А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Анализ пока:пинает, что полученная тамии образом схема эквивалентна (1 11) лишь прп достаточно малом шага сетки г, причем .(арактер малости опраделяотгя услоииап (1.10): т 0(р)ро)е) ° В дальпайшам мы будем рассматривать устойчивость семейства разпостных схеи (1.11). Для удобства иереобозначим сеточные функции и =- — й, и =.
р)а, а =- с(жиг ) О. (1 12) Теперь система разпостпых уравна~ий акустики принимает симметричный вид газа, т. е. устойчивость постоянного решения. Возможно исследование устойчивости к для других случаев, например на известном решении задачи о структуре фронта ударной волны, При атом существенно усложняется техническая часть анализа,— в системе линейных уравнений (1.13) появятся дополнительные члены, связанные с дифференцированием исходного решения; кроме того, коэффициенты уравнений становятся функциями пространства и времени.
4. Линейное уравнение керенога. Для того чтобы нагляднее вскрыть существо вопроса и продемонстрировать особенности различных методов исследования устойчивости разпостных схем газовой динамики, часто обращаются к простейшему случаю,— лквейпому однородному урааненшо перекоса: — + а — =-О. ди дс д1 дс (1. 14) Для этого уравнения в области — < д <, С > 0 рассматривается задача 11ошис при С =0 решение удовлетворяет некоторым начальным данным и(г, О) = по(з).
(1.15) Коэффициент а, который для простоты мы будем полагать постоянным, может иметь любой знак. Решение задачи (1,14) — (1 15) представляет собой волну и(г, С)= по(з — аС), (1.16) распространяющуюся со скоростью а. Профиль волны задан начальшзмп данными (1.15). Линии з — аС =. совой вдоль которых - аС = соотг Гис. 3.1 переносятся постоянные значения решения, являются характеристиками (рис. ЗИ). Для вычисления решения (1.16), конечно, пе нужно строить разностпь1е алгоритмы и писать программы для,")Вхт. Однако изучение разностных схем. аппроксимирующих задачу (1 14) — (1.15), имеет определенный методический интерес.
Исследованию уравнения переноса — этой простейшен модели уравнений газовои динамики — посвящена обширная литература. $58 5 2. Устойчивость разностных схем для уравнения переноса. Спектральный метод и принцип максимума 1. Разпостные схемы для уравнения переноса. Рассмотрим разпостные схемы решения задачи 11оши для уравнения переноса — + а — = О, — оо(г оо, 1)0, ди ди дз дз (2.1) и(г, О)=: нс(г). В области С == ( — (г <, 1> 0) введем равномерную сетку со = озз Х ы„ озз=(гх= Йй, )с=О, ~1, ~2, ...), ы,=(8з )т, 1=0, 1, 2, ). Сеточную функцию у, аппроксимирующую решепие и дифференциальной задачи, отнесем к узлам (гь Ез) сетки: у=у(г,, гз)= Рнс. З.2 = ул = у ) СФормулируем две явные разпостные схемы решения задачи (2 1) . Первая схема у'+' — у~ у' — у' в+о "+' "=О, У.=О, ~1, ~2,...,1=0, 1,..., Ь (2.2) уев = нз(гл), !с = О, .+- 1, -+ 2, Она определена на шаблоне, нзобраькспном па рнс.
3.2,а. В безыпдекспой записи схема (2.2) имеет внд у, +ау, =О. (2.2') Вторая схема "-ьа " " ~=0, /с=-О, -~-1,, у'=О, 1~ ..., (2.3) ь у"„= н, (гл), lс = О, -~ 1, +- 2, ч) далее в этой главе нн'колй нрострзнственный нядскс у сеточных функций будем обозначать через хь оставив символ ~ для обозначення ннвмой единицы. тай В безындексной форме ус + ау-=0.
(2.3') Эта схема определена па шаблапе (рис. 3.2. б). Обе схемы имеют первый порядок аппроксимации 0(й+ т), и формальное различие между пими состоит лишь в способе записи разпостпой производпой по пространству,— в одном случае это правая производная (схема (2.2)), в другом.- левая (2,3).
Тем пе менее и смысле устойчивости эти схемы отличаются радикально: при а ) 0 первая из них всегда неустойчива (абсолютпо неустойчивая схема), вторая — устойчива при апределеппом соотношении на пи~си сетки й и т (условно устойчивая схема). 2. Метод гармоник. Рспгепие дифферепциальной задачи Коши (2.1) при некоторых предположениях отпосптельпо его гладкое~в можпо представить и виде интеграла Фурье и(.. О = ~ ~ '((й г)ег"'пО. (2.4) 1~'Б Фупкция ю(0, г) удовлетворяет уравнению ы (О. 0 ш -:- йсОп. (О.
Е) = О. (2.. ) которое получается после подстппоппп (2.4) в исходное ураппсине (2Л). Решая (2.5). найдем: и (О, О =- га (О, О) е '"", где ю(О, О) определяется по начальным условиям. Окопчательпо решепие зп~исыпастся следующим образом ,(,,) = ~' и (О. 0),пп — 030. ) ст Как говорят, решение линейной задачи (2Л) представимо в ви;и.' суперпожщпп мопохромазпческах бегущих волк плп гармоник ю(0, 0)е"' "". (2.6) Для простоты можно считать 1т— = 1. Здесь ( — мнимая единица, ИО По;ному и липейпом случае о свойствах решения часто судит по поведению совокупности гармоник (2.6). Метод изучения устойчивости рпппостпых схем. носящий пазпппие гиетадп гар,иапик, оспаппп пп использования апалогичпых пргдстаплспий длв дискретного слу гпп.
Об устойчивости схемы, т. о. об эволюции по прамепи полученного с позпппью этой схемы разпосзпого решопип. судят по повелеваю чпстиых сеточных решений, име~ощих впд разпостной гпрмаппкп: уд = Р гб) спас"т = — 1'~у~Ц", и = г'е. с —. е' . Й и 7 (пространственный и временнбй номера узла сетки) являются показателями степени д и с в правой части (2.7), ф— произвольное действительное число. Сеточная функция у является периодической по пространству. Величина ф(ф) и тем самым о(ф) — комплексное число, которое подбирается тан, чтобы гармоника (2.7) действительно была решением, т. е.
удовлетворяла разпостпому уравнению. Заметим, что «ь = соаф+1з!пф и ~с~ = 1. В то же время величина ~ д ~ может принимать любое значение (положительное). Если окажется, что для некоторых ф ~ф(ф) ~ >1, то соответствующие гармоники со временем будут неограниченно нарастать. '-)то означает нарушение неравенства (1.6') и свидетельствует о неустойчивости схемы па решениях частного вида. Неустойчивость схемы в частном случае порождает неустойчивость и общем случае,— ведь общее решение может содержать »неустойчивые гармоники» с ~д~ > 1.
Если при любых значениях ф имеем ~с7~ -1, то все гармоники (2.7) ограничены. Однако отюда еще пс следует ограниченность общего решения. Позтому условие ~д~ >1 представляет достаточное условие неустойчивости (~д~ ~ 1 — необходимое условие устойчивости), а метод гармоник позволяет устанавливать неустойчивость схем. 3. Анализ устойчивости схемы р~ + ау, =О. Воспользуемся описанным выше методом гармоник для анализа устойчивости разпостпьсх схем для уравнения переноса.
Рассмотрим схему (2.2), использующую правую разпостпую производную по пространству; лд — у» уд+> — лд +а =О. т д Пусть для определенности а>О. Подставим в разностное уравнение частное решение — гармонику уд = с~',: .«д, 13+»Кк — ч%« чъддс — ЧКЙ +а =О. Сокращая па су'$д Ф= О, получим ф =-1+ 7(1 — $) =(1+ 7— — 7 сое ф) — 17 з1п ф, где 7 = ат/й — параметр, характеризующий схему. Итак, гармоники, в которых для каждого ф зпачепис о определяется по указанной формуле, являются частными решепиямн исходного разпостного уравнения. Вычислим квадрат абсолютной величины о: ~дП =-(1+ 7 — 7 соз ф)'+ 7»з!пдф =1+ 47(7+ 1)з(п»(ф/2). В силу того, что а >О, параметр 7 также положителен; это означает, что независимо от соотношения шагов сетки Ь и т при всех ф таких, что а1п(ф2)ФО, имеет место неравенство )д~ > 1.
Необходимое условие устойчивости не выполнено, схема (2.2) всегда неустойчива. Неустойчивость такого типа называется аб- 11 д. д. Самарский, Ю. П. Попас 1б1 солютпой неустойчивостью,— ее пе удается избежать никаким дроблением сетки. 4. Спектральный метод. Предложенные разностпые схемы (2.2) и (2.3) для численного решения уравнения переноса формально могут быть записаны в операторном виде: у~~~' = Яуо, уэ= (у„', р =1 — и„..., У, ..., й+ и,!. (2.8) Числа п1 и по определяются шаблоном, ка которои построена конкретная разностпая схема. Оператор Б, называемый оператором перехода с одного временного слоя па следующий, позволяет в результате последовательного прнионепия трансформировать начальные даншзе н разностное решение на любом шаге ~о времени. Для линейных схем оператор Я линоеп.
Очевидно, разпостпая схема, операторную запись которой представляет равенство (2.8), будет устойчива ~о начальным данным, если оператор о' по норме ограничен единицей: !!У (1. (2.9) Действительно, в этом случае имеем !!у"'1 = !!8уо!! ( !!Я!!!у'!! ( !!у'!!. Таким образом, условие (2.9) обеснечипает равномерную устойчивость схемы по начальным данным: !!у"'!! ( !!у4 ~,, ( !!уо!! Если же вместо (2.9) выполнено соотношение !!8!! ( 1+ сот (со ) Π— постоянная, пе зависящая от я и т), то оценка устоичивости изменится: !!узн!!н'(1 ! о )!~уо!! ооот!~ о! о~о о4'ы! о!!н',~о '! о!! Здесь О «й = Т вЂ” промежуток времени, па котором ищется решение.
Рассмотрим уравнение (2.8) па сеточных решениях частного вида у~о = д'$ = н(У)~!8 После подстановки (2 1О) в (2.8) с учетом линейности оператора Я получаем ун = Бн, откуда !д!!!н!! = !!5о!! н=' !!Я!!!!и!! и !д(~у) ! ( !!8!!. Поэтому необходимое условие устойчивости схемгн состоит и выполнении (для всех Ч~) неравенства !Ч(%)! = 1 (2.11) (или !д(<р) ! ~ 1+сот). Здесь ь(й) = и,— сеточные собственные функции разностпой краевой задачи: они удовлетворяют уравнению дн = Ян и граничным условиям задачи. Величина о является, таким образом, соответствующим собственным значением. Условие устойчивости в этом случае выглядит так шах !д! - 1, (2.12) где максимум берется по всем собственным значениям.
162 Собственные значения д образуют спектр оператора Ю, поэтому неравенство (2.12) называют также спектральным критерием устойчивости. Как уже говорилось, этот признак дает необходимое условие устойчивости. Доказательство достаточности подразумевает полноту системы собственных сеточных функций, что имеет место не всегда. Однако спектральный критерий часто используют как практическое достаточное условие устойчивости. Сказанное в этом пункте убеждает, что по существу метод гармоник является частным случаем спектрального метода для задачи Коши. 5.
Анализ устойчивости схемы р~ + ау; = О. Исследуем схему уа да дэ уь (2.13) с помощью метода гармоник. Подставим в разностыое уравнение сеточную функцию уа =я% определим о ы вычислим квадрат модуля этой величины. В результате получим ! д !' = 1 — 4 ((1 — () з(от (ф2), откуда следует !д(ср)! < 1 ыри ( ~ 1, !д(тр)! ) 1 при ( ) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
