А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Б з 6 обсуждаются способы построения разностпых схем для ураннения теплопроводпости. й С Основные понятия и обозначения теории разностных схем С Общие замечании. Ренюнно многих задач газовой динамики представляет практический интерес для различных областей науки и техники. Однако уравнения газодинамики даже в простом одномерном нестационарном случае весьма сложны, н сложность эта заключена прежде всего в их нелинейности. Поэтому, несмотря на то, что аналитические методы решения задач газовой динамики достаточно давно н весьма интенсивно развиваются, существует ограниченное число проблелг, решенно которых удалось построить н явном виде.
Болыной прогресс н решении задач математическОй фиэпки вообще и газовой динамики в частности вызвало широков внедренно численных методов па основе применения быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ). Эти методы обладают болыпей универсальностью по сраенени1о с классиче- скими аналитическими методами и позволяют «вычислять» регвение с заданной степенью точности. Не следует, однако, думать, что числепвые методы целиком вытеснят традвциовные аналитические методы решения. «Точные» аналитические решения.
полученные для некоторых упрощенных «предельвых» иаризптон исходпой задачи, позволяют полнее представить механизм изучаемого явления, его зависимость от характерных параметров. Это з свою очередь дает возможность лучше отработать числепяый алгоритм. Кроме того, точные решения выполняют, кзк правило, роль тестов, которые используются при отладке программ для ЭВМ, а также для контроля точности расчетов. Таким образом, численные и аналитические методы должны разумным образом сочетаться при исследования задач. Следует отметить, что возможности совремеявой вычислительной техники ие беспредельны, и зто ограничивает класс задач. которые могут быть решены численно.
Так, если способы расчета пространственво одномерных вестациоварвых задач газовой дивамики в вастоящее время достаточно хороши разработаны и широко применяются, то дзумервые и том более трехмерные расчеты болыпих практически кажных задач пока вемногочислеввы. И все же. несмотря ва все оговорки, числсввые методы являются сейчас наиболее зффективвым и перспектяввым средством исследовавия задач газовой динамики. Среди всевозможных числеввых методов ваиболее разработанным представляется метод конечных разностей. Часто даже отождествляют зти ~овятия, хотя существуют и прочие численные методы такие, как, например, вариациовные методы (Ритца, Бубвова — Галеркина и др.).
Существо метода конечных разностей состоит в следующем. В рассматриваемой области простравства вместо вепрерыввой среды, состояние которой описывается фувкциями вепрерыввого аргумента, вводится ее развоствый аналог. Эта дискретвая модель среды описывается функциями дискретного аргумеита, которые определены в конечном числе точек па сетке. Дифферевциальные ураввения, т. е.
ааконы, в соответствии с которыми зволюцяонирует вепрерывная среда, заменяются соответствующими алгебраическими навечно-разностпыми соотношениями, В итоге дифференциальная задача замеиясггя (аппроксвмяруезся) системой разпоствых уранпсннй — разпостпой схемой. В дальнейших пунктах »того параграфа мы вапомним основвые понятия теории развоствых стем (подробнее см. (77) ). 2. Сетки. Искодиым пуяктом ири кис«роении разпостиой схемы явлиотси ззмояа области веирерыввого изменения аргумента некоторым конечным множеством точек, лежащих в атой области.
Это мпожество есть область определения функций дискретвого аргумента; ово называется разыосгыой сеткой, Соответстзепно фувкции дискретного аргумента, определенные па атой сетке, косят название сеточных фуыкций. 95 Для одномерной задачи простейспим примером пространственной разноствой сетки является равномерное разбиение отрезка [О, М[ ва Лс равных частей, длина которых есть )с = М/СУ (равномерная рагностная сетка). Отрезок [О, М] можно рассматривать, например, как область изменения лагранжевой массовой переменно!! в пространственно одномерной задаче, М вЂ” рассматриваемая масса газа. Точки деления зс отрезка (на рис.
2Л отмечены кружками), число которых з данном случае составляет с)с Ркс. 2.! су+ 1 (О с ' У), называют узлалси сетки. Расстояние между узлами»с с — г, = тс есть шаг сетки (по массе), величина 6 именуется часто массовым интервалом. Совокупность узлов составляет множество точек ы», где определяются сеточные функции: со, =-(»с = ск, )=О...., Ю. Наряду с узлами, которые называют целызш точками, часто рассматривают так называемые «нолуцелые точки» зс„с,» = з,+ + с),бс/с (па рпс. 2. ! онп отмечены кресюпсамп).
Множество полу- целы с точек также можно использовать в качество области определения сеточных фуккций. Нес»штря па );ажущуюся простоту, вопрос о рациональном выборе сетки заслужвнает вииманвя, С одной стороны. количество узлов сетки жопа)ельне брать большим, т. е. пользоваться мелкими, подробиынв сетками, Точнее передавая при этом область изменения дискретного аргумента, мы интуитивно рассчитываем лучше аппроксимировать непрерывное решение сеточными функциями.
Н тому же известные теоретические суждения о кэчестве разностных стем (аипрокспмацпя, сходпмость и т. д.) применимы, как правило, лишь для достаточно мелких сеток. С другой стороны, практические соображения, и в первую о э рель ограниченность быстродействия и обьема памяти !')!!.)1, заставляют обращаться к сеткам со сравнительно ноболыпим количеством узлов, В дальнейшем тезис сетке мы будем называть «гр)бьсмп» или «реассьссымсс». 1!одобпая конфликтная ситуация типична длн разпостных мего;юз, и выбор разумного компромисса зачастую определяется пе рекомендациями теории, а опытои и интуицией исследователя. 1!апример, при выборе сеток часто используют перазпомерпыг сетки *).
Если имее«ся априорная ппфоомацпя о решения, пзпрпмор известно расположение некоторых его особенностей, для «разрешесскя» которых необходима мелкая сетка, то есте- ') Сн. также и. 9 настоящего параграфа ственно, не увеличивая общего числа узлов, сгустить сетку в окрестности особенностей; в областях гладкости решения сетку можно сделать редкой. На рис. 2.2 представлен пример неравномерной сетки — ее шаг Ь> = а> ь> — а; ~,2> )г> = Л~ выбран переменным с тем, чтобы наилучшим образом передать пик решения и(г).
Однако к такой прием не универсален, — достаточно обратиться и с:>учаю, когда особенность решения перемещается по сотке. причем закон ес движения, как зто п>ще всего бывает иа практике, заранее неизвестен. Аналогично разностной сетке в пространстве определяется сотка по вроиеннбй переменной: о>, = (гь ) = О, 1, 2....; О„, — О = т ); т, — шаг сетки по времени, в общем случае зависящий от номера шага. Произведение сеток е> = а>а Х а>, =- ( (а „ О ), г, .> = =г, + А„С„~ = С+т„ >=О. 1,2, ..., А>,)=0, 1, 2, ..., за=О, г~=М, та=О) дает пространственно-вромелкую разностную сетку для численного решения од- р номерной нестационарной рис. 2.2 задачи (рис. 2.3). Набор узлов (г,. О) при 0 - > - А> и фиксированном ! называют )-лс срвмеииылс слога> сетки ы. Иногда расс>>атривают аполуцелыс» слои, отвечающие значению г,ап> = 0+ 0.бт,. Узлы, Располол>енпь>е па вертпкальп>ах прям»х > = 0 и > = А>, называют грани >явами.
Значение сеточной функции у в некотором узле сетки (зв а,) будем обозначать чоро> у или р: у (а>, г>) = д,' =- у. Соответственно у(ы, >, О) — у, > у(-~- 1> н у(>„Са>) — у, — р. 3. Сеточные функции. Нормы в сеточном пространстве. Разпостпая задача строится с це:шю нахождения сеточной функции у. определенной па введенной сетке и близкой к решению и соответствующей дифференциальной задачи.
Соточяая функция у есть функция дискретного аргумента. решение дифференциальной задачи и — >(>уцкция непрерывного аргумента. Опи принадлежат разным функциональным пространствам. Поэтому возникает вопрос, как судить о степени близости зтпх функций. Обычно поступают следующим образом. Рассматривают значения и в узлах сетки, что дает некоторую сеточную функцию а. а. Самарааий, Ю, и Попав 07 иг, являющуюся, как гонорят, проекцией решения и ва простраиство сеточных функций, и близость функций у и и харалтеризуют неличивой ()у — и»1, где (! (! — векоторая норма н пространстве сеточных фувкций.
Естественно брать н качестве такой вормы некоторый сеточный акал»»г пармы н обычпом про— 4 — » — е» вЂ” » — -» — г стравстно. В теории разпостпых схем широко используется, например, се— -» — г- — — ' Ф вЂ” - -+в точный аналог кормы н пространстве вепрерын„1" 1»т "- ! гг') ))( ' ' ! ~' ~ пых функций С (ва фиксиронавпом временном — - »г — -» -) -~-~ — т — - ~-~ (! У) (! = шах ( у', (, аг»к»г 1 — -г— а также сеточный авалог нормы н Лг 1»г — » '( 11г и-1 д» )(уд)=-= ~ Х У)'й) О близости решений развоствой и дифферевциальвой задач можно говорить в том случае, когда величина )(у — иг(! веогравичевво уменьшается при бескопечвом дроблении сетки. 4.
Развоствая аппроксимация дифференциальных операторов. Освонвой момент н постановке развостяой задачи состоит н переходе от дифферевциальвых уранвевий, описывающих энолюцию сплошной среды, к соотнетстнующим соотяошевиям для сеточных фувкций. В классическом анализе произнодпая от функции вопрерынного аргумевта определяется следующим образом: ди,. и (г —,'- Ьг, ») . — и (г, ») (1.1) Дг О Ьг Ряс. 2.3 Для функции дискретпого аргумента па фиксиронаппой сетке повятие подобвого предельного перехода тернет смысл. Прп определевии развоствой произнодвой вместо отношения бесконечна малых ограничиваются отвошевием ковечвых разпостей. 11усть г»», г», Ю» — три последовательных узла ранвомервой развоствой сетки по простравстну с шагом й= г,㻠— г» = г, — г»-» (рис. 2.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
