А.А. Самарский, Ю.П. Попов - Разностные методы решения задач газовой динамики (1161630), страница 37
Текст из файла (страница 37)
5. Достаточиое условие устойчивости схемы «крест». Вернемся к анализу схемы «крест», неустойчивость которой при нарушении условия Куранта была показана в начале $4». Применим к атой схеме (а = О, р = 1) энергетический метод. Для величины <» (см. (4.14)) с учетом исходных уравнений (4.9) и формулы разяоствого дифферевцировавил пролзведения имеем ~) = — 0,5т( — 1)и,)1»+!!и<)!») = = — 05т((Л«п, и,)+(Ли, п,)) = — 05т(Ли, и)<. Соотношение (4.12) в атом случае может быть преобразовано к виду Х, = (0,5(1)и)!»+ 1)п)!»)+ 0,5т(Ли, п) ) < = О. Если будет доказано, что величина Х = 05(1)и)1»+ 1)п)Р+ т(Ли, о) ) веотрицательна (Х>0), то это будет означать устойчивость схе- мы «крест» в некоторой сложной сеточной норме, в качестве ко- торой следует выбрать Х. Выполним несложную оценку: Х> 0,5(1)и)!»+ 1)п)!» — т)Л!1 1)и11 1)о)1).
Теперь длл обесп< чевлл в< отрпцательвоств УР» 0 достаточно потребовать выполнения неравенства т))Л)1 ~ 2, тогда Х. ~ 0,5(1!и)! — !)п!!)» > О. С учетом (4.23) получаем достаточное ус- ловие устойчивости схемы «крест»: т < и«!а! или ! "(! ~ 1, т. е. критерий Курапта. Это обстоятельство в сочетании с резуль- татом, полученным в и. 1 данного параграфа, дает вочможпость утверждать, что нообходимым и достаточным условием устойчи- вости схемы «крест» для уравнений акустики является критерий Кура пта. Получеппый факт допускает столь же наглядную гоометрп- чеслу<о иптерпретацию, что и услоеле устойчивости для одного линейлого ураплелия перепоса. р!рл расчетах по схеме «крест» ;.«.
г< =- аи;. и, = аг, значения < „'+' л г,",, сеточной функции па () + 1)-м премеппом слое опред<ляются по значопилм пр< дыду< » щего слали< -<. и<, п и»»<, и» соотпотстщппо с помощью пгр ого уравнения. Второе яз уравнений схомы дает позмоя<пость пы п<г< .<. < »е< ь»< лить зпачспие функции и» по пайдгппым злачглиям «» и <.»„<.
Таким образом, если лсключит<, промсжуточпыг зяаченол г, то сеточная фуллцля и в узле (<, 1, <) опродоллстся по зппп<оп<ям этой»ке функции па лредь<душем глос и точкпх (х„<, О), (»<, О), (»„,« О), которь<е п образу<от длл <з'<и ('„, О.<) область эаппсл- мости разносткого решения. Область за«п<ч<м<ггтп точкп (х<, О»<) !81 в дифференциальной задаче представляет отреаок г«<г~~г««.
Он выделяется точками пересечения характеристпк ЛЛ' и ВВ', которых в акустике две, с линией г = г, (рис. 3.13). Если отрезок (г«,г««) попадает в область зависимости разностной задачи, что имеет место при выполнении условия Куравта, то схема устоичпва. В противном случае наблюдается неустойчивость и отсутствие сходимости. Рассмотренные выше примеры нсслодования устойчивости рааличных разностных схем для уравнения переноса и системы уравнений акустики подтверждают общий принцип: неявные схемы. обладают ббльшим запасом устойчивости, который возрастает с увевнима нием степени поязности, пах пример с увеличением параметров I а и б в общем семействе схем l (4.1) .
Однако ре»пение вениных Л-/ ~4 ух разпостпых уравнений представляет, как правило, значительные иу алгоритмические трудности. р .злз 3 а м е ч а н и е. Используя знер- ~ етпческий метод, ъгы, в частности, показалп, что для устойчивости схемы «крест» необходимым и достаточным условием является критерий Курапта: т - й!)а). Анализ полного дзухпараметрнчссвого семейства схем (4.2) приводит к следующему необходимому и достаточному условию устойчивости (3): ь а + (1 ) 1, — + т»а» ( х — 0,5) ф — 0,5) ) бь й 5. Влияние вяакости на устойчивость разностных схем ди ди ди — +а — =т —, дг д» (5.1) Для него в области — о» < г ( э, 1> 0 решается задача Кошп с начальными данными и(г, О) = в«(г).
(5.2) 182 1. 51одельное уравнение переноса с вязкостью. В гл. Н указывалось, что для обеспечения возможности сквозного расчета ударных волн нспользуютсл однородные разностные схемы с псевдовяакостью. Наличие «вязких» членов в разностпых уравнениях может иаменнть условия устойчивости, которые были получены выше без учета диссипации. Возникающие здесь возможности рассмотрим на простом примере одного линейного уравнения переноса. При наличии члена, моделирующего действие псевдовяакости, дифференциальное ураннение выглядит следующим образом Как отмечалось выше, вторая разностная производная определяется разностью первых проианодных в соседних уалах сетки чу.)»= ь 1(уу)»+»»у)»)» ~ ь ~ ] У» ь, — 2У»+ У» »х (у„)„— Иу.)» — (у ) — )//.
На равномерной сетке зги выражения совпадают: у;, = у;,. Итак, разностный аналог дифференциального уравнения с вязкостью (5.1) выглядит следующим обрааом (явная схема): у~ -'; ау-, = ту-,. Возмоисны и другис аппроксимации, различающиеся способом ааписи первой рааностной проиаводной по пространству. 2. Устойчивость схемы у, + ау; = ту-„. Рассмотрим разностную задачу Коши для уравнения переноса с вязкостью у1 + ау, -= ту;,, (5.3) (5.4) у» = нн(з») н Ь=О, ~1, ~2,. Пусть длн определенности а ) О.
При т = 0 отсюда получается схема (2.3'), необходимое и достаточное условие устойчивости которой даст критерий Куранта у = ат/Ь ~ 1. Проанализируем устойчивость схемы (5.3) нри т ~ О. Используя метод гармоник, игцем частные разностные решения вида у~»=сД, 8 =ьит, (5.6) <р — проиаиольное действительное число, д(~р) — комплексное число. Подставив У» в (5.3), получим уравнение »р — (1 — —.) = —., ~й — 2+ — „ Производная нычислсна в узле Ь, относительно которого она симметрична.
Можно определить вторую производную несколько иначе: откуда определяется а: а — [1 — 2 (т + 2со) з1 от (~р/2) ) — 1т ньн ~р, (5.7) где 7 = ат/Ь, ю = тт/Ьт. При отсутствии вязкости (ы =0) невыполнение условия Куранта (7 ) 1) влечет за собой нсустойчиность схемы (1д! ) 1). При ы Ф 0 схема может оказаться неустойчиной, даже если условие Кураита выполнено. В самом деле, пусть 0< 7 нб 1. Рассмот- 183 рим частный случай сеточной гармоники (5.6): в1пт(~р/2)=1. Тогда вш <р = 0 и д = 1 — 2(у + 2ю) . Чтобы рассматриваемая схема оказалась неустойчивой, достаточно потребовать, чтобы выполнялось неравенство ~д) ) 1.
При фиксированном т это возможно, если ы ( — 0,5т или «» > 0,5(1 — т). Таким образом, неудачный выбор коэффициента вязкости приводит к неустойчивости схемы даже при выполнении критерия Куранта. Другими словами, «внзкие» члены могут ухудшать устойчивость разностной схемы по сравнению со случаем, когда диссипацин отсутствует. 3.
Устойчивость схемы «крест» с вязкостью. Система уравнений акустики с учетом вязкости имеет вид дг ди деи ди дг — = а —, р = тр«) О. д8 да ' д«-" д» д« ' В акустическом приближении в уравнении энергии вязкостью, которая имеет первый порядок малости, можно пренебречь по сравнению с давлением, так что движение газа по-прежнему можно считать изоэнтропическим. Разностнан схема, обобщающал на случай учета внзкости обычную схему «крест», запнсываетсн следующим образом: ис = аи; + ри-,, ис = ао,. (5.8) Вновь используем метод гармоник. Рассмотрим частные решения системы разностных уравнений (5.8) и~« = //д«я", »д» = $'ф$, я = е'т.
Как обычно, ~р — здесь произвольное действительное число, д(«р) — комплексное число, которое подбираетсл так, чтобы гар- моники (5.9) удовлетворяли системе (5.8). Подставляя (5.9) в (5.8), получим однородную систему ал- гебраических уравнений У~1 — — ~ (/ — ~д — 1 — со(ф — 2+ — Я Г = О, (д — 1) (/ — дУ(з — 1) Р = О, где т =аг/Ь, ю = пт/л». Равенство нулю определителя этой си- стемы даст уравнение длл д д' — 2 ~1 — 2 (ю + т') я(п'(~р/2) ] д+ 1 — 4ю я1п'(д/2) = О, корнями которого являются выражении д = 1 — 2(в+У»)я(в»(~р/2)~2Уяш»(р/2) ((ю+т»)»в1п»(<р/2) — т»1. (5.10) Рассмотрим случай, когда подкоренное выражение в (5 10) отрицательно и корни д+ и д являются комплексно-сопряженными 164 Для этого должно выполняться неравенство (ы + тэ) ' з(пз(<р/2) ( т' (5.11) Это неравенство в свою очередь возможно, если параметр ы достаточно мал ы < 1/4, (5Л2) а параметр т лежит в интервале 0,5 — У1/4 — ы с т ( 0,5+ У1/4 — ы.
(5.13) При условии (5Л1) квадрат модулл д, равен 1 — 4ы з(п'(<р/2). С учетом (5.12) и ы >0 получим )д-! ~ 1. В частном случае отсутствия вяакости (ы = 0) имеем )д,! = 1. Итак, гармоники (5.9) при выполнении условия (5.11) в обычной схеме «креста не затухают, в то время как вязкость пряподит к затуханию указанных колебаний.
Присутствие вязкости в рассматрипаемой схеме порождает более жесткие условия устойчивости. Действительно, пусть параметр т таков, что условие Куранта выполнено, а нерапенства (5.13) и, следовательно, (5.11) нарушены: 0,5+ У1/4 — ы < т < 1. Тогда, как следует из (5ЛО), )д ! = 1, что и означает неустойчивость схемы. 4. Вязкость в схеме с центральной разностью для уравнения переноса.
Рассмотрим устойчивость еще одной схемы для уравнения переноса при учете вязкости (5.14) !и -'- аро = ту- . да' Ранее с помощью метода гармоник было показано, что это схема при отсутствии вязкости (т =О) неустойчива в том смысле, что не выполняется неравенство !!у"'!! ~ !!у'!! и амплитуда гармопкк со временем мо«кет нарастать. Исследование с помощью энергетического метода позволило установить характер этого роста,— оказалось, что гармоники нарастают ис быстрее некоторой экспоненциальной функции.
Проанализируем теперь устойчивость схемы (5.14) при т ~ О. Переписав (5.14) в индскснои форме ы-ы 3 « — 2 ' -'.~' ьь — хь льэг г«-г г«.ы 2аь зй + а т 2а выразим отсюда значение сеточной функции решения на верхнем временнбм слое: д„'~' = (1 — 2ы) д'„+ (ы — 0,5у) д«„, + (~э -,~- О 5у) рь-~. Предполагая иеотрицательность коэффициентов правой части этого соотношения 1 — 2ы~0, ы — 0,5т~0, ы+0,5т)0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
