А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Примером может служить задача об ускоряющемся поршне. который вдвигается к газ с нарастающей во времени скоростью: о (О, 1) = У»1", и ) О, (5.8)' или в разпостной форме О=Р»1,-. 7=1.2.... (5.8') Как показало в гл. 1, з 7. эта задача допускает авгомодельное решение при всех г > О, которое определяется решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений (7.22). На рис, 2.19.
и и б и автомодельных переменных;шны результаты расчота задачи об ускоряюьцемся поршне при и= 0,5 по двум схемам одного порядка апирокспмации 0(т) — консорвативнэй э1 — — 0,5, о =-э» =а» =. э» = 1 (рис. 2,19, а) и полностью консерватикной а~ =-а» = — 1, а» =-аз=о»=0,5 (рис. 2.19, б). Результаты приведены на три последовательных временп1йх слоя. Здесь же нанесено точное решение (сплошная линия). Хотя точное решение задача актолшдельно при всех г ) О, числснпое рошение, нолучспиос по коисераатиэпой схеме, этим свойством не обладает: значения температуры 9(5) в области 0 < $( 0,4 на различные моменты времени заметно отличаются друг от друга (рис. 219,а).
При 0,5 =$ значения ОД) пакладываются приблизительно на одну линию, что свидетельствует 137 об автомодельности численного решения в этой области. Однако зта линия не совпадает с точным решением, Аналогичный расчет по полностью консервативной схеме дает хорошие результаты (ркс. 2.19, б). Пользуясь формулами для точного решения (см. гл. 1, (7.21)) р(0,1) = р„$'з()(0)1, а(0,1) = »'»1, где р (0) — числовое значение»автомодельной функции давления» р(з) при $ = О, можно оценить мощность фиктивного 7 Р5 ру УХЕ Р зу уг»з 4' а 6 Рпс.
2.19 источника зпергпи, локализованного у границы с поршнем. В соответствии с (4.15) имеем для рассмотренной консервативной схемы 11 = ~~О.,н» ~р»0„), + (р„), г„~, —,-з0(О) Г~о„г~". (5.9) 3 Эта величина положительна, чем и объясняется тот факт, что температура, полученная и расчс»з (ркс. 2.19, а). пре1нзшает истинные значения. С узспкчснпен и злззнпс дк»баланса растет. Расчеты зто подтверждают: па Ркс. 2.20, а дзпы результаты для консервативной схемы (а~ = а = аз = аз .= 1, а» = 0.5) для значения п =-3 (темпые треугольнпкп).
Видно, что относительнап величина отклонения от точного решения возросла но сравнению со случаем и=0,5 (рис. 219,а). На ряс. 2.20,а нанесено также решение, полученное но другой консервативной схеме: а»=0,5, а =аз=аз=а»=1 (светлые треугольники). Для этой схемы оценка дисбаланса, аналогичная (5.9), дает ) (0) Узо гз» (5 10) Отметим, что этот дисбаланс отрицателен, и потому значении температуры, которые дает разностнал схема, здесь меньше истинных.
По абсолютной величине (5.10) в полтора раза мены ше, чем (5.9), и это также согласуетсл с расчетами (ср., например, значенип 0($) вблизи максимума). Длл сраененин на этом н<е графике приведены результаты расчета по полностью консервативной схеме: а1 = о4 = 1, оз = оз = оз = О,з (кружки). Р щ /~7 " и фу ру ф' э Рвс.
2.20 Как следует из структуры (5.9), (5ЛО)„влияние дисбаланса внутренней энергии должно убывать при уменьшении шага сетки по времени. Это демонстрирует рис. 2.20, б, на котором приведены расчеты по консервативной (треугольники) и полностью консервативной (кружки) схемам при в=5 длл двух значений т (длн т| — темные, длл т1(2 — светлые). Суммируя результаты теоретического анализа и численных расчетов, мы можем заключить, что при расчете задач газовой динамики полностью консервативные разностные схемы дают определенные количественные преимугцества по сравнению с другими схемами того же порядка юшроксимации, в том числе и классическими консервативнымп схемами, Эти преимущества проявллютсн при расчете быстропеременных во времени и прострелетле решений ла грубых временных ревностных сетках, когда фактически неприменимо понлтие аппроксимации.
6. Полностью консервативные разностные схемы длн уравнений гравитационной газовой динамики. В приближении гравитационной газовой динамики и магнитной гидродинамики описы- 139 ваются различные практически интересные задачи астрофизики, такие как процессы в атмосфере Солнца, эволюция звезд и т. д. (8, 11, 39, 46, 47), В простейшем случае плоской одномерной геол>етрип уравнения газодинамики с учетом гравитации имеют вид де де — = — — — б, а> дл (5Л() (5Л2) 1 дк (> дл (5Л 3) де да = — Р дл дг' (5.14) р = 9>(р, Т), з = з'(р, Т).
(5Л5) Отличие от рассматривавшейся выше системы уравнений газовой динамики состоит здесь н наличии н ураннении движения (5.11) ускорения силы тяжести л, которое в данном простейшем случае считается постоянным. В задачах гравитационной газодинамики начальные значения термодинамических функций определяются заданием некоторого распределения температуры Т(з, 0)= Та(з) и при и(з, О)= 0 уравнением гидростатического равновесия, следующим из (5.11): ) = — 6, р(з, И) =:Р(р(г, О). Т(д.
О)). (5.1(>) Дивергентная форма уравнения днтсп н данном случае соотношение энергии, к которой приво- (5>.14), та>'она: (5Л7) 140 Слагаемое Сх н леной части (5.17) выражает потенциальную (гранитационпую) энергию. В гравитационной газок>лнамике показано. что консервативные рнзностные схемы обладают преиму>цестнапи перод пеконсернатпнпымп стемамп. Так.
н [(00/ этот нппр~>с рассмотрен на прил>ере задачи о распространении ударной полны н неоднородной среде с зкспоненциальпо изменяющейся плотностью. При построении консервативных рнзипстпыт схем для гранптационной газодинамики н качестве уравнения энергии используется разностная аппроксимация дивергентного соотношения (5.17). Однако зто не всегда удобно. Например, при численном моделировании процессов з атмосфере звезды, где плотность невелика, вклад тепловой энергии е в полную анергию с+ о~/2+ Сх может оказаться весьма малым. В такой ситуации вычисление температуры с помощью разностного дивергентного уравнения энергии, аналогичного (5Л7) .
приводит к ваметным ошибкам [72, 101). Это обстоятельство заставляет испольэовать разностные схемы с нединергентным уравнением энергии. Проанали.зируем, к каким последствиям это может привести [48). Обратимся к следующему семейству схем, аппроксимирующих систему уравнений (5.11) — (5.14): (а) С (5.18) х( = н(в), (5.19) 1,'р = хм (5.20) е( = — р(н)н)мь). (5.21) Эаметим, что при С = 0 значение параметра 6 = 0,5 выделяет из семейств (518) — (5.21) построенную выше полностью консервативную схему (3.17).
При СФО и значении р = 1 получастся схема, широко используемая в астрофизических приложениях (см., например, [101[ ) . Суммируя, как зто делалось выше, уравнение энергии (5.21) с уравнением движения (5.19), умноженным на и" ~', можно получить соотношение ('' ' + ~=-( ) ° о +у ( 1) ( х+в(+1) ) (и) (0,6)) / где бЮ) = О 5(~ — 05) [п, +(и(+1)),[. (5.22) Видно, что в общем случае закон сохранения полной энергии н семействе схеи (518) — (5.21) не выполнен. Исключение составляет схема с 6 = 0.5, которую естественно назвать полностью понссрннтянноп схемой для ураннений гранитационной газодинамики (5.11) — (5.14) . 1)ринцип полной консернатинности позволяет установить разностное ныражеппе для аппроксимации гравитационной силы я н более сложном случае.
когда имеется зависимость от координаты. Например, соотнетстнующее сферически сиииетричному случаю выражение СМ/г' следует аппроксииировать соотношением СМ((гг). Приведен кратное описание расчстон задачи о распространении ударной волнь) н плоской( нтмос)[,аре звезды, которые демонстриру)от отрицательную роль дисбаланса (5.22) и теи самым подтверждают преимущества полное)ью консернативных разностных стем, (Подробное изложение этих результатов дано в [46, 48[.) Будем рассиатрщють задачу н области 0«з «М, где г = = 0 соответствует основанию атмосф)еры, а и = М вЂ” внешней ее границе.
Плотность;ппосфсры спадает к границе н=М н соответствии с условном гидростатического раннонесия (5.16). При и =0 порп)он)к днпгннсь с постоянной скоростью внутрь газа (против направления действия гравитационной силы), порождает распространяющуюся н атмосфере ударную волну. Проходя по среде с убываю(цей плотностью. ударная волна увеличивает свою амплитуду. Течение газа за фронтом ударной волны тор- 141 мозится силой тяжести, в результате чего за фронтом формируется зона разрежения. Указанные особенности распространения ударной волны в атмосфере звезды видны на рис. 2.2$, где на два последовательных момента времени представлены графики по скорости газа и приращения температуры в ударной волне Т вЂ” То.
В расчетах Р дз цР Iю л,!0 сн Ю а,~О со Р дд ру,с 42 в л Рис. 2.2$ ~О з/Рс~ принято а=1, сплошная линия на графиках отвечает значению р = 0,5, штриховая — р = О, штрихпукктирная — р = 1, Значения физических параметров, таких как 6, То и т. д. соответствуют атмосфере Солнца. Для расчета ударных волн введена искус- 442 ственная вязкость. Рис. 2.21 показывает, что расчеты с разными значениями (7 заметно различаются.
В случае р = 1 газ за фронтом ударной волны имеет ббльшую энергию, а в случае р = 0— меньшую чем при р = 0,5. Это следствие того, что в первом случае фиктивный источник (5.22) положителен, а во втором— отрицателен. В расчетах, представленных на рис. 2.21, шаг сетки по времени выбран достаточно большим, с тем чтобы проявилось влияние дисбаланса 68'о При измельчении т результаты расчетов с р = 0 и 6 = 1 приближаются к результатам расчетов с ~3 = 0.5. й 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
