронта ударной волны поРождает так называемая квадратичная вязкость <а рр(дн(дз)», (6,21) пропорциональная, в отличие от «линейной вязкости» (6.1), квадрату пропзводноп скорости.
Очевидно, все рассуждеипл, прннедшие нас к уравнению (6.16), сохраняют силу л н этом случае. Выразив <е через э и т) и подставив полученное вырап<енпе в (6.16), получим дифференциальное уравнение ИЧ чГт+1 = ГГ (ч — )(ч — ). 9о ~ф и 2<» (6. ' ) к нулю гладкое решение вырождается в разрывное и в атом случае. 4. Структура фронта волны в теплопроводной среде. Рассмотрим случай, когда вязкость в среде отсутствует и структура фронта ударной волны формируется под влиянием процесса теплояроводности. Уравнение (6.16) по-преяенему справедливо, только в нем отсутствует вязкость (пз = 0).
Для простоты будем считать, что козффициент теплопроводности постоянен х(р, Т) = хе = сопзВ. Тогда поток тепла в автомодельных переменных имеет вяд хе Н Ч дГ (6.25) Паша задача — получить связь между производными ИТ/Ы~ и ЫЧЩ; тогда (6.16) вновь сведется к обыкновенному дифференциальному уравнения~ для функции Ч (с). Из соотношений (6.13) и (6.14), с учетом того, что па = О, а следовательно, я = р, выразим давление: Р = Рю — й'(Ч вЂ” Чо) (6 26) Тп Из уравнения состояния теперь следует формула для температуры: Т= —; = —,(Ре--Ве(Ч вЂ” Ч.))Ч В Н Рве. н21 (6.27) Графическая зависимость (6,27) представлена на рис.
1.21. Дифференцируя (6.27) по Ч, получим Нт Ч(г кч 8~ч — = — ( — — 7)'1. (6.28) Первое слагаемое в скобках ость квадрат изотермической массовой скорости звука (см. (4.9)): р7Ч = р'( 1ВТ) ~ = (рст) ~ Таким образом, выражение в скобках в (6,28) обращается в нуль в той точке течения, где скорость волны становятся равной местной изотермической скорости звука. Коли в (6.28) подставить р из (6,26), то зто равенство можно записать в видо еи М еЧ (6.28') где Че = (Че + Ро17)')12~ )Че,'2 Учитывал сказанное выше, отметим, что в точке, где Ч = Че, скорость ударной волны совпадает с местной изотермячгской скоростью звука.
Подставляя выражение для потока тепла (6.25) в (6.16) и учитывая, что НТЩ =(г1Т)г1Ч) (ЫЧЩ), приходим к уравнению ЛЧ В (7+ 1) В (Ч, — Ч) (Ч вЂ” Ч,) Ч А ехо (7 — 1] (Ч вЂ” Ч 1 (6.29) '« л Ф Рнс, 1.22 в нуль пря Ч = Ч«. Физическое содержание этой особенности решения было выяснено выше — в атой точке осуществляется переход через изотермическую скорость звука. Ясно, что поведение интегральных кривых уравнения (6.29) существенно зависит от взаимного расположения характерных значений удельного объема Чо, Ч~ и Чт. При условии (6.
30) Ч» Чг которое справедливо для достаточно слабых ударных волн, удов- летворяющих неравенству д <— 27 — 1 Ро З 7 Ч„ (6.31) картина интегральных кривых имост внд, указанный на рис. 1.22,а. Здесь дана одна интегральная кривая, которую мон«- но ньщслить из общего семейства так н<с, как в «вяэкомз случае. В силу условия (6.30) в диапазоне Ч~ < Ч < Чэ правая часть уравнения (6.29) положительна и особенность, связанная с Ч« отсутствует. Ветвь интегральной кривой, заключенная в указанном диапазоне изменения Ч, и представляет собой решение задачи о структуре фронта волны, удовлетворяющей условию (6.31). Как видно, вто решение непрерывно.
Соответствующая дпаграмма (Т, Ч) представлена на рис. 1.22, б. которое и определяет «теплопроводную» структуру фронта ударной волны. Проанализируем качественно поле пнтсгральных кривых этого уравнения. Прежде всего отметим, что, в отличие от предыдущего случая с вязкостью (6.17), в (6.29) знаменатель обращается Ширина «размааывания» здесь бесконечна, однако если ввести аффективную ширину фронта так, как это делалось выше для случая вязкости, то можно показать, что она пропорциональна величине коэффициента теплопроводности иэ.
5. Изотермнческий скачок. Перейдем к анализу структуры сильных ударных волн с зт 1 ~о В»)— З вЂ” т ч,' Эдесь уже Ч,(Ч«< Ч„и потому поле интегральных кривых уравнения (6.29) имеет иной вид (рис. (.23,а). т, Е ~ 7! У» рс ур Рвс. а23 Ветвь интегральной кривой, расположенной в диапазоне Ч~ ( ~ Ч ~ Ч«, улье не может целиком описать решение задачи о структуре. При переходе через Ч„ интегральная кривая поворачивает обратно, и далее движение вдоль нее осушествляется в ш>ложи- тельном направлении оси $.
Это не имеет физического смысла, в соответствии с определением (6.9), означало бы для В) О при фиксированном а движенпо «против времони». При фиксированном 1 это >ке обстоятельство приводит к неоднозначности параметров среды в пространстве по координате х. Выход из этой ситуации заключается в постановке разрыпа в решении, где удельный объем скачком иэмсняот значение от некоторого Ч, до величины Чо В силу того, что среда обладает теплопроводностью, температура на разрыве дол>яка оставаться непрерывной, так как в противном случае здесь во:шякля бы бесконечно большие потоки тепла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
