А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Объединяя адиабату Пуассона Уо и адиабату Гюгонио Мо, получим кривую (рис, ».37), представляющую собой геометрическое место точек на плоскости состояний (и, р), в которые можно перевеств газ из фонового состояния (во, ро) с помощью простой центрированной волны разрежения или ударной волны Ра оа '-'«о! Рис. К37 Рлс.
й38 т. е. газодинамических течений, допускающих автомодельное представление с леременнои с =.«/г. Разным точкам втой кривой соответствуют волны разной интенсивности, причем построенвал привал отвечает волнам, распространяющимся относительно фона направо. Заметим, что, в силу условий (8.3) и (8.»2), адиабаты Яо и «ео имеют в точке (ио, ро) общую касательную. Будем обозначать построенную гладкую кривую через и!о. Аналогичную кривую можно построить и для волн, раслростраплющихся колесо, комбинируя адиабаты т«о и Мо. й«. Построение решения.
Приступим к решению задачи о распаде произвольного разрыиа, прнииман за исходные данные картину, изображенную на рис. ».32, б. На плоскости (и, р) состолния среды справа и слева от первоначального разрыва даются точками 0 и 1 (рис. ».38). Построим кривую .Фо, соответстзуюшу!о волнам (разрежения и ударным), движущимся по состоянию О направо, и кривую .Ф! — для волн, распростраплюшихся по состоянию 1 налево.
Как обсуждалось выше, только такие волны могут возникать в интересующем нас решении задачи о распаде разрыва. Очевидно, состолние газа, возникающее за волной, идущей направо, будет лежать на кривой Фо, а за волной, движущейся по состоянию 1 налево,— на кривой .Ф<. Возникающие состояния, как говорилось в п. 2, должны быть либо одинаковыми, либо стыковаться через контактный разрыв. В любом случае зти состояния изображаются одной и той же точкой на плоскости (и, р). Очевидно, такой точкой может быть единственная точка пересечевил кривых .о<го и .М<,— точка К. Этн точка лежит на ветвях Мо и М< кривых .оФо и,Ф<. Поэтому при указанном взаимном располоя<евии начальных состояний О о,ь-.д< « Рнс.
1 39 и 1 (рис. 1.38) в результате распада разрыва направо и налево и< йдут дю< удароью нол:по (УВо и ХН<) (см. рпс. 1,39), а н месте расположения первоначального рн:<рыва образуется контактный разрын К с параметрами р», и». Как видно, такой картине соотнотствует следующее соотношение между значениями давление р; ) ро, р» ) р<. Плотность и температура ва контактном ралрыьс могут претерпевать разрын ((<отар<. 7оФ Тъ, 'см.
рн<, ).3<),а),Траектории фронтов ударных воли, а также контактного разрына в лагрнпженых массоных и в зилероных коорди. интзе схематически указаны ва рис. 1,39, б и в. Для количественного расчета параметров, возникающего в результате рас«нлн точения, следует в данном случае приравнять и1юньн«асти соотвогиевия (8.11), записанного длн правой и левой ударной волны: т, 1 (н<г о«), < / (н» вЂ” "'„) 16у< «ь и, (7+1) 1 у.
— 1 (ок '<) < (н» вЂ” ')о 1<8< 4 ц, 1т .11 ч< (8.13) Вслпчппа скорости и», определяел<яя ип этог11 уравнения, дает н<ымо;»ность нычислить с помощью (8.11) давление па контактном разрыве р„, и далее все остальные параметры течения, < включая скорости ударных воли Ыо и ос<<. 89 Изменяя взаимное расположение на плоскости (в, р) точек 0 и 1, отвечающих начальным данным аадачи, можно получить и другие разновидности распада разрыва.
Используем для атой цели следующий прием: зафиксируем состояние гааа 0 справа от первоначального разрыва, а в качестве состояния 1 рассмотрим поочередно точки А, В, С, 1), Г, расположенные при одном и том же аначении давления р = р, (рис. 1.40). в Ъ Ряс. б40 Для случая С поведение адиабат .зса и,Ф~ указано ин рис. 1.41, а. Точка их пересечения К лежит на ветви Зйе адиабаты,иге и на ветви .У, адиабаты .Фь Следовательно, реаультатом распада будет ударная волна, идущая направо, и волна разрежения, движущаяся по состоянию 1 налево. Характерно, что в этом случае р~ > р о рз ( р .
Для количественного решения задачи необходимо иа уравнения у+ ~ Ьк ' ) ° / (гк 'а)' ~бу получающегося приравниванием правых частей равенств (8.11) и (8.4), определить величину скорости на контактном разрыве ик. Далее аналогично выше рассмотренному случаю вычисляется рю например, с помощью (8.4), и все остальные параметры течения. Точке Ь на рис. 1.40 соответствует расположение адиабат Мз и Мь изображенное на рис. 1.41, б. В этом случае в обе стороны от разрыва расходятся волны разрежения.
Отметим, что здесь р~>рх, ра>р . Количественно решение определяется с помощью формул (8.2) н (8.4). Итак, мы рассмотрели три основных типа распада гааодннамического разрыва, которые качественно были предсказаны в и. 2. Остаповимси еще на двух частных случаях. Первый соответствует точке и па рис. $.40. Картина расположевия адиабат представлена на рис.
$.44, в. Как видно, адиабаты Фо и,'зза не имеют общих точек. В этом случае в среде в результате распада разрыва возникает пустота, а решение представляет собой 'Ъо~ ок а ч Л! ! оа о Рс, у- ! Рве. т.4г две простых центрироваввых волны разрежения, посредотвом которых осуществляется истечение газа в образовавшуюся зону вакуума. Условием возникновения такого течевия является выполнение веравевства 2 ае а1~:Г('о + еь) Другой частный случай представляет точка В на ряс. 1.40. Здесь состоявио 1 лежит непосредственно ва адвабате .Фе, и, следовательно, точка пересечения адиабат К совпадает с точкой В, соответствующей состоянию 1.
Это означает, что в рассматриваемой ситуадии начальный разрыв не является произвольным,— состояния 0 и 1 связаны соотношениями Гюговпо, а исходный разрыв представляет собой ударную волну. При ~) 0 фронт атой 91 0 и и',, Рис, ОАз другу движутся две ударные волны одинаковой интенсивности, причем давление за вх фронтами известно р = р„(см. рис.
1.43, а). В момент времени л = О фронты ударных вола соприкасаются в точке г = О (рис. 1.43, б). Возникает газодинамический разрыв, причем параметры справа и слева от него 92 волны будет двигаться со скоростью, опредсляемой соотношением (8.8). 4. Примеры задач о распаде разрыва. Применим изложенную выше технику решения задачи о распаде разрыва для анализа конкретных примеров.
Рассмотрим сформулированную в и. 1 задачу о течении, возникающем в ударной трубе (см. рис. 1Л1 в 1.32,а). Точки 9 и 1, отвечающие исходным состояниям газа, которые разделены в начальный момент диафрагмой, расположены в этом случае ва оси Р: ил =п! =О, р|~Ро. Рис. 1.42 даст представление о располов!евин адвабат Мл и .Ф„а тав>не точки -т их пересечения К. Кав видно, решение задачи будет содержать ударную волну, распространяющуюся по фону направо, в волну разрежения, идущую в противо- 1~ У', положную сторону. Параметры ударной Сг ! волны несложно вычислить так, кав это было описано выше.
Однако и без расчетов нетрудно убедиться в том, что ииРас. З.42 тенсивность ударной волны определяетса перепадом давлений р! — Ро. Так, при дав- Ф ленин Рл — Рдточка К расположена дальше от точви О, нежели У К. При этом амплитуда волны будет больше: Рк — Р,)Рх — Рл и скорость распространения выше. В качестве второго примера рассмотрим задачу о столкновении двух однпаконых ударных воля. Пусть но однородному покоящемуся газу (фону) с параметрами гл =О, рл навстречу друг условиям Гюгонио не удовлетворяют: Р, = р», и» = — и«, р, = = Р«, и, =о«. Задача состоит в нахождении картины течения, которое будет формироваться при 1) О. Для построения решения используем плоскость (и, р).
Фоновому состоянию газа здесь соответствует точка Ф (рис. 1.44), лежащая на оси р. Ударная волна, движущаяся по фону налево, переводит газ в состояние 6, лежащео ва адиабате Г«огоапо,«е» при значения давления р = р«. Значение скорости газа в атом состоянии о = — и«определяется как абсцисса точки О. Лпззогичпо находится состояние 1, возникающее за фронтом ударной волны, распространяющейся направо.
Пара»гетры газа з атом о4 состоянии в силу симметрии задачи таковы: и = п«Р = Р*. ~ / Построенные состояния О и 1 ; и« являются исходными для реп«ения задачи о распаде разрыва с на- о чальными данны»«и, изображенными на рис. 1.43, б. Далее для нахождения решения используется алгоритм, описанный в предыдущем пункте: строятся адвабаты »«Г«и .Ф~ и анализируется положение точки их пересечения Е. В данном случае в силу симметрии задачи она лежит ва оси р Рис. $А4 (и« = О) на ветвях »и» и Мо Следовательно, после столкновения исходных волн возникнут две расходнщиеся ударные волны одинаковой амплитуды. Газ между их фронтами покоится (и« =О, а давление равно р = р«) (см.
рис. 1.43, в). Числовые значения всех параметров возникающего течения без труда определя«отея с помощью формулы (8.11) для адиабаты Гюгонио. Заметим, что «полозиву» построенного решения (наприлгер, область з ) 0) моя«ко рассматривать кзк решение задачи об отражения ударной волны от жесткой стенки, находящейся в точке з =О. В заключение параграфа укажем, что задача о распаде разрыва, решение которой строится аналитическими методалги, широко используется в качестве теста при апробации вычислительных алгоритмов. ГЛАВА П НЕКОТОРЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ РАЗОВОЙ ДИНАМИКИ В этой главе некоторые общие принципы теории разностных схем — однородность, консервативность и др.— применяются для построения полностью ковсерватинных схем одномерной нестационарной газодинамики.
С помощью численных расчетов проделгопстрировано, что такие схемы обладают рядом преимуществ по сравнению с другими схемами того же порядка аппроксимации. Вводный первый параграф содержит оснонные понятия н обозначения теории разностных схем. В 3 2 обсуждается понятие консервативности разностной схемы, которое получило дальнейшее развитие в принципе полной консервативности (~ 3). Из общого многопараметрического семейства слом нз основе сформулированного в ч 3 критерия выделено одиопараметрнческое множество полностью консерватинвых схем первого порядка аппроксимации но времени и единственная схема второго порядка.
З 4 посвящен однородным разпоствым схемам газодинамики, рассмотрен, н частности, метод сквозного расчета ударных волн с помощью искусственной вязкости. В 4 5 путом непосродстнеппых расчотон некоторых тестовых задач проводится сопоставление разностных схем различных типов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
