А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Такое предположение справедливо длл ядра возникающего те юнил, ведь все влилпкл в газе распростракяются со скоростями порядка скорости звука, и, сюдова- тельно, воздействие стенок трубы, ее торцов и т, д. проявится в ядре потока спустя некоторое время. В течение этого промежутка времени мы можем пренебречь граничными условиями и рассматривать идеализированную постановку задачи в неограниченном простраястяе, считая параметры среды слева и справа от разрыва постоянными: рь рь и1= 0 и ро, ро во О (рис. 1.32, а).
Равенство нулю скоростей в этой постановке есть Рас. Г.32 отражение особенностей частной задачи об ударной трубе. В общей постановке задача о распаде произвольного разрыва формулируется следующим образом: в начальный момепт г-=0 в неограниченном пространстве вдоль плоскости а = 0 все параметры газа»гспытывают произвольный разрыв. В каждом из полупространств (»)О, о(0) газ однороден, значенил всех его параметроя постоянные. Р классической постановке предполагаетсл, что диссипативные процессы в среде отсутствуют. Газ по обе стороны от разрыва в общем случае может обладать разными термодииамичесьими свойствами, например разными постоянными в уравнениях состояния. Региекие задачи о распаде вроизяольяого разрыва состоит в определении газодинамического течепил, возникающего при 1) О. Другими словами, речь идет о решении задачи Коши длл 82 уравнений газовой динамики, н которой начальные условия заданы в виде описанного выше произвольного разрыва.
2. Структура решения. Нетрудно видеть, что во входных данных сформулированной задачи о распаде произвольного разрыва отсутствуют параметры, имеющие размерность длины н времени. Исходя иэ этого обстолтельства и основываясь на общих результатах, можно утверждать, что решение задачи о распаде произвольного разрыва является антомодельным, а автомодельная переменная. как и в задаче о поршно, имеет нид $ =з/1. Как известно (см. гл. 1, ч 7), класс такого типа актомодельных решений для уравнений газовой динамики исчерпывается постоянными решенилмн, в том числе соединенными череа разрыв (контактны1г или ударную волну), а также центрированными простыми волнами разреженил. Таким обрааом, в результате распада разрыва в каждую сторону от места его первоначального расположения будут распространяться ударные волны и простые волны раареженил, причем в силу свойства антомодельности структура решенил во все моменты времени 1 - О будет оставаться одной и той же.
Несложные рассуждения показывают, что в каждую сторону от раарыва может распространяться не более одной волны, ударной или центриронанной волны разреженил. Действительно, как известно (см, гл. 1, $7), фронт ударной волны распространяется относительно газа перед волной со сверхзвуковой скоростью и с дозвуковой относительно состояния газа, образующегося за полной. В волнах разреэг~опия любая точка профилл, н том числе н фронты (передний и задний), движется с местноа скоростью внука. Имея в виду зги факты, рассмотрим некоторые гипотетические ситуации. Пусть в результате распада разрыва возникло течение, в котором вслед за ударной волной движется центрированная волна разрсжспиа. В силу отмеченных нише соотношений между скоростлмн фронтон, через определенное время волна разрежения нагонит фронт ударной волны.
Том более это произошло бы, если вслед за первой ударной волной двигалась бы вторая ударная волна. В тот момент, когда нторая колка (разроя*спин нли ударная) догонит фронт первой ударной волны, изменится качественная структура решеннл: число нолп каждого сорта, их скорости и т. д., что противоречит условию антомодельности. Поэтому, если н результате распада разрыва образовалась ударная волна движущаясл направо или налево, за ней никакие другие волны распространятьсн не могут. Аналогично эа волной разреженил не может распространлтьсн ударная волна. Ситуация, когда за волной разреженил следует вторая волна разрежения (рис. 1.33) в задаче о распаде разрыва такжо возникнуть ие может.
Дело в том, что задний фронт первой волны разрежения (точка В) и передний фронт второй волны (точка С) движутся с одной и той же скоростью, равной скорости звука н состояния У. Поэтому расстояние между пнмн остаетсн постоянным (г = салаг). В силу автомодельности конструкция решения и, в частности картина, изображенная на рис. 1.33, должна оставаться подобной во все моменты времени г) О. В то же время при малых г 0 формирующееся решение занимает исчезающе малую пространственную область. Это приводит к выводу, что величина г должна быть равна нулю (1=0), а в Рвс. 1.33 и~и Б И К Рлс.
1.34 сторону распространяется ударная волна, в другую волна разрегксння (см. рис. 1.34). Состояния газа, вознпка1ощие за правой и левой волнами, долгкны быть либо одинаковыми, либо стыковаться через контактный разрыв (К), который образуется в той массовой точке (частице), где разрьи~ находился в начальный момент. Напомним, что па коптактпом разрыве непрерывны нормальная к плоскости разрыва компонента скорости и давлепае, остальные термодинамические функции могут претерпевать разрыв.
Заметим, что вариант решения задачи о распаде разрыва, когда направо распространяется волна разрежения, а напевов ударная волна, принципиально не отличается От случая, пред- 84 этом случае две двнл'ущнеся друг за другом волны разрежения фактическл вырождаются в одну простую центрированную волну разрежения. Итак, искомое автомодельное решение аадачи о распаде яроизвольного разрыва представляет собой одну иа трех возможных комбинаций волн, расходящихся от места первоначального расположения разрыва: в каждом направлении движется по одной ударной волне (УВ), по одной волне разрежения (ВР); в одну (8.1) где и и р отвечают значениям скорости и давлевил, возникаю- щим в газе после прохождения волны разрежения, со, ро — ско- рость звука и плотность на фоне.
С учетом условия постоянства энтропии в каждой частице газа Р Ро РУ Рт соотношение (8.1) можно преобразовать к интересующему нас виду: 7 †17-1 Р— Ро)1 ) ° (и — и ) ~о (8.2) Очевидно, в (8.2) показатель степени болыпе единицы: 27/(( — 1) ) 1. Раиопство (8.2) представллет собой уравнение адпаоатьг Пуассона, записанной для центрированной простой волны разрежелия, распространлющейся по фону по, ро направо (и ~ по).
Характерные особенности поведенил этой кривой на 1ьп~скастп (и, р) представляет рис, 1Л5, и. Точка с коордип ~- тами ио, ро отвечает фоновому сосэолиию газа (состояпню О) и пазыоаотся центром адиабаты, Сапа аднабата расположена и диапазоне О = р =- ро и пересекает ось и в точке во — 2со1'(7 — 1) (напомним, что величина 2со!(7 — 1) равна скорости истечения газа в вакуум). Нетрудно вычислить наклон этой кривой в точке, являющейся центром адиабаты: 7ГР ~ (8Л) ,ГО,7=7о 85 ютанленного на рис. 1.34, б, и потому отдельно не рассматривается.
3. Адиабата Пуассона и адиабата Гюгоиио иа фаэовой плоекости. Анализ решеннл задачи о распаде произвольного разрыва графически удобно проводить на фаоовой плоскости состояний (и, р). В этих переменных, и отличие, например, от плоскости (11. р), контактный разрыв, иозппкающии в решении этой задачи, точнее два состояш|л среды, стыкующиеся через контактный разрыв, представляют собой точку. Выведем в переменных и, р для случал идеального газа уравнения для адиабат Пуассона и Гюгонио, которые необходимы длл количественного решения задачи.
Обратимсл сначала к уравнению для адиабаты Пуассона. рассмотрим простую центрированную волну разреженил, распространяющуюся в положительном направлении оси з по фоновому состоянию газа с параметрами во, ро. Интегрируя выведенное для этого случая уравнение (7.10) с учетом соотношения для идеального газа (7.11), получим Р , о' о о- ~со оо Ъ 7- а Рис.
1.35 место точек на плоскости состояний, в которые газ может быть переведен из фонового состояния О посредством простой волны разрежения. На рис. 1,35, 6 изображена адиабата Пуассона Ооо, лли певтрировапных простых волн разрежения, распространяющихся по состонпию О налево. Вта кривая является зеркалыоым отран;опием рассмотренной выше адиабаты Ооо, Ее уравнение имеет вид (и ) ио): т — 1 17 ! ( = р.[1 — — ( — )~ зоо (8.4) Объединяя (8,2) и (8.4), запишем — (О) 1т — о — и= Перейдем к построению адиабаты Гюгопио, отвечающей удариым волкам.
В качестве исходных соотношений возьмем равеиства (5.9), (5,10) и (5,10) из гл. 1: ч и (8.5) "о "о ао и о — — — =Р— р ч ч (8.6) Ро+ оР "о Р+ Ро (8.7) 86 Он определяется массовой скоростью звука ка фоне. Символ Уф рядом с кривой ва рис. 1.35,а следует расшифровывать следующим образом: речь идет об адиабате Пуассона, отвечающей простым центрированным волнам разрежепил, распространяющимся ло фону О (нижний ивдекс) налраво (стрелка пад буквой). Построеннал адиабата представляет собой геометрическое сде и = о — Ы, ио = оо — Ы, Ь = —, Ы) — скорость фронта удар- 7 7+« ной волны.
Рассматриваютсл ударные волны, распространяющиеся по фону оо, ро, о, р — состояние, возникающее ва фронтом волны, Подставляя функцию ть выраженную из (8.5), в (8.6), получим и', + ии, = гь (р — Р,), и далее, учтя выражение длл и и ио, имеем (оо — Ы)'+(о — Ы) (оо — 1а))= Ч(Р— Ро). Отсюда выводим соотношение длл скорости фронта волны: "о у + о (8.8) о Из (8,5) и (8.7) следует равенство ро+ о, — Ю= ~+а~,' подставив в которое (8.8), приходим к квадратному уравнению (1 — й) Р— 2(1 — а) Ро+ ~ Р— ~й „Ро (1 и) Ро по ) Г па (8.9) Здесь, как и ранее, 0= и — оо '(8 10)' Решение уравнения (8,9) дает искомую формулу для адиабаты Гюгонио." Р .Р = Ро+ (8.11) Знак «+о перед корнем выбран из тех соображений, чтобы ври У = О (о = -ио) давление р равнплось фоновому: р = ро На основании теоремы Цемилена (см.
гл. 1, $ 5) существуют только ударные волны сжатия и повышенил У о н давления, поэтому в (8.11) роро. На Рис. к36 плоскости (о, р) (см. рис. 1.30)адиабата пзображаетсл припоя, имеющей две потап, потэь оео (У) О, о )оо) отвечает ударным волнам, распрострапягощимся по фоновому состоянию О направо, ветвь Яо (0<0, о < во) — волнам, дпижущлмся налево. Эти ветви расположены симметрично 87 относительно вертикальной лрлмой и — ио. Угол наклона ветвей в центре адиабаты (ио, ро) составляет = ~ "ара: (8Л2) оа ««« где знак «+» соответствует ветви «ео, а знак « — » — ветви Яо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
