А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Полусумма (3.9) и (3.10) дает еще один вид ( з + —,(и' + и'(+ 1))~ = — (р~„~пми~),. (3.11) В рассматриваемой схеме справедливы три разповидпости дивергентпого уравпепия энергии, и тем самым три различпые формы закона сохрзиеяия полной энергии. Они отличаются способом записи кинетической энергии и работы сил давления. Таким образом, каждая из них определяет свою дискретную модель явлепии.
Отметим, что уравпепия (39) и (3,10) в силу эквивалептпости уравнению (34) имеют второй порядок аппроксимации по пространству. В то же время отдельные члепы этих уравпепий аппроксимировапы с первым порядком. При дополнительном условии оз=оз (3.12) уравпепие энергии с учетом уравпепкя неразрывности (3.3) сводится к следующему педивергептному соотношению; а, + р'"' (1/р), = О, (3.13) 118 которое аппроксимирует дифференциальное «энтропийное» уравде д /1) кение энергии — + Р— ~ — ) = О д« д« ~ Р / Итак, при сформулированных условиях (3.8), (3.12) схема (ЗЛ) — (3.4) одновременно аппрокснмирует различныс виды дифференциальных уравнений энергии, каждое из которых имеет непосредственный физический смысл.
В схеме выполнен и закон сохранения импульса, что следует из дивергентпости уравнения движения (3.1), которое фактически выражает это для одного интервала сетки /а за шаг по времени т ьг(т /ап( = (Р)+из Р« — па) т. Обратимся теперь к уравнению неразрывности. В гл.
1 показано, что в дифференциальном случае опо допускает различные .формы записи, эквивалентные математически, по имеющие раз.личную физическую интерпретацию. Проанализируем с этой точки зрения дискретный случай. Преобразуем правую часть уравнения (3.3) с помощью формулы (1.19) и уравнения (3.2): э~'~) = (и(~~) + (о, — о,) тэ«), = (х~ + (о, — оа) ти«), = хм + И', 6)г = т(оа — ог) и„. Отсюда следует, что лишь ири условии (ЗЛ4) оз оа, когда бУ тождественно обращается в пуль, в схеме (3.1) — (3.4) выполнено соотношение 1/р = х„ (ЗЛ5) или в индексной форме Ь!р)+«~а = х(+а — х';. (3Л5') Равенство (3.15) аппрокснмируст дифференциальное уравнение неразрывности в форме (3.33) гл.
1, которое мы назвали «законом изменения объема». Соотношение (3.15') наглядно иллюстрирует смысл этого занона применительно к массовому интервалу сетки. Опо часто попользуется в расчетах вместо уравнения неразрывности (3.3), При иссобл«одсинн условия (3.14) уназапное разпостпое соотпотпепие для объема иарушаетси. Заметим еще, что закон сохранения массы в схеме (3.1) — (3.4), записанной в лаграпжевых массовых координатах, выполняется тривиальным образом. Сформулированные пани условия (З.З), (3.12), (3.14), которые мы перепишем еще раз в виде о~ = о4 = а, оа = оа = о; = О.э.
(3.16) выделяют из обигсго семейства схем (3.1) — (3.4) одиоиарэмотричоское семейство (свободный парамотр а) (е) ~ хз з> (1 ) Ркы ~и~ /о,ы (3 17) « П9 Как было показано выше, уравнение энергии в этой схеме путем равносильных алгебраических преобразований может быть, сведено к недивергептпому виду е, + р' '(1/р), =О, (3.18) или к дивергептному виду (симметричная форма) (е + — (г' + г'( + 1))1 = — (р'~'г"")„(3.19) (3.22) (3.23) а уравнение неразрывности — к соотношению 1/р = х,.
(3.20) Для построенного семейства схем выполнены пе только раз- постпые аналоги основных закопав сохранения (массы, импульса. и полной энергии), как для классических консервативных схем, но также ряд дополнительных сеточных соотношений, необходи- мость выполнения которых диктуется физическими сообраяае- пиями. Схемы такого тииа были названы полностью кон- серватианььми [67]. Нарушение условий полной консервативно- сти (3.10) порождает различные дисбалансы, которые на грубых сетках для негладких решений достигают значительной величи- ны, и приводит к тому, что разпостная схема плохо моделирует в дискретном случае процессы, протекающие в непрерывной среде.
3. Анализ семейства консервативных схем. Мы ностроплк пол- ностью консервативную схему (3.17), исходя из семейства схем (3.1) — (3.4) с педивергептпым уравнением энергии, Подобные построения мы можем осуществить и па основе схем с дивергептпым уравнением энергии (консервативных схем). Возникает вопрос, пе получается лсс в этом случае другой ткп полностью консервативных схем.
Рассмотрим следующее многопараметрическое семейство: )а ) (3.21) а х, = и('а), (1/р)~ — и( а), ( е -р — (ьа + из(+ 1))~ = — (р(~а)л(~а)),. (3.24) Опо отличается от семейства (3.1) — (3.4) уравнением энергии, которое в данном случае обеспечивает выполнение закона сохра- нения энергии. Выясним, при каких условиях в этой схеме соблюдается ба- ланс внутренней энергии, для чего сведем уравнение (3.24) к пе- дивергептпому виду. Вычитая нз (3.24) полусумму уравнения (3.5) и уравнения (3.5), записанного в (1+ 1)-и узле, получим (а,) <аэл+ б~ (3.25) бЛ'= — т ((а, — 0,5) р(а )и~ — (а, — а„) (ра)~ и~ а)1,. (3.26) Отсюда следует, что в консервативной схеме (3,21) — (3.24) прп соблюдении закона сохранения полной энергии нарушен баланс внутренней зпергии.
Тепловая энергия газа е здесь изменяется пе только за счет работ снл давления, но такяге из-за фиктивных источников энергии. Дисбаланс 53', возпикающ1ш за счет рассогласованности отдельных уравнений схемы, имеет на гладких рошепиях порядок 0(т). Его структура аналогична структуре дисбалансного члена бМ' (3,6), за исключением одного обстоятельства: величина ЬЕ и отличие от Ад' имеет дпвергентпый хараитер, являясь раз|юстной производной некоторого выраткеппя. Условия, прн которых бК обращается и нуль, совпадают с условиямп (З.Я), обеспечивающими равенство пулю члена бЮ в (3.7).
Прп этом. как нетрудно проверить, дивергептиое уравнение (3.24) эквивалентно иедивергентпому уравнению (3.17). Дальнейшие преобразования па пути выделения из семейства (3.21) — (3.24) полностью консервативных схем, атзалогичны тем, которые были проведены в прсдыдупвм пункте. Они вновь приводят к условиям (3.16) и той нее схеме (3.17). Таком о:ра:юм, одпопараметрическое семейство схем (3.17) вк:почает все возмо>кпые полностью консервативные разпостпые схемы, аппроксимирузощио на заданном ~паблояе систему одномерных пестацпопарных уравш.ппй газовой дипамиии в лаграпккевых массовых координатах.
На практике, как правило, удобнее пользоваться полностью консервативными схемамп с псдивергептпыии уравнениями. Полностью консервативные схемы представляют собой сужение класса обычных консервативных схем. Очевидно, для получ~ ипя полностью консервативных схем моягпо использовать те зке приемы, что и прп построении копсервативяых схем, например, описанный в 4 2, п.
4 потсгро-питерползциопоый метод. При этом дополнительно след1ет соблЮдать пекотоРоо фориалькоо правило отбора: разностпая схема должна одновременно аппроксимировать различные виды записи исходной дпфферг1- циальоой спстемы уравнений. пмекшов непосредственный физический смысл. Другими словами. отдельные ревностные уравнения схемы долягиы быть сформулированы таким образом, чтосы оип допускали преооразоваиия, аналогичные дифференциальному г луч а1о. Построенное одпопараметрпческое семейство полностью консервативных схем па гладких решоииях пмеот порядок аппроксимации 0(в~+ т).
П частном случае при и=0,3 полу питая единственная полпостшо консервативная разпостпая схема второго порядка аппроксимации*). *) Подробная схема построена в (25) на основе других сообрамевнй, $21 Это также схема типа «крест»; опа отличается от (2.7")— (2.11") ли»пь весом у давления в уравнении энергии. Взяв полу- сумму уравнений движения па (1+ 1)-и и Ц+ 2)-и слоях и умпожив ее па и, получим 0,5и(п» + ог) = — пр~~л~ Нетрудно показать, что левая часть этого равенства может быть приведена к виду »»+»и»+» — »з+ и« т 2 1 0 5у (о«+ о»)— Суммируя (3.29) с уравнением энергии в (3.28), приходим окоп- чатсльпо к следую«дему результату (р(«,ы ( 1) и) (:- ф) 2 у» (3.30~ При желании равенство (3.30) можно симметризовать аналогично (3.11).
'Галим образом, в схеме (3,28) педивергентпое уравнение энергии оказывается возмо>кпым свести к днвергептпому уравнению (3.30), которое формально можно рассматривать как закон сохранепия полной энергии. Однако прк этом квпетическая энергия е'; до;ыкпа определяться формулой «л+»и» г (3.31У неприемлемой с фнзической точки зрения. Действктельпо, согласно (3,31) оказывается невозможным определять зту величину по значениям скорости в некоторый фиксированный момент времени, например в начальный, так как в (3.31) входят величины с двух временных слоев. Кроме того, кинетическая энергия по своему смыслу величина неотрицательная, в то время как фор- 122 Итак, устранив неопределенность в исходном многопараметрическом семействе схем, мы указали такие значения свободных параметров (весов о,), при которых схема па произвольной сетке удовлетворяет некоторому комплексу разумных с физической точки зрения требований, Отметим, что при построении полностью консервативных схем мы неявно ввели ряд ограничений, сузив»них исходное семейство, из которого выбиралась схема, обладающая нужными свойствами.
Прежде всего рассматривался класс двухслойных схем, что, впрочем, естественно для системы уравнений (2,1) — (2.5), которые содержат лить первую производную по времени, Для того чтобы пояснить характер еще одного ограничения„ проведем предварительно анализ следующей схемы 195) о» = — р;, х» = и, (1/р)~ = о„е» = — р~«»~о,. (3.28у „дд дг ) /1) д,, де ).о )) ) ) (Гоо) р () яо) дг дг ' д) ' дг ), р ! до ' д) дг где и = О, 1, 2 для плоского, цилиндрического и сферического случаев соответственно. В рассматриваемой области (0 ~ о — М, ) >0) введем неравномерную сетку е) =((го г)), (гк по, 1,), г,о) =г, + Йо г,о),о =-г,+ 0,5йо 1)+) = 1) + ть ) - О, 1, ..., Д) — 1, го=О, гя=М, (о=О, /=О, 1, 2, ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
