А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 17
Текст из файла (страница 17)
1.26 и рис. 1.27, а) и задвий (точка В) движутся с местными скоростями звука. Их траектории ва плоскости (г, г)— прямые ОА (з = сере«) и ОВ (я = с~р~8). Сопоставляя этот результат с (4.33'), убеждаемся, что зти прямые валяются С"-характеристиками. В точках Л и В, где «ошиваются» встриэиальвое рошевие с тривиальвым, производные всех параметров течения терпят разрыв, в то время как сами эти параметры вепрерыввы. Разрывы такого типа вазывают елаоыми, в отличие от рассмотренных выше силы«ых разрывов (ковтактвых разрывов и ударных волн), ва которых испытывают скачки звачевия самих параметров.
Факт, уставовлепвый нами выше, справедлив и в общем случае — слабые разрывы движутся вдоль характеристик; скорость их распростравевия совпадает с местной скоростью звука. Область между точками А и В есть волка разрежения, плот- вость вдесь падает, а частицы газа приобретают отрицательную скорость, измевнющуюсл от нуля до величины — Уе.
Ширина этой области пропорциовальва времени (сере — с~р~)». У поршня образуетсп зова газа с параметрами рь сь и~ = — Ое. Ее размер также возрастает пропорциовальво времеви. На рис. 1.27,б для сравнения приведевы картинки в переменных Эйлера. Здесь луч ОΠ— траектория поршня. На фазовой плоскости в зове волны разрежения (мел«ду линиями ОА и ОВ) С -характеристики являются лучами, расходящимися веером из точки О.
Течевия такого типа ваэываютса цснтрирооаииыми простыми волками. В остальных зонах фазовой плоскости С»-характеристики параллельны соответственно прямым ОЛ пли ОВ. Итак, построеввое нами решевие задачи о поршве, выдэигатощемся из газа, является цептрированпой простой волной разрежепкя. 1(ак видео из рпс. 1.20, такоо рюпепео можно построить только тогда„когда скорость поршпн заключена в диапазопо 0( ( Га=-2со~'(7 — 1). Еглп скоРость пРееышаот кРитическое значение Ге) Осе!(7 — 1), поршень отрывается от газа; между поришем п газом возникает эона вакуума.
Возникающее течение газа вазь;вается истечелием и вакуум. Частицы с координатой «=О движутся со скоростью и(0, г) = — 2се!(7 — 1), так называемое скоросп ~е осттчеиия е оакуум, плотвость этих частиц р(О, г) = О. 4. Решсппе задачи о поршие, вдвпгаемом в гаэ. Рассмотрим другой случай — поршепь вдвигается в газ: е (О, 1) = У ) О. ' Ег Попытка сконструировать решение так, как зто было сделано вылив, формально приводит к следующей картине (рис.
1.28). В области между $з и $! решение получается трехзначным. Зто не имеет физического смысла и свкдетельствует о том, что в данном случае непрерывного решения не существует. Решением аадачи о поршне, вдвигаемом в газ с постоянной скоростью, является разрыв — ударная волна. Ее параметры можно определить с помощью соотношений (5.23), воспользовавшись тем фактом, что скорость газа за фронтом волны известна и равна скорости поршня л! = Уа. Тогда скорость распространения фронта ударной волны есть 'Ю= — У +ф' ( — У) --с,.
7+1 — Г!т+1 ! 2 4 о ( 4 0); з Значения остальных параметров теперь определяются по общим формулам (5.23). Мы разобрали сравнительно простой вариант задачи о поршне, когда скорость поршня постоянна во все моменты времени а,д! 1 ) О. Такая постановка содерд'' жит определенные черты идеа- лизации. Действительно, пор- ФЕ) тень, который в начальный момент покоился, не может мгновенно приобрести коночную скогг л =р .
' .- рость, так как это связано с /= г дг ~„,.Е) действием бесконечно болыпих анл. Ргально, поршень в тгчс- ' ло-У 1 . Опроделе!!лого времени раз- У гоняется, прежде чем достичь ! заданного значения скорости. Рвс, 1.28 В общем случае при произ- вольном ааконе движения поршня аадача уже не автомодельна,— в оо формулировке полол!потгн дополнительные размерные параметры такие, как, например, время выхода поршня на режим постоянной скорости. Однако при некоторых специальных законах движения поршня автомодельные решения возможны и здесь. 5. Задача об ускоряющемся поршне. Рассмотрим задачу об ускоряющемся поршне, скорость которого изменяется по закону н(О, 1)= $'з1", (7.17) п > О, ге — размерная постоянная.
Поршень вдвигается в газ, образуются ударные волны, и теперь в системе уравнений гаводинамикп уже нельзя использовать уравнение нзоэптропичности (7 3). Запишем систему уравнений газовой динамики в виде (3.25') дЧ ди ди др дз дг р!) — — — — — — = — р —, с = —, (7.18) д1 д!' д1 дг' д1 дх' 7 — 1' где по-прежнсму г) = 1/р. Относительно начального состояния 78 газа для простоты предположим, что Ч=до, о=по=О, Р=Р»=0, в=во=О, (7.19) т.
е. газ «на фоне» холодный или, что то же, его давление пренебрежимо мало по сравнению с давлением, возникающим в возмущенной области. В качестве автомодельвой переменной здесь удобно выбрать чо $- —— и с"+с' о (7.20) а все параметры течения газа, входящие в (7.18), искать в виде и(г, С) = Роа(9) С", «1(с, С) = Д,й($), р( с)= — 'ИВ)ссо (7.21) чо <«<о (с) С»о Т(г, с) = сс О($)с Краевые условия для полученной системы обыкновенных дифферепцссальпых уравнений дают формулы (7.17) а(0)= 1, (7.23) 79 Размерные множители, а также показатели степени у времен- нйх множителей в (7.21) выбраны иэ соображений размерно- сти.
Кроме того, приняты во внимание краевые условия: сгйс формула для скорости в смысле явной зависимости от времени должна «стыковаться» с (7.17). Отсутствие зависимости от времени в формуле для «<ю «и< у тем обстоятельством, что удель- '»с«с ный объем на фоне ве изменя- с< <с=« ется со временем. Остальные параметры фона: давление, скорость, внутренняя звергия рав- Рис. С.29 ны нулю, и для них подобное условие выполнимо автоматически при любой зависимости от с в (7.21). С помощью (7.20) и (7.21) система уравнений (7.18)' приводится к <автомодельному виду»: й~ ла — (и -',-1)« — „+ — = О, 'со — (и-, '1)о — „+ — +па=0, «а <С(1 (7.22) «о «о .ь ла — (и + с) с = + () =- + 2пе = О, н.с с = РС«!(7 — 1).
ибо точка $=0 при 1)0 соответствует поршню, и (7.19) Ь(й«)=1, а(а«) О, РД»)=0, е(ф«)=0. (7.24) Значение автомодельной переменной $«, где происходит «сшивание» решения системы (7.22) со значениями на фоне (7.24), заранее неизвестно. Это «сшивание» происходит разрывным образом через ударную волну. Положение фронта волны по массе на любой момент времени определяется величиной а» в соответствии с (7.20) ге(1) = — Ц1 ~ ««~-г чо Отсюда легко вычисляется массовая скорость фронта ударной волны н«е «ьо « Й = — = (и + 1) — « и и ее эйлерова скорость, т.
е, скорость распространения в физическом пространстве: Ы = Вт(» =(и+ 1) $»$«г". (7.25)' Параметры газа за фронтом ударной волны при Ц= де — 0 связаны со значениями параметров на фоне при 3=5»+0 посредством соотношений Гюгонио (5.22) (рис. 1.29) . Подставим и~'л г »е=/ < 2~«<йе х,г= ут 1 г г юрЮ 1,<1,.<1л Рас. 1ЛО формулы (7.21) прп з = $«+0 в (5.22); учитывая выражение для скорости (7.25), получим а, = с<(<« — О) = — (и + 1) -„, (1~ = 6(6» — 0) = —,,(и+1) йа (7.26) й, = й ߄— 0) = т —, е, = е(ń— О) = т ., (и + 1)«Е,'.
Таким образом, построение автомодельного решения задачи об ускоряющемся порптно свелось к исследованию системы обыкновенных дифференциальных уравпепий (7.22) в области 0 ( < з с з« вЂ” 0 при условиях (7.23) и (7.26). Аналитическое решение здесь получить не удается. Тем не менее провести чис- 80 ленное интегрирование не представляет труда. Удобно решать. задачу справа налево от точки й = $« — О, где значения всех функций известны (7.26). Левое условие (7.23) «пристрелизаетсл»; «параметр пристрелки» вЂ” положение фронта волны $з, которое пока осталось неопределенной величиной.
Типичное поведение кривых решения в автомодельыых переменных и в физических переменыых з, ~ представлено на рис. 1.30, а, б (сплошные линии), Мы рассмотрели систему уравнений (718) без диссипативных членов. В принципе можно было бы провести рассуждения с учетом, например, вязкости (6.5) (штриховые линни на рис. 1.30, а, б). Правда, в этом случае, длл того чтобы задача осталась автомодельной, приходится вводить явную зависимость коэффициента влзкости от времени, Это снижает ценность такого решения с точки зрения его физического смысла. Однако такое решение может быть использовано в качестве теста при оценке свойств того или иного численного метода расчета уравнений газодинамики.
й 8. Распад произвольного разрыва 1. Постановка задачи. Проведенный в $ 5 анализ показал, что не любой разрыв гааодинамических параметров течения является разрывным решением уравнений газовой динамики. Для этого требуется, чтобы на поверхности разрыва выполыялись определеныые соотношения (соотыошения Гюгонио), связывающие значения параметров газа по обе стороны от разрыва и выражающие непрерывность потоков массы, импульса и энергии.
Ясно, что если за счет каких-либо внешних воздействий в среда будот создан разрыв, ые удовлетворл~ощий соотношепилм Гюголио (произвольный разрыв), то далее в таком виде он существовать не сможет,— возникнет некоторое газодинамическое течение, подчиплющееся уравненилм газовой динамики. Если в математической модели среды отсутствуют дпссицатизные факторы, то развивающееся решение может содержать разрывы— р рзи:" р« р сс ударные волыы и контактные разрывы, удовлетворяю- 5 щие соотношенилм Гюгонио.
Описанный эффект и составллет существо лвленил, на- вис. ьЗ« зываемого распадом произвольного разрыва. Задача о распаде произвольного разрыва представляет но только теоретический интерес, результаты ее решения ямоют многочисленные практические приложения. Так, на рис. 1.31 изобрая;еыа схема «ударной трубы» — установки, используемой в лабораториях длл со»данил ударных волы, быстро движущихся газовых потоков и т. д. В части трубы (а), отделенной диафрагмой (с)„каким-либо способом создаотсн газ З;, «с ы»ссзз, ю и низ~в Я1 с повышенным давлением (р~ ) ро, за счет взрыва, нагнетания компрессором и т.
д.). В начальный момент диафрагма, отдсллющая этот газ от «фона» (6) (газа ири обычных условиях), прорывается, и в этом месте возникает разрыв, не удовлетворлющий условиям Гюгонио. В реаультате его распада по «фоновому» газу вправо будет распространятьсл ударная волна, интенсивность которой, как следует иа общих соображений, определлется равностью давлений р~ — ро. Однако провести детальный расчет характеристик этой ударной волны и тем самым построить «теорию ударной трубы» можно лишь на основе решения задачи о распаде разрыва. Иереходл к математической постановке задачи о распаде произвольного разрыва, условимся считать ее одномерной в приближении плоской геометрии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
