А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 32
Текст из файла (страница 32)
!(ви правило. в пелинсйптах задвчвт математической физики, кои рью и представляюч практический интерес, обосновать сходпчость схемы, т. с, доказать справодлввьсть условия (1А), оказывается затрудпичельпым. (!оогйн нз практике нынолнонйо о!ого уолокнн пытбютон проворить экспериментально, проводя серию расчетов задачи но одной и топ же схеме и последовательно сгущая пространственную сетку, дробя шаг сетки й в 2, йл, 8 и т. д.
рав. Оценивая !53 количественные различия в полученной последовательности разностных решений, делают выводы о сходнмости схемы, и порой даже о ее точности, Однако если говорить строго, вряд ли такой путь может дать ответ. Действительно, в з 2 гл. 11 был приведен пример, когда разпостное решение при дроблении шага стремится к функции, не имеющей ничего общего с решением исходной дифференциальной задачи. Указанный выше «экспериментальный» способ проверки сходимости в этом случае зафиксирует сближение последовательных разностпых решений, однако припять этот факт за подтверждеппе сходимостп схемы было бы опрометчиво.
С другой стороны, как будет показано ниже, условие устойчивости многих схем требует при дроблении пространственной сетки соответствующего измельчения шага по времени. В противном случае сходимость схемы может быть нарушена. Возможность же «уловить» эксперимензильно указанную связь между шагами сетки по премепп и прес«ранству представляется весьма проблематичной, тем более в задачах с сильно неоднородными профилями параметров. 2.
Корректность н устойчивость схемы. Принятым методом проверки сходимости разностной схемы является теоретическое исследование ее свойств аппроксимации и устойчивости, наличие которых оказывается необходимым и достаточным условием сходимости. Проверка аппроксимации разностной схемы достаточно проста и сводится фактически к разложению решения в ряд Тейлора. Основной интерес к основную трудность представляет исследование устойчивости схем. Понятие устойчивости разностной схомы является составной частью опрсдолснил корректности разпостной схем«я. Напомним содержание определения корректности применительно к задачам математической физики для непрерывного случая.
Задача (1 1) — (1.3) считается поставленной корректно, если выполнены два условия: 1) задача однозначно разрешима пря любых входных данных нз некоторого класса, 2) решение задачи непрерывно зависит от входных данных. По аналогии определяется и корректность разновтпой эаоа ш. Разностная задача (1.1') — (1.3') поставлена корректно, если при любых достаточно л«алых шагах сетки: 1) решение у существует и единственно при всех входных данных из некоторого допустимого семейства, 2) решение у непрерывно зависит от входных данных, причем эта зависимость равномерна относительно величины шагов сетки.
Второе условие означает, что существуют такие постоянные М~ ) О, М» ~ О, Мз ~ О, не зависящие от Й, т и от выбора входных данных (при достаточно малых Й и т: )Й) (Йв, т(тв), что 1»4 справедливо неравенство ф я Я ю/ (Х) ))>х> (» М~ )! йо — го ))ы> —, Мх шах ! <я ) ц> (г ) )$м> ас>~<> + Ма п>ах (т(Ю') — ъ (т')), à — >>и (1.5) о~>'с> Здесь у и у — решения разностной задачи (1.1') — (1.3') с входными данными соответственно ио, ц>, т и оо, ц>, ч; И И,>„И Им>— некоторые нормы в пространстве сеточных функций.
Свойство разностной схемы, выраженное неравенством (1.5), и называется устойчивостью схемьс (1.1') — (1.3') ло аходнь>м данным или просто устойчивостью. Неравенство >>у(7) — у(Ю)>>»> ~ М>ИРо — оо>>»> (1.6)' по начальным данным (>р = >р— выражает устойчивость схемы =О, т— = т = — 0). Неравенство )!р(7) — д (7) .'И„» м оэнатает устойчивость по правой части (о= — по=О, э> — т= — 0). Неравенства типа '(1,5) — (1.7) называют также априорными оценками для схемы (11) — (1,3). Построению подобных априорных оценок и посвящена в основном теория устойчивости разностпых схем~). В атой главе в основном будет рассматриваться задача Коши.
В общей теории устойчивости доказывается, что для линейных задач схемы, устойчивые по начальным данным, устойчивы и по правой части [80). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся главным образом исслсдованиолг устойчивости раопостпых схем по начальным данным. Заметим, что в случае линейных операторов Г,„и И, оценка устойчивости по начальным данным может быть записаяа в виде >>д»> ( М,»у%, (1.6') Для задач гиперболического типа и, в частности, для задач газовой динамики без учета диссипативных процессов, постоянная в (1.6') равна единице: >>у»> ))уо>> (1.6" ) Если справедливо неравенство типа >>у"'!! ( >>у'>>, (1.8) то говорят, что схема равномерно устойчива по начальным данным; действительно пз (1.8) сразу же следует >>у>+»> ->>уо>>. Од- *) Вопросы устойчивости раэпостпых схом подробно рассмотрены в книгах [77, 78, 80).
155 нано соотношение (1.8) гарантирует нечто большее: ненарастание не только начальных ошибок, по и погрешностей, внесенных на любом промежуточном временном слое. Существуют и другие типы устойчивости. Например, в дальнейшем мы встретимся с оценкой устойчивости аида (р — устойчивость) (1.8') (1.9) Здесь б и р — амплитуды возмущения скорости и давления в акустической волне, распрострапявяцсйся по однородному газу с параметрами рм пз'. г(гч Г)=:ГО+О(ю !), Р(Б, г)=-РО+Р(з г) ° со =.
11ро!ро — адиабатпческая скорость звука, а = сор« — массовая скорость зорка. т. е. скорость, с которой возмтшепие захватывает новые массы газа, переме«каясь от частицы к частице. Малость возмущения характеризуют неравенства типа ~Р!Рз~ ~ 1. (1.10) Обычно, изучая ус.сойчивость разпостных схем газодинамики на модельном примере — акустике, аппроксимируют диффе- 156 где р = е «, т — шаг сетки по времени, сз ~ 0 — постоянная, с « не зависящая от шагов сетки. И хотя р ) 1, оценка (1.8') обеспечивает выполнение неравенства (1.6') с константой М!, определяемой пз следующего условия р'в е««" = е««т=: .1(п где Т вЂ” промежуток времени 0(0 ~ '«, на котором рассматривается решение.
3. Акустика — линейная модель газодинамики. В общем случае исследовать устойчивость разностных схем газовой динамики не удается в силу болыппт трудностей, лоро«кдаемых пелинейностью уравнений. Это обстоятельство вынуждает ограничиться рассмотрением линейного приближения газовой динамики— акустикой (см.
1 4 гл. 1). Таким образом, о сходимости разностной схемы газовой динамики приходится судить по тому, как эта схема «работает» в частном случае акустики, т. е. насколько хорошо слома воспроизводят процссс распространенпл малых во:!з«ущеппй. В акустическом приближении уравнения газовой динамики сводятся к одному уравнению гиперболического типа второго порядка (уравнен!!!о струны, (ьб!) гл. 1) для возмущения любого из газодинамических параметров. Решение етого уравнения представляет собой две волны с пеизмепптам про!(я!лез!, которые распространяются в противоположные стороны со скоростью звука.
Уравнения акустики могут быть записаны также в виде системы двух уравнений первого порядка «« зр зр Ов — — — — =- — (с р )« —. «!г а«' «и "" !!«' ренциальные уравнения (1.9) разпостными схемами, семейством схем вида (а) (()) и(= — Р- 1 )>т= — пил л например (1.11) и, — аа- . ы( =. с(г, (е) 'в) (1.19) Отметим, что мы рассматриваем простейший случаи: устойчивость по отношению и возмущеппям однородного состояния ') Отметим, что дия поавосгью консервативных схем такая эквивалентность имеет место и дли грубых сеток (при любых т).
157 где а. р — свободные параметры. Однако аппроксимация лииейных дифференциальных уравнений акустики конечио-разностными соотношениями — операция не вполне законная. В самом деле, как дифференциальные уравнения газодинамики, так и разностиая схема являются некоторыии самостоятельными математическими моделями сплошной среды и протекающих в пей процессов, Несмотря на то. что обо зти моделтт описывают одну и ту жс физическую реальное(ь, разностные схемы, определяющие дпсиретвуто модель, имеют своп специфические особенности. Так, в гл. 11 наказано, что различные возможные разпостные схемы не эквивалентны, многие из них порождают своеобразные аффекты разностного происхождения, не имеющие аналога в реальном случае, например фиктивные источники энергии.
На грубых сетках, которые и используи>тся па практике, такая еразпостиая физикал может заметно исказить изучаемое явление. Неустойчивость разпостной схемы есть также проявление ее внутренних свойств, отражающих дискретный характер модели и заключаи)щихся в том. что различные пограшности, неизбежно сопровождающие процесс вычислении решения. имеют тенденцию к неограниченному нарастанию. Уравнения акустики (1.9) получеита линеаризацией общих дкфференциальных уравнений газовой дтттталтики и описывают процесс распространения малых возмущений при использовании непрерывной модели среды. Р)тссматрнватт тот же физический процесс в рамках дискретной среды, мы должны в предположении о малости амплитуды возмущений линеаризовать систему разностных уравнений газодинамики и полученную линейную разностную схему считать дискретным аналогом акустики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
