А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 22
Текст из файла (страница 22)
8. Сходимость и устойчиность раапостпых схем. Пусть р — сеточная функция, ввлвющаяся ре<пепием разностпой задачи, а их — проекция в пространство сеточных функций решения соответствующей дифференциальной задачи. Ес.тп в некоторой сеточной норме длв любого фиксированного г = <„= /вт пмеет а место условно >«<р<в — и,'в,>'-е (> лрн Л вЂ” >- О, т — > <> (/в — ~ аа), то говорят, что решсппс разпостпой задачи сходится к решению днффсропцвальпой эндвчп (ревностная сгсэ<а сладит<я), Если прп этом „</ — и„!' = О (йв> + т"<), в т<> говорят, что разкостная схема сходится со скоростью 0(й > + + т ') пли имеет по/<ядоя топ<ости ><ч по пространству и пт — по времени. Сходпмость считается одним пз основных критериев качества рээпостной схемы, обеспечивающим правильное воспроизведение искохшго репи;пив па сотке. К сожалешпо, это свойство схемы, как правило, трудно проверить теоретически, в особенности для наэннадаых задач.
Обычно для докаввт< псстнв аходвмоатп проверяют другое свойство схемы, пваываемое устойчивостью. Под у<тайчивостыа понимают >п>прорывную зависимость решения раэностнай задачи от входных данных (в канем случае от начальпы< и граничных условий). Запишем спмволнчоскн разпостпу>о схему, аппрокснмн;>ую<цую дш(в)>ереэпнвтьнув> задачу /и =- /, в воде (1.11) <'.<р = <р. Это представление включает пачальпые п краевые условия (<р— аппроксимация входных данных /) . Пусть у — решение разпостмой 104 задачи с измененными входными данными ср Есу =ф (1Л2)' Разиостная схема устойчива, если существует постоянная К ) О, не зависящая от шагов сетки Й и т (при достаточно малых значениях Ь и т) и от выбора ф, ф и такая, что имеет место неравенство 1у — уР ( К)ф — фз.
(1Л3) Заметим, что сеточные пармы в левой и правой частях этого неравенства могут быть различными. Из устойчивости и аппроксимации схемы вытекает ее сходимость. Для доказательства етого факта рассмотрим невязку тр = т лил — Елу = Ььил — ср. (1.14) Выразим отсюда таил = ф + ф = с(ч (1Л5) В силу определения устойчивости (1.13) имеем, исходя из (1.11)' и (1.15), зттс — у( ~ Ктср — фр =Ктфт.
Чтобы выразить величину ненязки т(ь добавим к праной части равенства (1.!4) слагаемое (с — Ли)ь которое тождественно равно нулю. Получим ф =(Ели,— ср)+(! — Бит) =(!з — ф)+(1,ит — (Ьи)т) ° Теперь условно устойчивости приобретает вид !~у — и,~~ -К(рф — Д+Иаис — (<5и)Л. (1Л6)' Таким образом, ври наличии аппроксимации, когда 1ф — Д— О п РЦиз — (< и)лр-~ О, при дроблении шагов сетки условие устойчивости (1.16) обеспечивает сходнмость схемы зу — и„) О. Для общего случая теоретические доказательства устойчивости разпостпых схем газодинамики, т. е.
априорные оценки вида (1.13), в настоящее время отсутствуют. Рассмотрение проводится обычно для простейшего случая акустического приближения (см, подробнее гл. П1). Явпьте схемы обладают устопчивостью лтт~ттт, при достаточно малом <лаге сетки по времени т, удовлетворяющем неравенству типа т ( тк, где тк — некоторая кртттическап величина нремеппого шага, тв = й((рс), (1.17'* с — скорость внука. Пеявпые схемы формально обладают большей устойчивостью, однако их реализация с помощью итерационных процессон порождает дополнительные ограничения па шаг т того н<е порядка, что и (1.17).
105 9. Неравномериые сетки. Выше, вычисляя погрешпость аппроксимации, мы предполагали, что сетка является равномерпой. В и. 2 этого параграфа указывалось, что встречаются ситуации, когда целесообразпо использовать перавпомерпые сетки. В этом случае вычислепие иогрешпости аппроксимации приводит к некоторым осложкепиям. Для иллюстрации ооратимся к разпостному оператору второй производпой.
На перавпомеряой сетке его выражепие выглядит следующим образом Фупкция у здесь отпесеча к иолуцелым точкам. Как будет видпо в дальпейшем, именпо так аппроксимируется в уравпепии эпергии член, соответствующий процессам теплопроводности. Символ у-, †, будем использовать для обозпачепия разкостпой производной второго порядка па керавпомерпой сетке. Погрешпость аппроксимации указаппого оператора выглядит так З»ц Ь вЂ” 2Ь» + Ь,, Ззц ( д )» х(з" 1) 4$ х(хь»)+ ( )' где й — пекоторая средняя величипа шага сетки.
Для перавпомерпой сетки А» = »+' ' ' ' ' = О (1). Ь. — 2Ь.+Ь 4Ь» Это означает, что фактически аппроксимация в точке (локальпая аппроксимация) отсутствует. Таким образом, сильпая неравномерпость сетки, когда соседние интервалы резко отличаются друг от друга по величине, вредна. Остаповимся на одном способе построения перавиомерпых сеток.
Пусть»»;и» = д»»», т. е. укрупнение (д) 1) или дробление (д < 1) сетки осуществляется ио закопу геометрической прогрессии со знаменателем д (вообще говоря, д может зависеть от номера »»птервала »). Тогда л -2 01»7 (у- 11" $у и. паиример, для д ) 1 имеем: ири д =1,1 А .= 0.002. т»ри д =1,2 А = 0,008, ири д = 1.3 А = 0,01.» и т. д. Видпо, что если д пе сильно отличается от едипицы (д < 1,3), то и локальиая иогрешпость будет леве.»ика. Подобные сетки ищроко используются ка практико. ()тметим еще, что в задачах, где 1»олучить теоретические доказательства сходимости схемы ие удается, часто используется следюощий ири»м.
Проводит несколько расч»тон задачи, последовательно сгугцая сетку, т. е. увеличивая число узлов сетки и соответственно умепьи»ая щаг. На осиоваиии поведения решений, полученных таким образом. судят о сходимости схемы, о порядке »ей (1.20) (1. 20') (уг).— в Так жс доказывается к формула (1.20'). Аналогичная формула справедлива и для разностного дифференцирования по времени: (уэ) ю = уос + оуг (1.21) 107 ее точности. В случае равномерных сеток их сгущение произво- дится тривиальным образом, например путем деления шага по- полам. Если же специфика задачи требует использования нерав- номерных сеток, то сгущение следует проводить достаточно акку- ратно с тем, чтобы обеспечить одинаковую степень неравномер- ности для всех сеток.
Для этого можно воспользоваться так называемыми пвазиравномерными сетками, которые обладают следующими свойствами. Пусть Ь,, Ь =1, 2, ...,— последова(в) тельность сеток. Тогда требование квазиравномерности состоит в том, что выполнено условие ) Ь|"„., — Ь'; '~ =.. а(Ь;"')~, где а ) 0 — может зависеть от номера Ь но не зависит от Ь, либо существует такая постоянная Мв, что а ( Мв для всех Ь, 10. Справочные данные.
В заключение этого параграфа пере- числим введенные в пем обозначения для сеточных функций, так как они будут широко использоваться в дальнейшем: У (еч 1() = У( .= — У У (И .Ь Ь 11) = У(Л г = У (-)- 1), У (еч г)+~) = У( = У1 '.~-1 1 У("+ 2 ' ')) (1.18) у(+ 1) — у у — у( — 1) у — у а ' У) у у(+1] — у( — 1) у") = ау + (1 — о) у 2ь Ниже при проведении выкладок нам потребуется формула пе- рехода от одного веса к другому уиэ уоэ +(и вз) ту, (1.19) Справедливость ее нетрудно проверить, раскрыв безындексные обозначения в соответствии с (1.18).
Будут использоваться также формулы для разпоетноео ди4- (реренцирования произведения сеточных функций (№)э =- У (+ 1) эв — эув (уэ)7 = у( 1) '-, Докажем первую из этих формул: у (+ 1) в (+ 1) — ув у (+ () в (+ 1) — у (+ 0 в + у (.
)- 1) в — ув з 2. Анализ некоторых разиостных схем газовой динамики. Понятие консервативности схемы 1. Пример построении разностпой схемы газовой динамики. В предыдущем параграфе описаны некоторые списооы аппрокси- мации одного из дифференциальных уравпепий газовой динами- ки — уравнения движения конечно-разпостпыми соотношениями. Распространив один пз этих способов на остальные уравнепия, Мы получим некоторую разностную схему численного ре1пения одномерных нестационарных задач газовой динамики. Как отмечалось в гл, 1, дифференциальные уравнения газоди- намики допускают различные формы записи, выражагощие опре- деленные самостоятельные физические аспекты явления, эквива- лентные с математической точки зрения, т. е.
сводящиеся друг к другу посредством равносильных преобразований. При построе- нии разпостной схемы на первый в«гзяд все эти формы пред- ставляются равноправными, и поэтому для аппроксимации может быть выбрана любая из них. Выберем, например. следующий впд системы дифференциаль- ных уравнений газовой динамики в переменных Лагранжа: да дг дг д« ' (2.1) — = и. д1 (2.2) дг — — р —, дя д«' (2.4) р = рЛ7', г = — 7'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
