А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для случая линейной вязкости имеем »г — »г «г+г « ..г .г — тр«ь»Г» о(+г ~ ог ог(+«1» и, (4 11 О, ь'г+г Р- о(. Псевдовяакость предяазпачепа «работать» лишь па фронте ударной волны, поэтому па волнах разрежения, которым соответствует положительный знак производпой от скорости. вязкость в разпостпом счете полагается равной нулю. Используя беэыпдекспые соотношения (1.18), перепишем еще раз определение искусственной вязкости: — т ' о СО, О, о,~ )О. (4.1'/ Р г у+ » г 2я» (4.3) где я = 3 —: 4 — количество массовых интервалов, на которое мы хотим размазать фронт ударной волны, Ь вЂ” величина интервала. При / = 5/3 зта оценка дает р=(1-:2)Ь', Формулу (4.2) можно записать также в виде ег = — 0,5др! о,1(о. — ! о,1).
(4,4) »27 Здесь черта над функциями ог и р, «измеряемыми» в полуцелых точках сетки, опущена. Коэффициент вязкости т па практике подбирают так, чтобы «размазать» фронт ударной волны па 3 — 4 массовых интервала сетки. Однако для линейной вязкости это сделать трудно, ибо.
эффективная ширина «размазывания» зависит от интенсивности волны: для слабых волн она велика, для сильных — стремится к нулю (см. (6.20) гл. 1). Этого недостатка лишена «квадратичная вязкость» (иногда ез называют вязкостью Неймана): рр (о«)', о, ( О, О, о, »О. « Здесь ширина фронта ударной волны конечна, не зависит от силы волны и равна (см. (6.24) гл. 1) Л = 12р/(1+ 1)н. Отсюда получаем оценку для коэффициепта вязкости Часто в расчетах используют комбипацию лппейяой и квадратичной вязкости.
Следует отметитзь что весь апалпз структуры фропта ударпой волны, па результаты которого мы здесь опираемся, выполпеп в гл, ! для диффорепциальиых уравнений, Строго говоря, подобпоо рассмотрспио следует провести п для разпостпых уравпепий. Пример такого подхода дап в работе (83). Исследовапы различные типы вязкостой и показало, что решение тина «разпостяой бегущей волны» сходится к соответству<ощему рспшиию системы дифферепциальпых уравиеяий. Таким обрааом, псевдовязкость ость искусственный механизм, позволяющий осуществить сквозной расчет ударных воли без явпого их выделепия па сетке, а разпостпая схема газовой дяпампкк с <ь <ч<доиязьостыо янлнгтся однородной. Под ооластью фронта в этом случае п<п<имаотся зона резкого измопеппя параметрои т<"нппн. :Замотпм, что пшрипа ударного п<рехода, обусловленная действием псепдовнзьости, не имеет никако<о отношения к реальной шарипе фронта волпы.
которая составляет посколько длин свободного пробега мол<кул, С точки зрения построения полностью консервативных схем дооавлсиие псов,<овязкости по вызь<васт трудностей. Достаточно всюду. в схемах вместо газокпиети некого давления р использовать полпос давление д продставлн<ощсс собой сумму обычпого и «вязкого» давлении: я = р+ ь>.
!1апрпмер. для плоского случая такая схема имеет вид ь< == — д- ° (<р<)« = ', ' «<< = с ~"' г< = — я~~~о«Р = р < оь Существу<от и;<ругие способы для расчета разрывпых газодинамических рг<испий. Так, в принципе можно решать разиостные ураппеппп газали<шмккп бгз диссипативных членов в области гладкости, «сшивая» р< пи<шп па разрыве с помощью разиостпого апа.<ога соотио<пений 1'югоипо.
Однако такая сы иа по иплпетсн одпородпой, опа подразумевает иостонииый контроль за перомещспш м разрыва и выпозиеппс в его опрос< кости специальных операций по «сшиванию» р< оь ппй. Ото аы,<ысаот дополнительпые трудности, которые усугубляются еще и том. что разрывы и газовой дипамико могут обра:<оваться с те <опием времени да;к< прп гладких пачальпых и гриппчпых условиях. 4. !'азпостиь<е <равш пня и граничных узлах с<тки. 1'а«смотрим способь< записи разпостпь<х храни< пой схемы и грапп пцзх точках сетки. Обратимся для прим< ра и схеме (Х1) — (ЯЛ) пз пре;п<дущего параграфа. Очевидпо, что уравнение двпжспия ,,, <«,< во всех целых т<шках сетки < = О, 1.
2, .... Д<< и ур«иш:шн псразрывпостп и энергии (1,:р), = к( «), с, = — р( «)в(») в 128 во всех полуцелых точках !+ !/2 (! О, 1, ..., 12' — 1) записывают одинаковым обрааом. Иначе обстоит дело с уравнением движения ь! = — 11- '). (а а (4!.5) Во внутренних узлах сетки ! = 1, 2, ..., Л! — 1 зто уравнение имеет вид (индексная форма, неравномерная сетка, для простоты о! =О) Р! ' — 1.!.
! 2 1/2 Р! — 1/2 об(з -.у Соответствующий шаблон указан на рис. 2.15,а. В граничных же точках, например в нулевом узле ! =О, запись етого уравне- ния такова л — и Р— Р !к+1 1 ! а а 122 а (4.7) а (си. шаблон на рис. 2.15,б) 1(ептральная производная от сеточной функции давления в точке ! =О заменена односторонней. каз ~ 0 — Х вЂ” С вЂ” -Х- -~ —.. г Рис, 2.15 Броме того, в (4.7) присутствует значение давления в целой точке рс, в то время, как зо всех других формулах зта сеточная фупкция относятся к полуцелым точкам. Схема, в которой во внутренних точках сетки расчет ведется по формуле (4.5), а в граничных используется уравнение (4.7), яв:оп!топ неоднородной — численный алгоритм оказь!вартся зависящим от помора узла сотки.
Лпалогично обстоит дело к с днвсргептпым уравнением зноргии в семействе консервативных схем (61.21) — (3.24). Избавиться от неод!юродпостк в данном случае позволяет следующий несложный прием. Раси!ирин формально разностную сетку, добавив к ней слева и справа по одному фиктивному массовопу ипторвалу, величину которых по.!ожкь1 равной нулю Й ! = )!» =О (рис. 2.16).
Так же формально введем значения сеточ- 9 ю х, самарский, ю. и. полов 129 ной функции давления, отнесенные к серединам этих фиктивных интервалов: (4.8) Р-нз =Р-~ Рз+оз = Рв. (Здесь мы вновь используем черту, обозначающую, что соответствукяцая сеточная функция вычисляется в полуцелой точке сетки.) 1(о существу зти значения совпадают со значениями давления в граничных увлах ) 1' ~ил .. Р— и» = Ро, Рв+из = Рз «-г М вЂ” « М вЂ” 1 Х 'Ь«ь«в' Ь«Х ~ ( 4Р1 +(1 !)Р«) «=««=О 1 т» «« Это соотношение получено суммированием уравнений (3.4). Для записи сеточных сумм применяются обозначения ~ у«о«Ь« =(у, о), ~ уво«Ь« = [р, о), ~ угл«Ь« = [р, о[.
(4.10) е Используя эти обозначения, мы можем переписать интегральный 131 Теперь на новой сетке уравнение (4.5) автоматически обращается в (4.6) во внутренних узлах сетРис. 2.16 ки и в (4.7) — в граничном увле. То л«е самое справедливо и для уравнения эноргви (3.24) в семействе (3.21) — (3.24), причем здесь (Р»)« = Р-« = Р«. 5. Интегральные соотношения на сетке. Выше веодиократио отмечалось, что разностные уравнения являются сеточными аналогами некоторых физических законов и носят локальный характер.
Так, например, дивергептпое разиостпое уравнение энергии выра>кает закон сохранения энергии для одного массового интервала сетки за один шаг ио времеви, Чтобы получить интегральные соотношения для всой рассматриваемое в задаче массы газа, следует иросуммировать соответствующее разностпое уравнение по сетке. Это удобно сделать на введенной в предыдущем пункте «расширенной» сетке, включающей фиктивпыс интервалы Ь-~ =Ьв= О. Так, для семейства схем (3.1) — (3.4) с педивергептным уравнением энергии на промежутке времени 1„- 1-. 1,„ш|тегральпый баланс внутренней энергии для всей массы газа выполнен в виде баланс (4.9): (е, 1)))4+ ~ (р( 4), п( 4))т-= О, (4.9') 4 4 1 где, как обычно, уЬ = р' — у' . (1', Разностный аналог интегрального баланса полной энергии в схеме (3.1) — (3.4) получается суммированием по сетке уравнений (3.7) или аналогичных уравнений, где кпнетическая энергия массового интервала вычисляется как полусумма 0,25(от+ + и'(+1) )я.
Для последнего случая имеем (4 Г ' — Г '+ Д (р('1)о~я" — р( 1)не" ~) т; = В, (4.11) 3 =11 где — полная энергия всей массы газа на /-м временнбм слое, а В = ~ ~ (6Ж)14Ь1т;= 1-1 4=4 1 14 = — ~ [(о4 — 0,5) (р( 1), иы) — (а, — о,)~р4, и(е~))] тз (4 12) Это и есть запись закона сохранения энергии для всей массы газа. )) то же время интегральнык разностный баланс внутренней энергии имеет внд (см. (3.25)„(3.26)) (е, 1) ~'.*+ д (р('), о("'~) т; = В, 1 (4 И вЂ” 1 1; В=- Х Х М)(ь;т)= — 2~ Йп,— 0,5)(рР( я) — р(,"(.)1)— 1 1 4 1 1 4-1 1 — ( — о,) ((ря)1 п(а',4) — (р-,) 4' ))! т,' (4. 15) (4.14) 131 — суммарный дисбаланс полной энергии.
Для полностью консервативной схемы В = О. Для семейства консервативных схем (3.21) — (3.24) интегральный баланс полной энергии получается суммированием по сетке уравнений (3.24) 14 ~ ( (в4) (~4) 1(4) (~4))т1=0. (4.13) В силу дивергеитиой структуры дисбалансиого члена Ю в (3.26) при суммировании по 1 слагаемые, относящиеся ко внутренним точкам сетки, взаимно уничтожаются. Замечание. При введении в схему псевдовязкости порядок уравнений повышается,— в уравнении движения фактически присутствует вторая производная по пространству от скорости.
Это вынуждает ставить дополнительные граничные условия. Обычно в крайних фиктивных интервалах сетки й ~ и Ь я псевдовязкость полагают равной нулю. В противном случае искусственная вязкость может нарушать интегральный баланс энергии системы. 13 принципе вычисление балансных соотношений можно проводить и на основании исходных интегральных уравнений (3.42) — (3.44) гл. 1, записанптах для полной массы газа.
Однако при этом следует использовать тот же вид аппроксимации функций, что и в самих разностных уравненнвх. Другими словами, баланснгае соотношения должны являться следствиями конкретной рассматриваемой схемы. В противном случае эти балансные соотношения окажутся нарушенными даже для полностью консервативных схем. й 5. результаты численных расчетов 1. Выбор тестовой задачи. В этом параграфе будут пэложепьг результаты численной проверки теоретического анализа разностных схем газодинамики, который был выполнен в предыдущих параграфах и привел к формулировке полностью консервативных схем.
Эти схемы, как отмечалось, более эффективны, чем прочно схемы, при расчете на грубых временнйх сетках решений, претерпевающих сильные изменения во времени и пространстве. В качестве простейшей задачи, имеющей решение такого тяпа, можно указать классическую задачу о порнше (см. гл. 1. 4 7), где возникает ударная волна, во фронте которой параметры течения испытывают резкие изменения. Рассмотрим случай, когда поршень вдвигается в газ с постоянной скоростью Ус. Раз в начальном состоянии будем полагать однородным (р(г, 0)=ре), покоящимся (и(г. 0)=0) и холодным (Т(ге О) =О). В качестве уравнения состояния используем уравнения состоянии идеального газа р = ЛрТ, е = ЛТ((1 — 1).
Тогда, как известно, от поршня в глубь газа пойдет ударная волна со скоростью (см. гл. 1, $ 7) Параметры газа за фронтом волны вычисляются по формулам 132 (5.22) гл. 1: 7+! 2 и — 7 1 и о — 711 — ои 2,. 7+1 и 2(7 — 1)2) 7 — 1ои Ри = — -'~)оР = оУор 7+! и 2 и' 1 (7+1)' УУ 2 Л Прн значениях 7=о/о (одяаатомпый газ) УУо =2((7+1)=0,75, Ро = 1, У! = 1 они составляют Я = 1, ш = 0,75, р~ = 0,75, Т~ = = 0.187 ь р~ =-4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
